Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В результате для радиуса ядра получилась бы величина примерно в 2000 раз меньшая, чем (20.10). Но и это слишком много (размер ядра порядка 10 'з см). Это показывает, что длл образования ядра кулоновских сил иедоствтошзо. В ядре должны действовать более мощные ядерные силы, превосходящие кулоновские примерно на два порядка. 10. Наряду с соотношением (20.1) в волновой теории выводится также соотношение Ы Ьш)2я (20.11) (см. т. 11/, з 29). Смысл этого соотгюшения состоит в том, что ограниченный во времени волновой процесс не может быть монохроматическим. Если процесс длится в течение времени Ы, то разброс час тот Ьш входящих в него волн в лучшем случае удовлетворяет соотношению (20.11).
Поэтому, если для наблюдения даже монохроматического процесса предоставлено малое время ьъ1, то частота процесса принципиально будет найдена в лучшем случае с ошибкой, подчиняющейся соотношению (20.11). Если частоте ы сопоставить энергию по формуле 6 = 6ю, то формула (20.11) перейдет в Ь1. Ь)г > 27г6 = 6. (20.12) Формула (20.12) называется соотношением неопределенностей Гейзенбераа длл времени и энергии. Соотношение (20.12) означает, что чем короче время существования какого-то состояния или время, отведенное для его наблюдения, тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния.
Наоборот, чем больше это время, тем с большей точностью определена энергия состояния. Если состояние стационарно, то оно может существовать бесконечно долго. Именно по этой причине энергия стационарного состояния имеет вполне определенное значение. Противоположным примером может служить нестабильная элементарная частица, распадающаяся за очень короткое время (скажем, порядка 10 зо с). Об определенной энергии такой частицы говорить не приходится. Поэтому при рассмотрении процесса ее распада не требуется нала~ать условие сохранения энергии. ЗАДАЧИ 1. На какую кинотическую энергию й„„„должен быть рассчитан электронный (и протонный) ускоритель для исследования структур с линейными размерами 1 1 ферми ПО ' см)? Ответ.
Волновые свойства частиц вещества 126 где Л = Ь/(тс) — комптоновскэя длина волны электрона (протона). Для электрона 3 ) т,с — 720 МэВ. гЛ Для протона Л 3 н„) трс 1-Е ( — ) — трс' — 600 МэВ. 2. Среднее, время жизни атома в возбужденном состоянии составляет около л31 10 е с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна Л = 500 нм.
Оценить ширину лЛЛ и относительную ширину л3Л/Л излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за сче г других процессов. (Такая ширина называется естественной шириной спектральной линии.) О т в е т. Л вЂ” л елЛ Л г егЛ- 10 им, — — 10 сЬ1 Л слг1 3. Принимая во внимание, что классическая (корпускулярная) механика является приближенным предельным случаем механики волновой, найти условие, при выполнении которого рассеяние а-частиц и шгектронов на атомных ядрах можно рассчитывать классически, как это делал Резерфорд при выводе своей формулы (9.3).
Решение. Обозначим через а радиус атома. Можно считагь, что рассеивающаяся частица подвергается действию кулоновских сил ядра только в пределах сферы радиуса а с центром в центре атома. Такая идеализация неприменима только при очень далеких прицельных расстояниях, когда получаются слишком малые углы рассеяния, при которых экспериментальные исследования не производятся. Рассмотрим плоскопараллельный пучок частиц с поперечным сечением л3х, падающий на атом, и выясним, при каких условиях его распространение в атоме можно рассматривать классически, т. е. без учета дифракции частиц (как это делается в приближении геометрической оптики). Дифракционным расширением пучка, как известно из оптики (см.
т. 1Ъ', 3 6), можно пренебречь, если 1 « л3х~/Л, где 1 — длина пучка. В рассматриваемой задаче под 1 следует понимать путь луча в кулоновском поле атома. По порядку величины 1 а, лЛх а. Таким образом, условие применимости приближения геометрической оптики принимает вид а « (( а,гЛ, или Л (( а. Подставив сюда выражение для длины волны де Бройля Л = Ь!р =- 6/(2тй) 1ог, находим искомос условие: 1г г.
(20.13) 2та При нашем рассмотрении не учтено действие ядерных сил. Но радиус ядра а,, где и действуют ядерные силы, примерно в 10 раз меньше радиуса атома а„, Поэтому на ядро падает примерно в (а /а„л) — 10 меньше г ло частиц, чем на атом. Точно так же не играют существенной роли и кулоновские силы в непосредственной близости от ядра. Этим наше приближение оправдано. При численных расчетах формулу (20.13) удобно переписать в виде (г» (1лс) (20.14) 2тс а з 201 Соотношение неопределенностей 127 пользуясь числовым значением Ьс = 1,24 10 ~ эВ см. Энергию тс следует брать в зВ, а длину а — в см.
Для а-частицы тот = 3,75 ° 10э зВ. Полагая а =- 10 е см,получаем в этом случае 1с » 0,2 эВ. Энергия о-частицы порядка 1 МэВ, так что в случае о-частиц применение классической механики оправдано. Для электрона тсз = 0,511 . 10 эВ, а потому должно быть И » 120 эВ. Таким образом, для электронов с кинетической энергией 100 эВ классической механикой пользоваться уже нельзя. Рассмотренную задачу можно было бы также решить на основе принципа неопределенностей Гейзенберга.
Глава 1Ъ' лгРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ 9 21. "агравнение Шредингера 1. Плоская волна де Бройля Ф=Сей ' (21.!) является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. Основная задача волновой механики как раз и состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях.
Для ее решения служит ногтевое уравнение, найденное П!редингером в 1926 г. Это основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нереллтивистской квантовой механике, т. е, в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме. Уравнение П! редингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкрегный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. Б него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их числовые значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач.
Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение П!редингера было линешю и однородно по Ф. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества (см. З 19, и. 8). 2. При отыскании уравнения Шредингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (21.1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условием, решением которого является эта волна. Дифференцирование (21.Ц по х дает др .
ар дх * ' дх~ з 21) Уравнение ййредингера 129 Такие же соотношения получим при дифференцировании по у и г. Сложением полученных вторых производных найдем 2 а Это дифференциальное уравнение, но нс то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина р предполагалась постоянной, а потому уравнение (21.2) описывает конкрегное движение с заданным постоянным импульсом. Продифференцируем теперь (21.1) по времени при постоянной ы: 1й —,— = — — -'Г 'У+ и(г)Е дФ а~ дг 2т (21.5) будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы.
Это и есть уравнение Шредингера. Пуггп которым мы пришли к уравнению Шредингера, конечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение !Предингера -- сущестненно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он нс содержится. Единственным доказательством уравнения Шредингера является только опыт— опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.
5 Д.В. Сивухкк. т.у дФ ..И вЂ” = — 1ьэФ = — 1 — Ф. (21.3) дг а Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией Ф'. Разделим, однако, почленно уравнение (21.2) на уравнение (21.3) и учтем, что в нерелятивистской механике Ф = р /2т. Таким путем придем к однородному линейному уравнению 121А) дг 2т которое уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Примем в качестве постулата, что уравнение 121А) справедливо для любых движений частицы в свободном пространстве.
Это уравнение и есть уравнение Шредиигера в отсутствие силовых полей. Обобщим теперь уравнение (21.4) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенцивлтгых силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функциейили потенциальной энергией 11(г).
Единственными непотенциальными силами, встречающимися в атомной механике, являются силы магнитные, но мы временно отвлечемся от их рассмотрения. Заметим теперь, что ад/д1 имеет размерность энергии. Значит, одинаковую дФ размерность имеют и величины И вЂ”,— и 1/(г)Ф. Поэтому прибавление дг в правой части уравнения (21.4) слагаемого 11(г)Ф не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение [!л. !Н Уравнение Шредингера. Квантование 130 3. В уравнении (21.5) в неявной форме уже заложена двойственная — - корпускулярно-волновая — природа вещества. Согласно интерпретации волновой функции Ф частица не локализована.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
