Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Действительно, пусть две волны де Бройля представляются выражениями т.е. между обеими волнами существует разность фаз 5(г). При их наложении получается волна Ф = Ф, + Фа. Вероятность обнаружить ) Г'л. 1!1 Волновые свойства час»ниц вещества 114 частицу в каком-либо месте пространства будет пропорциональна (Ф1+Фа)(Ф»+ !г) (!г 1г+Ф2Фг)+ + (ФзФ» + Ф»Фг) = 2+ (еы + е г~) = 2(1+ сов б).
~ ~Ф~2 (19.3) Она содержи г интерференционный член 2совб1г), меняющийся в пространстве от — 2 до +2, в зависимости от разности фаз б!г). Таким образом, интерференция будет наблюдаться. 7. До сих пор говорилось только о плоских волнах де Бройля, представляемых выражением (17.1). Такие волны сопровождают свободное равномерное движение частиц. Необходимо теперь обобщить полученные результаты на случай про звольных дв зкений частицы в произвольных силовых полях. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией Ф!г, !), зависящей от координат и времени.
Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля !17.1). Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Г!о ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.
Этв связь волновой функции с тем, что наблюдается в действительности, будет раскрываться постепенно по мере дальнейшего изложения. Сейчас же мы ограничимся только одной стороной этого вопроса. Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя.
Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообгцс говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности та зюе сосгавяние. Не имеет смысла говорить, что Ф равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда нс позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ф можно значительно сузить., если огп относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множигелем в функции Ф так, чтобы величина ~Ф~зд!' давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства гЛг. Тогда ~ Ф ~г = Ф'Ф будет иметь смысл плотности верон»внести, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве.
При этом Ф будет определена все еще с точностью дв првизвольногв постоя»тоге комплексного лпгозкителя, модуль которога, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки й 19) Статистическ я интерпретация волновой функции 115 где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем проел ранстве частица будет обнаружена с достоверностью. Нормировка (19.3) может оказаться невозможной, если интеграл (19.3) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны дс Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица ие уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства.
Тогда нормировка (19.3) не вызывает затруднений. Но предельным переходом ог нее можно получигь рациональную нормировку и в случае частицы, не локализованной в конечной области пространства 1см. 3 30). 8. Итак, непосредственный физический смысл связывается ие с самой функцией Ф, а с ее модулем Ф*Ф (или вообще с какими-то выражениями, билинейными по Ф' и Ф). Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ф, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ф'Ф? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества интерференции и дифракции.
Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Оиа (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем. Если Фг(гф) и Фз(гф) -- волновые функции, описывающие какие-то два состояния частицы, то всякая их линейная комбинация с постошгными коэффициентами сгФ~ + сзФэ предстаеляета также волновую функцию гаой же частицы, описывающую какое-то состояние ее. Найдя Ф указанным путем, можно в дальнейшем определить и плотность вероятности Ф*Ф в состоянии Ф.
Оправданием такого принципа суперпозиции является согласие с опытом вытекающих из него следствий. Является ли принцип суперпозиции точным законом природы, или он верен только в линейном приближении, этот вопрос не может считаться выясненным. Мы будем строить дальнейшую теорию в продположении, что принцип суперпозиции выполняется точно. Подчеркнем особо, хотя это и содержится в изложенном выше, что физический смысл волновой функции Ф связан не только с ее модулем, но и с ее фазой, определяемой мнимой частью этой функции.
Если бы речь шла о волновой функции только одного состояния, то можно было бы ограничиться одним только модулем. Но если речь идет о наложении состояний, то происходит их интерференция, а она определяется относительной разностью фаз волновых функций, описывающих эти состояния. 9.
В связи с изложенным становится понятным, почему при рассмотрении обычных волн, например электромагнитных, инвариантность (Гл. 1!1 Волновые свойства часгпоц вещества 1!6 (19.4) (19.5) Однако собственную энергию частицы тес учитывать нс будем. Это 2 значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую частоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение о~.
В частности, в случае свободного движения б = р /2т и закон дисперсии записывается в виде (19.6) вместо прежнего соотношения (19.2). Это приводит к новому выраже- нию для фазовой скорости волн де Бройля; х М р о оф = — = — = — = й 2т 2т 2 (19.7) Однако зто не может отразиться на физических выводах теории, так как фазовоя скорость, как и сама частота ы волны дс Бра "ля, относится к числу принципи льна ненаблюдагмых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины плотность вероятности Ф'Ф и групповая скорость (17.8) — при новом выборе частоты остаются фазы волны ы1 — !сг нами доказывалась (см.
т. Ю, З 107), тогда как в случае волн де Бройля это не делалось, а частота оо специально подбиралась так, чтобы указанная инвариантность была обеспечена (см. З 17, п.2). Доло в том, что доказательство, приведенное в т. 1Ъ' (З 107), предполагало возможность счета волн, проходивших мимо наблюдателя. Для волн дс Бро "ля такал возможность ис "люченщ ибо наблюдатель может следить не за самой волной Ф, а только за плотностью вероятности Ф*Ф. Поэтому указанное доказательство к волнам де Бройля неприменимо.
10. Частота волны де Бройля ы и вообще частота волновой функции относятся к принципи льна ненаблюдаемым величинам. Этим можно воспользоваться, чтобы перейти к квантовой механике в нереллтивистской форме. И в классической механике обширная область явлений охватывается в нерелятивистском приближении. То же может быть сделано и в квантовой механике. К тому же здесь переход к релятивистскому рассмотрению осложняется следующим обстоятельством. В сильных полях, когда энергия поля (например, у-кванта) превосходит 2т,с~, начинается рождение пар влектропповитрон. То же наблюдается в аналогичных случаях и для других частиц.
По этой причине последовательная релятивистская квантовая механика ке может быть гаеорисй одного тела (одной частицы). Теория одного тела возможна только в нсрелятивистском приближении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только нерелятивистской квантовой механикой. В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-прежнему пользоваться соотношениями й 20) Соетпнотиение неопределенностей неизменными (см. 2 17, п.З). Остаются неизменными, как это будет видно из дальнейшего, и все величины, доступные измерению на опыте.
11. Остановимся в заключение на общей характеристике всякой количественной физической теории. Такая характеристика особенно существенна при изучении квантовой механики. Как отмечал Л. И. Мандельштам (1879 -1944), всякая теория состоит, вообще говоря, из двух дополняющих друг друга частей. Первая часть — это математический аппарат теории, т. е.
уравнения между различными математическими символами, входящими в теорию. Вторая часть определяет связь этих символов с природой, с реальной действительностью. Вез второй части теория иллюзорна —. это чистая магематика, а не естественная наука. Без первой части вообще нет количественной теории. 7олько совокупность обеих частей состпавляет количеставенпую физическую тттеорию. Классические теории всегда начинались со второй части. Смысл символов, которыми оперировала теория, считался известным заранее или устанавливался и уточнялся в процессе ее построения. Таковы были время, длина, масса, сила, электрический заряд, напряженности электрического и магнитного полей и т.д. Правда, точные научные определения соответствующих понятий иногда бессознательно подменялись наивными предсчпвлениями, заимствованными из повседневной жизни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
