Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Итак, оператор ! = (1, + 1г) коммутирует с операторами проекций 1 на любое направление. Поэтому существует состояние системы, в котором 1г и одна из проекций на любое направление имеют определенные значения. 3. Состояние первой частицы можно характеризовать значениями 1, и ты второй — значениями 1г и тг. Число !г определяет квадрат углового момента первой частицы 1, (!г + 1), число !г — квадрат такого же момента второй частицы 1г(!г + 1). Числа т, и тг определяют проекции на ось Л угловых моментов !г и 1г (в единицах й). Очевидно, совокупность чисел !ы 1г, ты тг характеризует некоторое состояние системы обеих независимых частиц.
Волновую функцию такого состояния будем обозначать через угбб,, Определим число состояний такого типа, т. е. число линейно независимых функций эг при заданных значениях 1~ и 1г. При заданном !г число тг может принимать (2!г + 1) значений (см. 9 31, п.7), при заданном !г число значений тг равно (21г + 1). Таким образом, при заданных !г и 1г искомое число состояний с волновыми функциями типа ео равно (21, + 1)(21г + 1). Из таких (211 + 1)(21г + 1) состояний путем их линейных комбинаций можно составить любое состояние системы с заданными 1~ и !г. Но линейно независимые состояния, из которых может быть составлено любое состояние системы с заданными 1, и 1г, можно выбрать и иначе.
Должно оставаться постоянным лишь общее число таких линейно независимых состояний, т.е. это число по-прежнему должно быть равно (211 + 1)(2!г + 1). Ввиду справедливости для всей системы правил коммутации (31.6) существуют при заданных 1, и !г состояния всей системы с определенными значениями квадрата !(! + 1) полного углового момента 1 и его проекции гп на ось Я. Волновые функции таких состояний будем обозначать через у)ЧВ,~ .
Из них путем линейных комбинаций можно составить волновую функцию любого состояния с заданными 1, и 1г. Поэтому число линейно независимых функций типа фцм~ с заданными !г и 1г должно быть равно (21г + 1)(21г + 1). Убедимся в этом путем прямого вычисления. Из формулы (32.2) непосредственно следует, что если проекции тг и тг имеют определенные значения, то и проекция т также имеет определенное значение т, причем т = т1 + тг. Ради определенности будем предполагать, что й 32) Сложение головах моментов 12 ) 12.
Тогда при заданных 1г и 12 возможные положительные значения т, получаемые таким путем, предсчавягся следующей схемой: Отберем теперь всевозможные состояния (при заданных 12 и 12, для которых максимальные значения проекции т соответственно равны (12 + 12), (11 + 12 — Ц,... Это будут состояния с определенным значением 1, равным 1 = (1З + !2), 1у + (12 — ц, ..., 11 — 12. Число таких состояний равно 212+ 1. В каждом из этих состояний т может принимать (21+ Ц значений.
Таким образом, число всевозможных состояний (при заданных 11 н 12 с линейно независимыми функциями типа фб~,~ будет 2(1, + 1,) +1+ 2(1, + 1, — Ц+ 1+... + 2(1, — 1,) +1. Это — арифметическая прогрессия с разностью — 2 и общим числом членов 212 + 1. Ее сумма равна 2(11 т 12) т 1 т 2(11 — 12) + 1 (21 + ц (о! + ц(21 + ц 2 что и требовалось доказать. 4.
11олученные результаты относятся не только к сложению угловых моментов двух невзаимодействующих частиц. Они распространяются без всяких изменений и на произвольные сложные системы, состоящие из двух невзаимодействующих частей 1 и 2. Квадраты их угловых моментов (еслн они имеют определенные значения) определяются выражениями 1,г(! у+ц и ! 2(! 2+ц, где !.у и ! 2 — целые положительные числа. Соответствующие проекции на ось е (если таковые также имеют определенные значения) могут принимать значения: Му = — Ьы — (Ь1 — Ц, ..., +(Ьу — Ц, +Ь1, оу2 = — 12, — (!2 — ц, ..., +(!2 — ц, +!2.
Тогда квадрат результирующего углового момента всей системы может принимать значения ! (! + ц, где ! меняегся в пределах 1,=!,,+!2, 1,,+1, — 1, ..., !ч — !2, (32.5) 7 д.н. Сивухен. 'Г.у 194 Дальней!нее построение квантовой механини и спектры [Гл, "г' причем предполагается, что 1! ) 12. Соответствующие проекции на ось У могут принимать целочисленные значения от М = — ! до М = +1,. Полученный результат называется правилом слог!ценил угловыя моментов. В полученном состоянии сложной системы имеют определенные значения также скалярные произведения Ьг1 г, 1Л ! и 1Л г, т.е.
собственные значения соответствующих операторов 1 г1 2, 1Л ! и 1Л г. Это следует из формулы (32.4), если написать ее для операторов Ь, Ьг, 1 г. Например, г гг —, [г~ 12 гг] 2 (32.6) или, переходя к собственным значениям, 1 гЬг = — [Ь(! + 1) — 1,(! ! + 1) — ! 2(! г + 1)]. (32 7) 1 Аналогично 1Л,! = — [Ц 1, + 1) + ! ! (! ~ + 1) — 1,2(! г + 1)], (32.8) 1 ЬЬг = [! (! + 1) + ! г(! г + 1) — ! г(! ! + 1)]. (32.9) 1 б. Изложенные результаты принято представлять на векторных диаграммах. Складываемые векторы Ь! и Ьг изображаются стрелками °,/гадь,+ц °,и!~.,гц, р~,.*.„~ р-«рг г Г б~/Х(г+ЧВ * г г г .59 р векторная диаграмма для ! ! = 2 и 12 = 1 при различных углах а б ьг =2 Ьг =! ь =3 в Ьг =2 Ьг=1 ! =1 Ь,=г Ьг = 1 1, =2 Рис.
59 между векторами 1 ! и Ьг. Получается всего три возможных случая, в соответствии с тем, что 1, может принимать значения 1,! + Ьг = 3, ! ! + ! г — 1 = 2, ! ! + Ьг — 2 = 1. Такая диаграмма правильно передает длины всех векторов и их скалярные произведения. Но она не отражает з зз) Квантование водородного атома в общем случае 195 'й ЗЗ. Квантование водородного атома в общем случае 1. В 3 27 была рассмотрена задача о квантовании водородного (или водородоподобного) атома в предположении, что волновая функция уг радиально симмегрична, т, е, зависиг только от г. В чаком случае угловой момент электрона в атоме равен нулю, так как оператор момента действует только на угловые переменные О и ~р, но не действует на г.
Уравнение же Шредингера для стационарных состояний записывается в виде Й,1б = йф, (33.1) где оператор Н„определяется выражением йг2 д 2 д Н, = -- — ~ —,—,— + — -- ~ + Н(г) 2т ~,йгг г дг( (33.2) и описывает только радиальное квантовое движение электрона в атоме. Учтем теперь зависимость функции 1д также от угловых координат 2 0 и чг. /~ля этого к оператору Н„ надо добавить оператор 1, 2тг соответствующий кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра: й=й„+ 2тг (33.3) Ясно, что оператор Н„коммутирует с операторами 1 и 1„поскольку последние не действуют на г, а действуют только на угловые переменные д и ~р.
То же относится к оператору (1/(2раг~)) 12, так как наличие множителя 1/(2тг2) не отражается на такой коммутации. 2 Следовательно, и полный оператор Н коммутирует с 1 и 1„и стационарное состояние электрона в водородном или водородоподобном атоме истинную квантовую природу угловых моментов, поскольку последние, имея определенные длины, не имеют определенных направлений в пространстве. Если системы 1 и 2 нс взаимодействуют и нет внешних сил, то сохраняется не только результирующий угловой момент сисгемы Ь, но и оба момента Ь| и Ь2. При наличии взаимодействия между системами 1 и 2 моменты 1 2 и 1 2 в отдельности не сохраняются, а сохраняется только общий момент 1 (при отсутствии внешних сил).
Если взаимодействие слабое, то по аналогии с классической механикой следует ожидать, что длины векторов 11 и 1 2 при этом практически не будут изменяться. На векторной диаграмме векторы 1 2 и 1 2 будут совершать прецсссию, т, е, вращаться вокруг вектора Ь с одной и той же угловой скоростью. К такому же выводу приводит и последовагельное кван говое рассмотрение.
196 Дальнейнгее построение квантовой механики и спектрн (ГлЛ можно характеризовать его энергией 11, квадратом углового момента 1г и его проекцией 1е на избранное направление ось й. Уравнение Шредингера для стационарных состояний теперь запишется в виде дгг г дт йг 1 2тгг,/ Здесь применяется частное дифференцирование по г, поскольку волновая функция у1 может зависеть не только от г, но и от угловых переменных 0 и 9г. Но какова бы ни была зависимость от 0 и иг, для стационарных состояний с определенным значением квадрата углового момента Кианг = Ьеу1 = ег1(1+ 1)1о.
Поэтому в таких случаях — — 2т Ь вЂ” 11 — и 1(1+1) т. = О. (33.5) дгг г дг 5 1, 2тгг Это уравнение отличается от уравнения (33.1) наличием в скобках до- полнительного члена — сгг1(1+ 1)Д2тг г). Формально уравнение (33.5) имеет вид уравнения Шредингера в радиально-симметричном силовом поле с потенциальной силовой функцией ( ) 5'1(1-~ 1) 2т.г 2т.7.е о Ь г 2тй г 5 (33.6) Тогда уравнение (33.5) запишется в виде д'0 2 дй гсо г 1(1-~1)'1 —.—; + — — + ~- — д — — —, ) )0 = О. дгг г дг (1г г ) (33.7) На второе слагаемое этого выражения можно смотреть как на потенциальную функцию электрона в поле центробежной силы, причем само уравнение (33.5) можно рассматривать как уравнение движения электрона во «вращающейсяь системе отсчета.
Поскольку, однако, независимые переменные 0 и 1о в уравнение (33.5) не входвгг, волновая функция г0 должна иметь вид 1(0, 1о)ф(г). Во всех вычислениях функция 1'(О, ~р) будет всюду входить в виде множителя, который не зависит от г, т. е. ведет себя как постоянная. Поэтому ради крагкости множигель 1(0, 1о) мы будем всюду опускать, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
