Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рассматриваемые с этой точки зрения символы х и З (х) являются операторами. Для отличия от чисел их обозначают через х и г" (х), т.е. ставят шляпку над х и 1(х). Другим примером оператора может служить дифференцирование по х, т.е. д д д 1 о 2~ Операторы можно складывать. Под суммой операторов А+ В понимают такой оператор, действие которого на любую функцию 1(х) дает резульгат Ау(х) + В1(х). Под произведением операторов АВ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию 1'(х) равен А[В1'(х)). Здесь функция 1(х) сначала подвергается действию оператора В, а затем на полученный результат действует оператор А.
Частным случаем произведения операторов является произведение оператора А на число Л, т. е, либо ЛА, либо АЛ, ибо всякое число можно рассматривать как частный случай оператора. В алгебре операторов не всегда соблюдается коммутативный закон относительно умножения.
Это значит, что не всегда А В = ВА. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы А и В коммутируют друг с другом. Иначе их называют коммутирующими операторами. В противном случае операторы А и В не ко мутируют и называются некоммутирующи и или антикоммутирующими. Примером некоммутирующих операгоров могут служить умножение на х и дифференцирование по х. Действительно, х- — з =х —, — -х 1= ---(хг)=з+х- —, Операторный мегпод так что д д — х — х — = 1.
дх дх (Зй.1) Эти опрсделсния позволяют по заданным операторам А и В строить другие операторы Х(А, В), являющиеся их функциями. Определение это имеет смысл только для целых рациональных Функций операторов А и В. Достаточность такого ограничения в этом построении связана с тем, что именно при таком ограничении в классической физике определяют новые физические величины через другие, ранее введенные физические величины. Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Единственное отличие состоит в том, что при умножении операторов не всегда можно пересэавлять порядок сомножителей.
Например, всегда (А+ В) = (А+ В)(А+ В) = А + ВА+ АВ+ В . В общем виде было бы неправильно писать (А+ В)' = А'+ 2АВ+ В'. Такая формула верна только тогда, когда операторы А и В коммутируют между собой, ибо при ВА = АВ она получается из предыдущей. Но в случае некоммутирующих операторов эта формула неверна, ибо в этом случае ВА у': АВ.
Оператор А называется линейнь м, если для любых двух функций 1 и ео и любых посгоянных Л и д соблюдается соотношение А(Л1 + ру) = ЛА1'+ рА~р. В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушался бы принцип суперпозиции состояний. 2. Предположим теперь, что многократно производится измерение координаты х частицы, причем частица, поскольку это позволяет опыт, всякий раз приводится в одипакоеъее макроскопические условия.
Тогда состояние частицы в этих опытах можно характеризовать волновой функцией Ф(х), которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты х. Среднее значение координаты, которое будет найдено в результате измерений, можно записать в виде (х) = ~ хФ*Ф ах, Ф*Ф ах = 1, (30.2) ибо Ф'Ф ах есть вероятность того, что частица будет обнаружена в ин- тервале х, х + ах.
При этом необходимо оговорить, что функция Ф(х) всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области пространства и нормирована к единице, т. е. 174 Дальнейшее построение квангловой механики и сисктрь~ (Гл. Н где интегрирование производится по всему пространству, в котором Ф отлична от нуля.
Выражение для среднего значения (х) мы предпочи- таем записать в виде (х) = ~ Ф'хФ дх. (30.3) Совершенно так же вычисляется среднее значение функции 1 (х), т. с. по формуле (1(х)) = ~ Ф*(х) 1(х)Ф(х) с1х, (30А) 1ф*(х)ф( ) с1х = 1. о (30.5) Указанная замена не может существенно отразиться на явлениях, протекающих в рассматриваемое время в рассматриваемой нами области пространства. Действительно, различие между функциями Ф(х) и Ф(х) относится только к достаточно удаленным областям пространства, которые не могут оказать существенное влияние на протекание изучаемого нами явления.
В пределе, когда 1 э оо, небольшие искажения явлений, вызванные заменой Ф на Ф, совсем исчезают. Периодическую функцию Ф(х) разложим в ряд Фурье: и=-~-оо Ф(х) = 2 с.„е™п', (30.6) где 2л й„ = и. п (30.7) в которой 1(х) рассматривается как оператор. Если состояние Ф меняется во времени, то формула (30.4) дает среднее значение для определенного момента времени.
В этом случае в функции Ф(х,1) следует время 1 рассматривать как параметр, т.е. при взя гни интеграла его следует считать нос гоянным. 3. Как же вычислять по волновой функции Ф(х) средние значения импульса частицы или средние значения целых рациональных функций от импульса? Будем предполагать, что в каждый момент времени функция Ф(х) всюду конечна и отлична от нуля в ограниченной области пространства, а потому может быть нормирована согласно формуле (30.2). В целях математического упрощения применим искусственный прием.
Заменим истинную волновую функцию Ф(х) другой периодической функцией Ф(х) с периодом 1, так что при любом х Ф(х+ 1) = Ф(х). Функция Ф(х) отлична от нуля только на неболыпом участке где-то в середине интервала 0 < х < 1 (основного периода). В этом интервале обе функции Ф(х) и Ф(х) совпадают. Вне интервала 0 < х < 1 функция Ф(х) обращается в нуль. Поэтому из нормировки (30.2) следует нормировка для функции Ф(х): Операторный метод Чтобы определить коэффициент ст этого ряда, надо обе части (30.6) умножить на е 'йгпи и проинтегрировать по х от 0 до г.
При этом ед" )'г1х= ег(й й )и — О о г()е — й и) при п=т,, при п~т, так как ггй — й )г гэиги — т) 1 о С учетом этого получаем с = — ~ Ф(х)е 'й *егх = — ~ Ф(х)е'ий *г1х. (30.8) --)~ - -г3 С учетом того же условия нормировка приводится к виду и=тии ~ф*фг)х =~ф*фг1х =1 ') )си~в = 1. (30.9) Выведем еще одну вспомогательную формулу.
Имеем дх дх о о = г~ ~~с* с„й„ег~ " '")*Их, О т и или после перестановки порядка суммирования и интегрирования Ф* — Ф г1х = г ~ ~ с' с й, ~ едй" й'")* г)х. , д о т и о — )ге" ~ ее*=~~~.„гг„. дх о (30 10) 4. До сих пор мы не обращали внимания на зависимость функции ф, а с ней и функции Ф, от времени 1. Наши вычисления в сущности, относились к функциям ф(х, 8) и Ф(х, е) при фиксированном значении 1, время 1 рассматривалось как параметр. Временная зависимость определится из требования, чтобы функции Ф и Ф удовлетворяли временному уравнению Шредингера (21.5).
Такому условию удовлетворяет Входящий сюда интеграл уже был вычислен выше. Воспользовавшись вычисленным значением, получим 176 Дальнейшее построение квантовой механики и спекгарьч (Гл. Н функция Ф(х, !) = 2 ' с„ець"' (30.11) где частоты ы„определяются законом дисперсии ы„= ш„(!с„) по формуле (19.6). Этот ряд представляет собой разложение функции Ф(х, !) по плоским волнам де Бройля ') . Волне де Бройля ейь"* "0 соответствует импульс р„= й!с„. Значения импульса дискретны. Но эта дискретность искусственная и получилась в результате замены истинной волновой функции Ф(х, !) на вспомо|втельную периодическую функцию Ф(х, !). Истинные значения импульса непрерыаньь И действительно, чем длиннее взять период 1, тем меньше расстояние между соседними значениями дискретного спектра импульса.
В пределе, когда ! — г оо, это расстояние стремится к нулю, так что фактически импульс становится величиной, мсняюп1ейся непрерывно. Измерение импульса в состоянии Ф(х, !) дает одно из значений р„. Вероятность этого значения, в силу условия нормировки (30.9), равна 1~с„~з. Поэтому среднее значение импульса, которое получится в результате измерения, будет равно (р) = 1 !/са!ар„, (30. 12) или в силу соотношения (30.10) Теперь можно выполнить предельный переход к 1 — э оо и получить формулу (30.13) в которой всякая неопределенность, связанная с введением вспомогательной функции Ф, исчезла. При этом интегрирование распространяется уже по всему бесконечному пространству, так как большие значения х не вносят никакого вклада в интеграл. Рассуждая аналогичным образом, можем без труда получить для произвольного целого положительного и (30.
14) ') Произвольную функцию Ф(х,г), периоднчную по х, можно разложить в ряд Фурье по х, коэффициенты которого будут функциями й Распространено ошибочное мнение, что это и есть разложение по плоским волнам де Бройля. Ошибка состоит в том, что периодическая функция Ф(х, !) не может быть произвольной, а должна удовлетворять уравнению Шредингера (21.5).
Это накладывает ограничения на коэффициенты разложения как функции времени й Операторный метод 177 а для целой рациональной функции импульса (г'(р)) = ~ Ф* г'(р) е д*, где через р обозначен оператор (30Л 5) р = ры = — 1й-,—, (30.16) дх,' называемый оператором мпульса, точнее -- оператором проекции импульса р 5. Квантовая механика постулативно обобщает полученные результаты на любые физические величины, являющиеся функциями координат и импульсов. Иначе говоря, она полагает (г'(х, р)) = ~ Ф'(х) г (х, р) Р(х) Йх.
(30.17) Здесь |'"(х, р) — целая рациональная функция координат и импульсов, как она определяется классически, а 1г(х, р) — соответствующий ей оператор. Формула (30.17) и может быть положена в основу введения операторов в квантовую механику. Заметим, что поскольку мы располагаем операторами х и р в прямоугольных координатах, при нахождении оператора Р'(х, р) надо исходить из соответствующей классической формулы также в прямоугольных координатах или в векторной форме. Нелипше подчеркнуть, что под х и р в формуле (30.17) нельзя понимать значения координаты х и импульса р, полученные в результате одного и того же измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
