Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Этот центральный максимум мы приближенно можем принять за все поле, отбрасывая все его остальные части. В этом приближении после прохождения через щель неопределенность Ьр, импульса электрона получится порядка Ьр, = рвшд. Умножая это выражение на Ьх = И и принимая во внимание, что с1 з1п о' = Л и р = 1с/Л, получим Ьх . слр, > 6, как и должно быть согласно соотношению Гейзенберга. Чем уже щель, тем точнее будет измерена координата электрона, но зато потеряется точность в значеЬе нии его импульса.
Рис. 41 Сужая щель до размеров с1 ( Л, можно сде- лать неопределенность координаты сколь угодно малой. Однако при Н < Л волновое поле за щелью перестает быть плоской однородной волной де Бройля. Получается неоднородная волна, быстро затухающая на расстоянии порядка Л и меньше. В этом случае (Гл. 1!1 Волновые свойства частник вещества 122 Третий пример. Рассмотрим измерение скорости движущегося макроскопического тела по доплеровскому смещению частоты при отражении монохроматического света от этого тела. Пусть телом служит идеально отражающее плоское зеркало, движущееся в направлении нормали к своей поверхности, а свет (фотон) падает нормально на его поверхность.
Допустим, что падающий фотон распространяется в направлении движения зеркала. Тогда отраженный фотон отразится в обратном направлении. На основании законов сохранения энергии и импульса 6ыо + 2 т~о 6~'~ + 2 ™о 2 ! 2 (20.6) 6еоо 6м — + тво = — — + то, с с (20.6) где т масса тела, оо и о его скорости до и после отражения фотона, еоо и ы — частоты падающего и отраженного фотонов. Переписав эти уравнения в виде т(п — еоа) = 26(ооо — оо), (20.7) 6 т(и — по) = — (оо + ооо), с (20.8) наша оценка схр неприменима. Однако соотношение неопределенностей, как показывает более точное исследование, остается в силе. Второй пример (мысленный опыт Гейзенберга с микроскопом). Пусть частица находится под микроскопом (рис.
41). Для определения ее положения она освещается монохроматическим фотоном короткой длины волны Л. По месту попадания фотона на фотопластинку и судят о положении частицы. При освещении пучком света изображением частицы служит дифракционная картина со светлыми и темными кольцами и светлым кружком в центре. Но с одним фотоном дифракционную картину получить нельзя. При рассеянии на электроне фотон с той или иной вероятностью может попасть в любую точку потенциально возможной дифракционной картины, где интенсивность света отлична от нуля.
Практически все фотоны могут напасть только в пределы центрального кружка. Интенсивностью остальных колец можно пренебречь. Радиус центрального кружка й = Л!'р'. В этом приближении положение точки попадания фотона в плоскости изображения может быть определено с точностью порядка й.
Неточность положения Ьл электрона в предметной плоскости найдется из условия синусов Аббе йВ = Ьлз!псе, т.е. Л = е.'ьтвш ее. Чем меныпе Л, тем точнее определяется положение частицы. Но при рассеянии фотона на электроне последний испытывает отдачу, в результате чего импульс электрона получает неконтролируемое приращение Ьр (6/Л) гйп сс Чем меньше Л, тем болыпе это неконтролируемое приращение. Таким образом, при одновременном измерении х и р„мы приходим к соотношению неопределенности з 20) Соогпногаение неопределенностей 123 почленным делением находим го о — го и+ ио = 2с — — — —. ого -~ го Массу зеркала т можно считать бесконечно большой по сравнению с массой фотона.
Тогда ыа — ог и =иг,=с- — — —. на -~- м (20.9) Измерив частоты ого и го, можно по этой формуле вычислить скорость зеркала и. Частоту ого можно считать измеренной точно. Тогда ошибка еьи в определении скорости будет определяться неточностью измерения частоты ог. Чтобы измерить аг с точностью Ььг, для измерения требуется минимальное время Ы, удовлетворяющее условию Ьгс Ь~ 2я. На основании (20.9) оголог сЛго Ьи = — 2с 0оо .~- ы)е 2гоо Так как моменты отражения фотона известны с ошибкой Ы, то неточность в скорости и поведет к ошибке в определении координаты зеркала Ьх ~Ьи Ы~ — ~Ьго.
Ы~ 2ыо ого Но согласно (20.8) при взаимодействии с фотоном зеркало получает неконтролируемое изменение импульса Ьр 2агойг'с. Следовательно, опять получается соотношение неопределенностей Ьх. Ьр 2я6 = 6. 7. Приведенные примеры показывают, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. Конечно, и те и другие измерения сопровождаются ошибками.
Однако классическая физика считала, что путем улучшения методики и техники измерений ошибки в принципе могут быть сделаны сколь угодно малыми. Напротив, согласно квангповой физике сущеппвует принципиальвый предел точности измерений. Он лежит в природе вещей и не мозгсет быгпь превзойден никак м совершшютвованием приборов и методов измерений.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга и устанавливают один из таких пределов. Взаимодействие между макроскопичсским измерительным прибором и микрочастицей во время измерения принципиально нельзя сделать сколь угодно малым. Если измеряется, например, координата частицы,то измерение неизбежно приводит к принципиально неустранимому неконтролируемому искажению первоначального состояния частицы, а следовательно, и к неопределенности в значении импульса при последующем измерении. То же самое происходит, если порядок измерения координаты и импульса частицы поменять местами. 8. Отметим некоторые выводы, вытекающие из соотношения неопределенностей (20.2). Прежде всего видно, что состолпие, в котором чоспгица находигпсл в полном покое, невозможно.
Далее, в макроскопической физике )Гл. 1!1 Волновые свойства частиц вещества 124 импульс частицы определяется формулой р = тв. Для нахождения скорости и измеряют координаты частицы хг и хз в два близких момента времени !г и !х Затем находят частное (хз — хг)Д!г — !г) и выполняют предельный переход 1г — э 1г. Такой метод не годится для измерения мгновенной скорости микрочастицы.
Действительно, предельный переход требует точного измерения хг и хх А точное измерение координаты существенно меняет импульс частицы. Ясно поэтому, что предельным переходом нельзя найти мгновенную скорость ни в одном положении частицы. Можно, правда, промежуток времени 1а — !о взять длинным, а измерения хв и хг произвести с малой точностью. Тогда ошибки измерения мало скажутся на скоростях частицы и на значении дроби (хз — хг) Д!з — !г).
Но таким путем будет найдена не истинная скорость частицы, а ее среднее эпачепие па интервале времени 1г — 1г, Импульс микрочастицы можно определять по разности потенциалов, пройденной ею в ускоряющем электрическом поле, или по длине волны дс Бройля Л, измеренной каким-либо дифракционным устройством. В квантовой механике теряет смысл деление полной энергии й па кинетическую и потенциальную. Действительно, одна из этих величин зависит от импульсов, а другая от координат.
Эти же переменные не могут иметь одновременно определенные значения. Энергия б должна определяться и измеряться лишь как полная энергия беэ делен я па кинетическую и потенциальную. Об этом подробнее будет сказано ниже. 9. В классической теории не было параметра, определяющего размеры атома. Соотношение неопределенностей позволяет установить такой парамотр. Рассмотрим для примера водородоподобный атом с зарядом ядра Уе. Рассуждая классически, напишем уравнение сохранения энергии р ле = сопв1. 2т Если предположить, что электрон вначале находился на бесконечности практически в состоянии покоя, то следует положить сопз1 = О.
Этим определится р~, а затем р~г~ = 2т2'е~г. Соотношение неопределенностей возьмем в точной форме (20.4). Так как во всяком случае Ьг < г, Ьр < р, то из него следует р~г~ > й~/4, а потому 2тХезг > а~/4, откуда (20. 10) г > —, = — 0,66 10 см. х 8те Порядок размера атома эта формула определяет правильно. Числовому коэффициенту не следует придавать особое значение, так как формула (20.10) носит только оценочный характер. В частности, оценка показывает, что в кулоновском поле ядра падение электрона на ядро й 20) Совтвношение неопределенностей 125 невозможно. Более того, нахождение электрона внутри атомного ядра несовместимо с соотношением неопределенностей Гейзенберпь Если применить такую же оценку к определению размеров атомного ядра, то в формуле (20.10) вместо т надо было бы подставить массу протона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
