Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Соответствующие серии синглетов расположены преимущественно в области ультрафиолета. Между синглетными и триплетными энергетическими уровнями гелия не осуществляются квантовые переходы (так называемый запрет ишоеркомбинаций). Этот факт послужил основанием для гигютезы, согласно которой гелий состоит из двух различных элементов: орпеогелия, дающего триплетные линии, и парагелия, спектральные линии которого — синглеты. Гипотеза эта, как будет показано в дальнейшем, оказалась неправильной, а запрет интеркомбинаций не абсолютно точным правилом.
Это видно из того, что в спектре гелия имеется линия, правда единственная, с длиной волны 591,6 нм, получающаяся при переходе с триплетного уровня гРе?г на сннглетный уровень оо. 2. Теория многоэлектронных атомов в кван говой механике не истре- чает принципиальных трудностей, хотя практические вычисления весьма сложны и громоздки и могут быть выполнены только на машинах.
В простейшем случае атома гелия и аналогичных ему ионов, если не учитывать спины, задача сводится к решению уравнения Шредингера с двумя электронами. Ниже рассматривается этот случай, хотя все вычисления и опускаются. Для стационарного состояния уравнение Шредингера записывается в виде й 49) Атом гелия 299 где волновая функция г(г зависит от координат обоих электронов, й— энергия стационарного состояния, Й, и Й, — гамильтонианы первого и второго влек"гронов в отсутствие взаимодействия между ними; й 2 ге г 2 О, = — — ~ 2д 1 гг 6 2 7е 2 2 О2 гг 2д гг (49.2) (49.3) а Й12 — часть полного гамильтониана, учитывающая взаимодействие между электронами: Йг = -' —. (49.4) ггг Здесь 172 и 27~~ — операторы Лапласа для первого и второго электронов: д2 д2 д2 д2 д2 д2 27 = -- — +- — + — — ч = — -+ ---+ 1 2 2 21 2 2 2 г дяг ду, дг, дяг дуг дгг 24ерез г1(л1, уг, 21), гг(лг, уг, зг) обозначены радиусы-векторы и декартовы координаты первого и второго элекгронов, а через г12 расстояние между ними.
Заряд ядра для общности принят равным Е (в случае гелия У = 2). Ядро атома в рассматриваемом приближении считается неподвижным и принимается за начало координат. 3. Сформулированная задача аналогична классической задаче трех тел, рассматриваемой в небесной механике. В ней речь идет о движении двух планет в гравитационном поле Солнца с учетом гравитационного взаимодействия между самими планетами. Такая задача, хотя в принципе и допускает аналитическое решение в виде рядов, но эти ряды абсолюгно непригодны для практических расчетов (см. подстрочное примечание к 916 на с.90). Но в небесной механике разработаны превосходные приближенные методы расчета, вполне удовлетворяющие высоким требованиям наблюдательной астрономии. В их основе лежит теория возмущеиий, использующая тот факт, что взаимодействие между планетами мало по сравнению с взаимодействием каждой планеты с Солнцем.
В нулевом приближении взаимодействием между планетами можно совсем пренебречь. Используя решение, полученное в нулевом приближении, можно затем учесть взаимодействие между планетами в первом приближении, после этого найти второе приближение и т.д.
По тому же пути иде"г и теория возмущений квантовой механики в случае атома с двумя электронами. Она также в нулевом приближении отбрасывает взаимодействие между электронами. Правда, здесь ситуация значительно менее благоприятна, чем в небесной механике, так как взаимодействие между электронами отнюдь не мало по сравнению с взаимодействием каждого из них с атомным ядром.
Однако получающиеся результаты довольно удовлетворительны, чем и оправдывается использование методов теории возмущений. [Гл. ЪЧ Атомные системы со мног ми электронами 300 Трудность задачи об атоме гелия обусловлена наличием в уравнении (49.1) члена 012ф, зависящего от координат обоил электронов. Благодаря этому уравнение (49.1) не имеет решений с разделяющимися переменными.
В теории возмущений член 1»12т рассматривается как «малая» поправка и в нулевом приближении отбрасывается. Таким образом, уравнение нулевого приближения имеет вид Йоуо 600,.0 (49.5) ~ ~о*(6' — Й, )~о «1т = О, причем интегрирование производится по шестимерному объему де = = е[л1 е[у1 сЬ1 с[я 2 е[у2 еЬ2 обоих электронов. '1 аким образом, если функ- ция «1» нормирована к единице, то получается 6 = ~ у»~'У»2~~ с1т, (49.7) т.е. поправка 6 к энергии в первом приближении равна потенциальной энергии У12 взаимодействия электронов, усредненной с помощью 1 волновых функций нулевого приближения. Вычислив й» можно затем решить уравнение (49.6) и найти 6»~, на чем мы не останавливаемся.
0 Аналогичным путем можно найти второе приближение 6 = 6 + + 6 + й, гр = 01~ + гр + гр, рассматривая поправки с" ,и ф2 как 1 2 О 1 2 .2 величины еще более высокого порядка малости, и т. д. где через Йо обозначен гамильтониан в нулевом приближении, т.е. оператор Йо = Й1+ Й2, в котором возмущающий член Й12 отброшен. ,о Аналогично, через и»е и 6 обозначены волновая функция и собственное ,о значение энергии в нулевом приближении. Найдя величины гро и й ,о ищем решение в первом приближении ф = «)»0+ «(»~, й = 6 + й .
Для этого служит уравнение (Йо+ Й )(40+,~1) ()»о+ 61)(о»о+ 61) или на основании (49.5) Й'ф'+ Й 6" + Й12ф' = й'У'+ 6'ф'+ ~"У'. Здесь величины «1120» и 6 21» следует рассматривать как «малые» ,1 более высокого порядка и в первом приближении отбросить. Таким образом, в первом приближении (Йо [со)011 (,«1 Й )о,о (49.6) Это — неоднородное уравнение, правая часть которого известна. Можно весьма просго доказать (на чем мы не останавливаемся), что уравнение (49.6) имеет решение только при таких значениях пара- 1 метра 6, когда правая часть ортогональна к волновой функции ф" нулевого приближения, т. е.
5 49) Атом гевал 301 4. Обратимся теперь к уравнению (49.5), т. е. к решению в нулевом приближении. В более подробной записи это уравнение гласит (Й, + ц,') ф" = 3'0", (49.8) где оператор Й, зависит только от координат первого электрона, а опе- ратор Йз -- только от координат второго. Поэтому решение г);о будет решением с разделяющимися переменными: .4,0 ,,~~о(1)),о(2) (49.9) где цифрой 1 обозначена совокупность координат первого, а цифрой 2 второго электронов. После подстановки в предыдущее уравнение и де- ления на ф~ = у1а11)гас(2) получится Йгф гг1) Йг0 (2), о о + ф 11) ф 12) Первое слагаемое в левой части зависит только от координат 1,а втоа рое только от координат 2.
Так как сумма этих слагаемых 5 постоянна, то должно быть постоянно и каждое из слагаемых в отдельности. Иными словами, должны выполняться уравнения Цггу" (1) = <',ф (1) ЦггР" (2) = й~ф (2), ,о,о где йа и йэ постоянные, удовлетворяющие условию (49.10) йо+ йое — — 5 149.11) Оба уравнения (49.10) по существу тождественны.
Они отличаются друг от друга только обозначениями координат первого и второго ,о о электРонов, а также числовыми значениЯми постоЯнных йг и йз 1поскольку электроны могут находиться в различных состояниях; если же о, о эти состояния одинаковы, то йг = 1ез. Каждое из уравнений (49.10) описывает стационарное состояние электрона в поле ядра в предположении, что взаимодействие между электронами не учитывается. В этом предположении о 2 ц 5 е72 1=— 2п ' ш 2 о ц 5 е72 2 20 З го (49.12) '! ем самым задача в нулевом приближении сведена к задаче нахождения собственных функций и собственных значений одноэлектронного водородоподобного атома.
Решение последней задачи хорошо известно. 5. Найдем прежде всего в нулевом приближении энергию полной ионизации нейтрального атома гелия, т. е. работу по удалению в бесконечность обоих его электронов, когда сам атом находится в основном состоянии. Работа по удалению электрона в бесконечносгь из агома водорода в основном состоянии равна рее/2йз = 13,539 эВ. Для однократно ионизованного гелиеподобного атома эта работа в Уз раз больше (см. формулу (13.12)).
Поэтому, согласно формуле (49.11), работа [Гл. Ъ'1 Атомные системы со мног ми электронами 302 по удалению обоих электронов гелиеподобного атома в бесконечность в нулевом приближении будет 4 й =20~ 26~ (49.13) Результат этот вполне очевиден, поскольку в нулевом приближении взаимодействие электронов не учитывается. В частности, для атома гелия формула (49.13) дает Ф„,„„, = 108,3 эВ. Зная волновую функцию (49.9) в нулевом приближении, можно по формуле (49.7)., в которой следует положить 17гг = ет(гпп найти поправку к энергии полной ионизации гелиеподобного атома, которую даег первое приближение. Вычисления приводят к резулшвту л ~йо+ 31) 2оэ б Д ие бг .
(49. 14) Таблица б 6. Обратимся теперь к объяснению, почему в спектрах гелия и гелиеподобных ионов происходит удвоение спектральных серий, о котором говорилось в начале этого параграфа. Заметим прежде всего, что все серии получаются путем возбуждения одного электрона, а не обоих электронов сразу. Последний процесс значительно менее вероятен, чем Числовые результаты приведены в табл.5. В нулевом приближении, как и следовало ожидать, получается большое различие между вычислением и опытом; ошибка составляет примерно 40% для Не и 10% для С~+. Но уже в первом приближении получается хорошее согласие теории с опытом. Это тем более удивительно, что энергия взаимодействия между электронами отнюдь не мала по сравнению с энергией их взаимодействия с атомными ядрами. Многие авторы вычисляли в высших приближениях энергии ионизации и возбуждения атома гелия, а также разработали более совершенные методы, отличные от теории возмущений.
Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, приводим в последнем столбце таблицы результаты расчетов Хиллерааса (1898 — 1965), полученные без учета конечности масс ядер и поправок на теорию относительности. Согласие с опытом очень хорошее. 5 49) Атом гелия зоз первый, и рассматриваться не будет. Поэтому рассмотрим в нулевом приближении такое состояние агома, когда один электрон не возбужден, а другой находится в возбужденном состоянии. Состояние первого электрона в нулевом приближении описывается волновой функцией ф~~(1), а второго — функцией ф~~(2). Нижний индекс означает совокупность трех квантовых чисел (п, /, т~), характеризующих состояние электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
