Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Кривая рг проходит через максимум при т = ам Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты надо истолковать как такое расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна. ЗАДАЧИ 1.
Найти среднее расстояние т, на каком будет обнаружен электрон от ядра атома, если последний находится в основном состоянии. Ответ. г =. (3/2)аь 2. В той же задаче найти среднее значение (1/г) обратного расстояния электрона от ядра. Ответ. (1/т) = 1,1аь 3. Найти средние значения потенциальной (l и кинетической й энергий основного состояния водородоподобного атома. О т в е т. Г/ = — Яе /ан )ш„, = Яе /2а~ = — Г//2.
Отметим, что такое же соотношение между 11 и в получилось бы в классической механике для электрона, движущегося вокруг ядра по всякой круговой орбите. 4. Определить уровни энергии в сферически симметричном состоянии водородоподобного атома по числу узлов волновой функции, подобно тому как зто было сделано в 3 23 для гармонического осциллятора.
Р е ш е н и е. Волновые функции возбужденных состояний должны иметь узлы, число которых на единицу меньше номера соответствующего стационарного состояния. Этому условию для и-го стационарного состояния удовлетворяет выражение ф„(т) = Р„Дт)е где а„— положительная постоянная, а Р„еЯ вЂ” полинам степени п — 1, все корни которого вещоствсины и различны. Нообходимо, чтобы функция 6 28) Потенциальные барьеры 157 26„(т) удовлетворяла уравнению Шредингера 127.1). Простым дифференци- рованием находим "~"- = ( -- Р ° ) —..- 1 — — — е Вт а„ дф„1 2 2 — — Р„1 — — Р„1-т Р„,)е дт а а =(:-- После подстановки в 127.1) получаем 1 2, о 2 Р„1 2Р„, дР„ 2 — 1 — 1 т — 1 — — ~3 Р 1=0.
а„ а„а„т т Это соотношение должно выполняться тождественно по т. Старшую степень т" 1 содержат только первое и последнее слагаемые. Поэтому должно быть 1/а„=- б или 1/а„= 11. Степень т~ содержат только подчеркнутые члены. При этом при взятии производной Р„1 появляется коэффициент (п — 1). С учетом этого 21п — 1) 2 — — +д=-О, а а„ 2п или а Таким образом, 2п 62 а„= =-п = па1, д тле 6б 6 тле 2т 2тпаг 262пг что совпадает с ранее полученными результпвми. Недостаток приведенного решения — в том, что мы не исследовали до конца, что наша функция гр„гт) действительно является решением уравнения П!редингера. Для неболыпих и, подобно тому как это было сделано в 6 23, нетрудно найти в явном виде полиномы Р„. 11т) и соответствующие им постоянные а„.
Таким путем можно убедиться, что функции 22„1т) Р„11т)е ~ " действительно удовлетворяют уравнению Шредингера. Можно проверить также, что все корни полинома Р 11т) вещественные и некратные. й 28. Потенциальные барьеры 1. К задаче о кнантовании энергии в потенциальных ямах примыкает задача о прохождении частицы через потенциальные барьеры. Ограничимся рассмотрением одпол1ерыых потенциальных барьерое, когда потенциальная функция 17 зависит только от одной координаты я.
Потенциальным барьером такого типа называется ограниченная параллельными плоскостями область пространства, в которой потенциальная функция У(л) больше, чем в примыкающих областях. Начнем с простейшего идеализированного случая прямоугольного потенциального барьера, когда одна из его стенок удалена в бесконечность (рис. 50). Такой барьер может быть назван сп1упенчатьиа, так как потенциальная функция У1л) в этом случае представляется [Гл. !Н Уравнение 1Прединеера. Квантование 158 ступенчатой линией: 1)~ = сопв! и(я) = е)2 = сопя! в области 1, где я < О, в области 11, где я > О, 128.1) (28.2) где 2 (" 1)' (28.3) причем 1) имеет разные, но постоянные значения !)~ и 1)э по разные стороны границы барьера. Соответствующие им значения й обозначаются через Й~ и Йш Вместо потока частиц теперь надо предположить, что в области 1 к границе барьера распространяется плоская монохроматическая волна ф~ —— е Чтобы удовлетворялисы раничные условия для у) и е!т/е!я на границе барьера, в области ! должна существовать отраженная волна = ге "Ч'! а в области П прошедшая волна д Цеае — е О Амплитуда падающей волны принята равной единице, что, очевидно, не нарушает общности получаемых ниже результатов.
Постоянные г причем !)э > !)м На границу барьера слева с постоянной скоростью налетает частица или поток частиц. С классической точки зрения частица ведет себя по-разному в зависимости от того, будет ли ее полная энергия !д больше или меньше ()ш В первом случае, когда )1 > ~/э, частица, достигнув границы барьера, будет продолжать движение в прежнем направлении, но с меньшей кинетической энергией. Во втором случае., когда й < ~/э, частица вообще не может проникнуть через границу барьера. Она отразится от него и начнет движение в обратном направлении с той 1 0 1! же кинетической энергией. 2. Совсем иное решение задачи дает кванРис. 50 товая механика.
Здесь движение частицы, хо- тя и символически, связано с распространением волны. Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера описывает (и притом детсрминистически) распространение именно волн, а не движение частиц. Переход же ат поведения волн к движению частиц устанавливается веуолтностпыми законами. Поэтому поставленная нами задача должна быть переформулирована, а затем решена для волн на основе уравнения Шредингера.
Последнее мы будем записывать в виде а~ф + 1~4 = О, е1я 5 28) Потенциальные барьеры 159 и И называются пм литудными коэффициент ми отражения и про- пускания волн. Для их определения заметим, что функция гр и ее производная по х на границе барьера должны быть непрерывны. Это значит, что при х = 0 должны выполняться соотношения — (Ф +иц) = —, 4 г дФг дх дх Ф1+ Р1 Мг или 1+ к = 0, 1е1 1е1~ ьге1. Отсюда находим йг — йг 251 — — д= (28.4) 1ег+йг 11+ Уя Это такие же соотношения, но записанные в иной форме, которые были получены в оптике для коэффициентов Фрепеля (1788 — 1827) при нормальнолг падении света на границу раздела сред (см. т.
1г', 9 65., 89). Они справедливы не только при Уг > ~/1 (потенциальный барьер), но и при 112 ( егг (потенциальная яма). 3. Принципиальное отличие квантовомеханического решения от классического состоит в том, что в классической физике частица локализована, а в квантовой механике — нет. В классической физике говорят об энергии и состоянии частицы, когда она находится в определенном месте пространства, независимо от того, что происходит в остальных местах пространства. В кван говой механике это не так. Решение, даваемое квантовой механикой, волна, есть понятие, относящееся ко всему пространсгаву. Падающая волна органически связана с отраженной и прошедшей волнами.
Нельзя выделить одну из этих волн, отвлекаясь от остальных. Полная энергия У от носится не к какой- либо одной волне, а к состояншо частицы в целом, определяемому всеми тремя функциями грг, ф', фг. Понимание этого обстоятельства позволяет избежать многих парадоксальных выводов, связанных с прохождением частиц через потенциальные барьеры. Заметим еще, что задача об определении амплитудных коэффициентов отражения и пропускания волн есть чисто детерминистическая задача. Она формулируется и решается в стиле классической физики -— на основе точно сформулированного уравнения Шредингера и соответствующих ему граничных условий.
Но не эти коэффициенты определяют реальные величины, с которыми приходится иметь дело на опыте. На опыте измеряются коэффициенты отро .е и пропуска не для волн, а для частиц. Они же связаны с амплитудными коэффициентами отражения и пропускания волн вероятностными соотношениями. Коэффициенты отражения и пропускания для частиц определяются ниже. Таким образом, отражение часгиц от потенциального барьера и прохождение через него определяются вероятностными законами. 4. При сравнении квантовомеханического решения с классическим рассмотрим сначала случай У > Пг. В этом случае все три волны — падающая, отраженная и прошедшая — однородны.
Огличие квантового случая от классического состоит прежде всего в том, что в классическом случае нет отраженного потока частиц. В квантовом же Уравнение 1Предингера. Квантование 160 случае неизбежно появляется отраженная волна, а с ней и вероятность обнаружить частицу, движущуюся навстречу падающему потоку. /1ля однородной волны можно ввести понятие плотности вероятности потока вещества. В самом деле, однородный поток не локштзован, он характеризуется определенной лотностью и пульса, тогда как его координата совершенно не определена. Можно говорить и о скорости распроспграггеггил веролтггостпи такого потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
