Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В нем все подчеркнутые члены являются полиномами степени и. Степень поли- нома РаЯ на два меньше, т.е. равна и — 2 (и > 2). Чтобы определить Л, достаточно сравнить коэффнциенгы при старших членах подчеркнутых полиномов. Если коэффициент при с" в полиноме Р„Я равен а„, то в полиноме 24Р„'(с) соответствующий коэффициент равен 2иа„. Поэтому необходимо, чтобы выполнялось соотношение 2и + + 1 = Л. Тогда — Р„", Я + 2Р Р,', Я = 2 и Р„Я . (23.9) Полиномы, являющиеся решениями этого уравнения, называются иолиномами Чебышево,— Эрмита. Можно доказать (на чем мы не останавливаемся), что все корни полиномов Чебышева — Эрмита некратные и вещественные.
Это легко доказать для неболыпнх ие фактически находя сами полиномы и вычисляя нх корни (см. задачу к этому параграфу). Подставляя Л = 2и + 1 в (23.3), находим энергетические уровни осциллятора: е„= йы(и+ — ), и = 0,1,2, 11 (23. 10) где Р Я полинам и-й степени с некратными вещественными корнями. При избранных значениях параметра Л такая функция действительно является решением уравнения (23.4) н обращается в нуль на бесконечности. При таких значениях Л она и будег волновой функцией осциллятора. Дважды дифференцируя ее и подставляя д~ф/г1лз в уравнение (23.4), получим 5 23) Гармонический осцилллтор 141 Эти уровни эквидистантны, т.е.
находятся на равных расстояниях друг от друпм На рис. 43 они изображены горизонтальными прямыми. Классический осциллятор излучает свет только с одной частотой оэ. Казалось бы, что в соответствии с правилом частот Бора в квантовом случае возможно излучение со всевозможными кратными частотами А' (Х вЂ” целое число). На самом деле при излучении фотона этого не происходит. Из этого затруднения в старой квантовой теории Бор вышел, руководствуясь принципом соответствия. Чтобы исключить кратные частоты, на переходы между уровнями энергии осциллятора было наложено ограничение, называемое правилом отбора. Согласно этому правилу квантовое число п осциллятора при излучении и поглощении фотона может меняться только на ш1, т.
е. (23.11) Это правило отбора выводится и в последовательной квантовой механике, не обращаясь ни к какому принципу соответствия. Квантовая механика позволяег вычислить вероятность перехода осциллятора с одного уровня на другой с излучением нлн поглощением фотона. Оказалось, что эта вероятность обращается в нуль, когда правило отбора (23.11) не соблюдается. ЗАДАЧА Найти полиномы Чебышева — Эрмита и волновыс функции одномерного гармонического осциллятора лля и =- 1, 2, 3, 4, 5. Решение. Ради примера рассмотрим случай и =- 4.
Задача сводится к решению уравнения (23.9) в виде полинома 1 4(С) = аэе Э аэе -1. аэе 4 аэе + ао. Подставляя это выражение в уравнение (23.9) и сравнивая коэффициенты, найдем, что оно удовлетворяется при любом значении аэ, как это и должно быть согласно общей теории. Далее, находим аэ =- — 3аэ, ао = †(1/4)аг = = (3/4)аэ,аз = аэ = О. Итак, Рэ(с) = аэ(с — Зс -~- 3/4). Корни этого полинома Зх ъ~6 вещественны и некратны. Аналогично, Рэ(б) = аэб, Рэ(б) = аоК~ — 1/2), Ре(с) =.
аэ(б — Зс/2), Ре(с) =. аЯ вЂ” 53 +15с/4). Волновые функции получаются умножением этих полиномов на е Е Гэ. Их обычно нормируют к единице, т.е. подчиняют условию Р(5)е е 1 дЕ = 1. [Гл. !Н Уравнение 1Прединеера. Квантование 142 й 24. Одномерные прямоугольные потенциальные ямы 1.
Квантование на основе уравнения Шредингера (22.1) полезно уяснить на примере одномерной симметричной «потенциальной ямы» прямоугольной формы. 'Гак называется потенциальная функция Цт), принимающая на интервале — а < х < +а постоянное значение — !1в и обращающаяся в нуль вне этого интервала (рис. 44). Для этого случая легко получить точное решение уравнения 11!редингера и на его основе рассмотреть задачу о квантовании энергии. Но этим значение прямоугольных потенциальных ям не исчерпывается. В ряде случаев (напри- 'О! ) Π— О т х Рис. 45 Рис. 44 мер, в ядерной физике) истинный ход потенциальной функции !1(х) неизвестен. Аппроксимируя О'(к) потенциальной ямой прямоугольной формы, получают в таких случаях не только качественные, но даже количественные результаты оценочного характера.
2. Наиболее простым в математическом отношении является случай бевкопечно глубокой потенциальной ямы, когда величина ьГв обращается в бесконечность. В этом случае целесообразно за нуль потенциальной функции принять ее значение на «дне» потенциальной ямы, т.е. на ингервале — а < х < +а. '1Ъгда на встенкахв ямы (тее, при т = ха) функция !1(я) будет претерпевать разрыв от 0 до +ос. Такая потенциальная яма изображена на рис. 45. Математическое упрощение задачи при переходе от ямы конечной глубины к бесконечно глубокой яме связано с тем, что в последнем случае вне интервала — а < т < +а, где 11 всюду бесконечно велика, функция ф должна обращаться в нуль.
Действительно, согласно классической физике, частица с конечной энергией й не может попасть в область, где !1(т) = +со. В квантовой механике это утверждение заменяется требованием обращения в нуль плотности вероятности 1д" ф, а следовательно, и самой функции ф. Таким образом, достаточно рассмотреть решение уравнения Шредингера только в интервале — а < х < +а, что и ведет к упрощению задачи.
8 24) Одномерные прямоугольные потенциальные лмъг 143 Внутри интервала — а < х < +а У(х) = О и уравнение (22.1) принимает вид 42 ~ + й'~ = О, (24. 1) дх~ где введено обозначение йка = 2т1Г,г6. (24.2) Не теряя общности, достаточно ограничиться положительными значениями к, что и предполагается ниже. Общее решение уравнения (24.2) имеет вид ф = А сов йх + Вв!и кхц причем на стенках ямы х = ха дшгжно быть гр = О. Э го дает Асов на+ Вял ка = О при х = +а, Асоэка — Вял йа = О при х = — а.. Если А ф.
О, то А совка = О и, следовательно, совка = О, япйа ~ О, В = О. Наоборот, если В ~ О, то В яп ка = О и, следовательно, яп йа = = О, совка ф О, А = О. Таким образом, все решения уравнения (24.2) распадаются на два класса; 1) с чегиыми функциями гГ1 = А соэ 1ех, 1еа = кгг2, Зкгг2, бк/2,...; 2) с нечетными функциями 1о = Вял Их, 1еа = 2(кгг2), 4(кгг2), 6(кгг2),... Возможность йа = О во втором случае исключается, так как тогда было бы ггг = О, что не имеет физического смысла. Посгоянные А и В обычно ео определяются из условия нормировки ! !гр!~ г1х = 1 (для разбираемого — а нами вопроса это не имеет значения). Тогда получается 1 пкх —, соя при нечетных п, (24.3) !, пггх — яп при четных и. уа 2 В обоих случаях к' = ггкгг2а, так что при любом целом п г 11= — — Й = — —;п..
2 ~к 2 (24.4) 2т 8та Отсюда видно, что энергия квантустся. Энергетические уровни дискретны, при Уе = +ос число их бесконечно велико. Так как значение и = О исключается, то энергия наинизшего уровня равна 6к~,Г(8та ). Это — нулевая энергия, необходимость которой следует из общих положений. Против приведенного решения можно выдвинуть следующее возражение. На всякой поверхности разрыва потенциальной функции У(х) [Гл. !Н Уравнение УУУрединеера. Квантование 144 должны выполняться граничные условия г(гг(х, — 0) = тг(х + 0), дгдг(х — О) гЦ'г(х -!- О) (24.5) дх дх, !пигрг(х — 0) = !нпг)гг(х+ 0).
д д — — !пи грг(х — 0) = — - !!шю~г(х+ 0). дх дх Это на самом деле и происходит с производными функции ф(х). Найденное нами решение относится не к реальной функции уг(х) при очень большом значении !Ув, а к ее предельному значению при !Ув — г со. На этом примере с особой отчетливостью проявляется отмеченная вьппе аналогия между задачей о квантовании энергии и задачей о колебании струны с закрепленными концами.
Дейсгвительно, в случае прямоугольной бесконечно глубокой потенциалыюй ямы обе задачи математически тождественны. 3. Рассмотрим теперь случай симметричной прямоугольной ямы конечной глубины (см. рис. 44). Потенциальную функцию !У(х) вне ямы примем равной нулю. Внутри ямы УУ(х) = !Ув < О. За начало координат возьмем центр дна ямы О. Исследуем сначала случай, когда полная энергия 3 огрицательна, причем УУв < й < О. Введем обозначения (24.6) Тогда уравнение Шредингера внутри ямы будет дгр г — — +й гр=О, дх г (24.7) а вне ямы !г — гг~гр = О. дх (24.8) где гдг(х) функция уУ(х) по одну сторону поверхности разрыва, а грг(х) по другую (см.
~ 22, п. 1). В нашем случае внутри интервала — а < х < +а г)г = грг дается выражениями (24.3), а вне этого интервала 4г = г(гг = О. Первое условие (24.5) выполняется, тогда как второе не выполняется. Таким образом, на стенках потенциальной ямы первая производная найденной нами функции ф(х) претерпевает разрыв непрерывности. Однако это противоречие с общими требованиями, которым должна удовлетворять функция гр(х), является только кажущимся и возникает в результате ггатпемагпическоео перехода к пределу.
Во всяком реальном случае глубина ямы УУв конечна, хотя и может быть очень большой. В этом случае вблизи стенки по обе сгороны от нее гр(х) и е!г)г/дх, вообще говоря, отличны от нуля, и условия (24.5) строго выполняются. Но при переходе к пределу бесконечно глубокой ямы они могут и не выполняться для предельных значений этих величин. Действительно, из соотношений (24.5) не следует, что должны выполняться и предельные соотношения й 24) Одномерные прямоугольные потенциальные ямъг 145 Общее решение уравнения (24.7) имеет вид (24.9) ф = Асозкх+ Вял йх.
Решением уравнения (24.8) является е=" . Здесь надо выбрать такой знак, чтобы решение обращалось в нуль при х = хоо. Таким образом, вне ямы должно быть гр=Се '"* при х) а, гр = Ве"* при х ( — а. Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности ~ф~з должна быть симметричной функцией х относительно начала координат. Следовательно, должно быть Сз = В", г.
е. возможны два случая: С = В и С = — В. Постоянные А, В, С, В надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция 1д и ес производная д1д/дх были непрерывны. На границе х = +а это дает Асозйа+ Ваш на = Се — нАяш йа+ нВ сов йа = — егСе а на границе х = — а А созна — В яп йа, = Ре нАзшйа+ нВсозйа = оРе Отсюда 2Асозьа = (С+ В)е "', 2Вз1пйа = (С вЂ” В)е 21еАяпьа = ег(С+ В)е о', 2нВсоз1еа = — а(С вЂ” В)е Если А у': 0 и С = В, то к1Кка = а. (24.10) Если же В ~ 0 и С = — В, то (24.11) Й с18 Йа = — о.
Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном случае получилось бы нг = — аз, а это невозможно ввиду вещественности й и а. 1эешение, когда все коэффициенты А, В, С, Р равны нулю, физического смысла не имеет. Таким образом, все возможные решения разделяются на два класса: решения с четной волновой функцией, когда А ф О, В = О, С = Р, и решения с нечетной волновой функцией, когда А = О, В ~ О, С = — В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
