Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 35
Текст из файла (страница 35)
6. При дальнейшем увеличении параметра еы а следовательно, и расстояния между точками поворота кривые ер = ер1(х) и ер = фг(х), по-прежнему загибаясь вниз, начнут опускаться. Опять на вертикальной оси появится угловая точка (рис.42 г), т.е. второе условие (22.3) перестанет выполняться. Однако в качестве решения уравнения 1Предингера при х ( О теперь можно взять новую функцию уех(х), отличающуюся от прежней функции фг(х) знаком. Она изображена на рис.
42 г штриховой кривой. Ясно, что эча штриховая кривая зеркально симметрична с прежней кривой гд = фг(х) относительно горизонтальной координатной оси, а следовательно, симметрична с кривой гр = у 1(х) относительно начала координат. Когда угловая точка, упомянутая выше, опустится в начало координат, верхняя кривая ед = фл(х) непрерывно сомкнется с нижней (штриховой) кривой, т. е, первое условие (22.3) будет выполнено.
Соответствующая результирующая кривая й 22) Уравнение Пбредингера и квантование изображена на рис. 42 д уже всюду сплошной линией. При этом будет выполнено н второе условие (22.3), так как в начале координат уэ1 = фг, а потому оно является точкой перегиба розультирующей кривой. Рассмотренному случаю соответствует второе собственное значение энергии й = Фг. Третьему собсепоепному значению У = уз соответствует волновая функция, представленная на рис. 42 е. Продолжая этот процесс далыпе, убеждаемся, что соботвенные функции стационаркъи.
состояний мсют узлы, в которы опи обращаются в нуль. Число узлов на единицу меныие номера соответствующего собственного значения энергии. 7. Итак, при й < 0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Поскольку в этом случае волновая функция стационарного состояния на бесконечности асимнтотически экспоненциально убывает, можно сказать, что при У < 0 частица находится в практически ограниченной области пространства, т.е.
совершает фипитное движение. Напомним, что в классической механике условие финит- ности движения также имеет вид й < 0 (см. т. 1, 2 25). Различие состоит только в том, что согласно классической механике частица не может проникать в пространство за точками поворота, тогда как по кнантовой механике ее можно обнаружить и в этом пространстве, хотя и с вероятностью, быстро убывающей при удалении от точек поворота.
Число возможных стационарных состояний или энергетических уровней зависит от вида потенциальной функции ~У(к). Оно может быть конечным или бесконечным. В частности, когда глубина симметричной потенциальной ямы достаточно мала, возможно всего одно стационарное состояние. Если же число дискретных энергетических уровней бесконечно велико, то, очевидно, с возрастанием номера уровня его энергия должна асимптотически приближаться к 8 = О, а расстояние между соседними уровнями — стремиться к нулю.
8. Отметим еще раз, что не существуегп сгпациопарного состоян я с энергией У = сЕи„„. В противном случае частица все время находилась бы в точке к = О, т.е. покоилась бы на дне потенциальной ямы, что противоречит принципу неопределенностей Гейзенберга (см. з 20, п. 8). Наименьшая энергия, которую может иметь частица в потенциальной яме, равна ем. Эта энергия называется нулевой заергией. Нулевая энергия в заданной потенциальной яме ьЕ(к) нс может быть отнята от частицы, поскольку она является наименьшей допустимой энергией. Ч"гобы ее изменить, надо изменить саму потенциальную яму.
Нулевая энергия проявляется во многих явлениях. Примером может служить гелий. При абсолютном нуле температуры его атомы не находятся в покое, а благодаря наличию нулевой энергии совершают так называемые нулевые колебания. Вблизи абсолютного нуля они еще достаточно интенсивны, тогда как силы молекулярного притяжения слабы. Этих сил недостаточно, чтобы жидкий гелий перевести в твердое состояние, даже при абсолютном нуле температуры. Требуется повысить давление на гелий до 24 атм или выше, чтобы он (при Т = 0) перешел в твердое состояние. Уравнение И!редингера. Квантование.
138 9. Осталось рассмотреть решение уравнения (22.1) при положительных значениях параметра й. В этом случае на бесконечности уравнение (22.1) асимптотически переходит в —,+,3 Ф=О, а'р 4х~ (22.4) й 23. Гармонический осциллятор 1. Гармоническим осцилллтором в классической физике называют частицу, на которую действует сила, пропорциональная отклонению частицы из положения равновесия и направленная к нему.
Осциллятор называется одномерныл~ если частица может двигаться только вдоль одной прямой. Последнюю мы примем за ось Х, а положение равновесия — за начало координат. Потенциальная функция частицы имеет где )1 =,/2тй~йз, т. е. б положительная постоянная. Оно имеет два линейно независимых решения сйп Дх и сов бх, остающиеся конечными при х = хоо. Поэтому любое решение ф(х) уравнения (22.4) также конечно при х э хео, хотя при этом оно и не стремится к определенному пределу, а осциллирует.
Если !У(х) непрерывна, то будет непрерывно и всякое решение уравнения (22.4) вместе со своей производной в любой точке интервала — со < х < +ос. Взяв любое решение, осциллирующее на отрицательной бесконечности, и продолжив его в сторону положительных х, мы получим всюду непрерывное решение с непрерывной производной, осциллирующее на положительной бесконечносги.
Условие сшивания (22.1) выполняется автоматически. Таким образом, каким бы ни был положительный параметр Ф, любое решение уравнения (22.1) может быть волновой функцией. Это значит, что при е > О энергетический спектр частицы непрерывный, Поскольку при х = хсо функция ф остается конечной, частица с отличной от нуля вероятностью может уходить в бесконечность. Иными словами, при й > О движение частицы будет ингринитно.
Таково же условие инфинитности движения и в классической механике (см, т, 1, 8 25). 10. В заключение заметим, что естественные требования, накладываемые на решения уравнения !Предингера, о которых говорилось в начале этого параграфа, могут быть ослаблены. Достаточно ограничиться трехмерным случаем. Во-первых, в этом случае погенциальная функция !У(г) может в некоторой точке обращаться в бесконечность. Пусть такой точкой является начало координаг г = О. Тогда, как доказывается в квантовой механике, допустимы решения, которые в окрестносги начала координат ведут себя как ф 1(г с положительным значением постоянной о. Однако должно быть о < 1.
Во-вторых, из физических соображений ясно, что требование однозначности должно налагаться не на саму функцию р, а но плотность веролтности й*~. Но во всех вопросах, рассматриваемых в квантовой механике, оно сводится к однозначности ф. 1!а этих вопросах мы не можем останавливаться. й 23) Гармонический оеиилллтор 132 вид à — 21х (23. 1) где Й вЂ” постоянная (коэффициент упругости), а х — отклонение частицы от положения равновесия. Графиком функции 1У(х) является парабола (рис.43).
Согласно классической механике осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой ог = = Хеек7т, где т масса частицы. В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как частицу с потенциальной функцией 11(х). Найдем энергии стационарных состояний осциллятора, следуя идеям предыдущего параграфа. Но здесь возникает следующая труд- Рис. 43 ность. Функцию 11(х) нельзя нормировать так, чтобы она обращалась в нуль в бесконечности, так как при х = хоо она сама бесконечно велика. Но эта трудность искусственная.
В реальных системах при возрастании ~х~ начинают проявляться отступления от параболической формулы (23.1), так что ь1(хоо) становится конечной. Рассмотрим случай, когда 11(х) симметрична, так что 11(+со) = 11( — оо). Тогда методы предыдущего параграфа становятся применимыми. Но здесь удобнее эа нуль 11(х) принять ее значение при х = О. Мы проведем решение, предполагая, что формула (23.1) справедлива при любых х.
Однако для реального осциллятора полученные результаты будут справедливы для не слишком больших значений ~х~. 2. Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид й йй~ 1 + ке, 2,( 2т, йх 2 Если ввести безразмерные величины (23. 2) л= — -, 21' Гй Ью' '1 1ко' (23.3) то оно преобразуется в Дф э ис — = 2асе е = 2асу1, Ычр оф ос ~ , = 2аф+ 2ас = (4а~с~+ 2а)ф. ос е1с —, + сто = Л1о. (23.4) При определенном значении параметра Л это уравнение имеет решение г у1 = е е, где а — постоянная, которая сейчас будет определена вместе с Л. Дейсгвительно, [Г.1У Уравнение 1Предингера. Квантование 140 Подставляя эти значения в (23.4), получим (1 — 4сггЦа — 2ег = Л, причем это соотношение должно выполняться тождественно по с.
Это будет тогда н только тогда, когда 1 — 4егг = О, Л = — 2ег, т.е, ег = = ~1/2. Знак плюс следует отбросить, так как в этом случае функция 2 гр = е е обращалась бы в бесконечность при с = хоо. Таким образом, получается решение гр = е (23.5) если Л = 1. Это решение не имеет узлов, а потому оно описывает основное состояние гармонического осци яторо,. Ему соответствует нулевая энергия 30= 26Ю вЂ” -2 (23.6) 3. В стационарном состоянии с энергией й„функция 1д должна иметь и узлов. Такое число узлов имеет функция ~= .Я -": (23.7) — Р„аЯ+ 2Р,Р„'Я+ Р„Я = ЛР Я. (23.8) Это соотношение должно выполняться тождественно по 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
