Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Из ннх первое описывает свободное деижепие центра масс системы воображаемой частицы с массой тз + т2. Второе же описывает относительное движение первой частицы относительно второй, в нем истинная масса частицы заменена приведенной массой т = т2Ш2/(пц + т2). В самом деле, произведение щ(г)щ(К), в котором переменным является К, а г рассматривается как параметр., т.е. Уравнение !Дредингера. Квантование 152 в сущности как постоянная, описывает то же движение центра масс, что и функция г)г(К).
Аналогично, то же произведение г(г(г)71(К) будет описывать относительное движение, если за переменную принять г, а К рассматривать как параметр. Если теперь (26.6) умножить на уг(г), а (26.7) на г(г(В.) и оба уравнения сложить почленно, то мы получим, что функция г(г = у1(г)гр(К) будет обшим решением уравнения (26.5).
Таким образом, общая волновал функция, описывающая независимые двилсения центра масс и относительное двизюе~ие частиц, распадаетсл на произведение двух дгуггкций от различных перемеггных: гр(г) и ф(В). При этом, как и в классической механике полная энергия распадаегся на сумму энергии, связанной с движением центра масс системы, и энергии относительного движения частиц. Если отвлечься от движения центра масс, считая его как бы неподвижным, то уравнение (26.6) отпадает. Остается только уравнение (26.7) длв относительного движения частиц.
Поэтому это уравнение мы будем писать просто в виде 2т (26.8) ЗАДАЧА Дейгрон состоит из связанных протона и нейтрона Они удерживают друг друга посредством короткодействующих ядерных сил. Потенциальную функцию взаимодействия можно аппроксимировать пространственной потенциальной ямой прямоугольной формы с глубиной — !!е и радиусом а (расстояние между центрами протона и нейтрона).
Дейтрон имеет только одно связанное состояние. Энергия связи дейтрона,измеренная экспериментально, составляет 2,225 МэВ. Этого недостаточно для определения двух неизвестных !!е и а. Зададим а =- 2 10 'г см (это недалеко от истины). Мы не настаиваем,что это есть точное значение а. Наша цель — привести только схему расчета. Из этих данных определить глубину потенциальной — Г!е. Р е ш е н не. Представляет интерес только относительное движение протона и нейтрона.
Поэтому можно воспользоваться уравнением (26.8), понимая под т приведенную массу системы. Если пренебречь различием масс протона и нейтрона, то приведенная масса будет т)2, где т — масса одной из частиц (например, протона). В дальнейших вычислениях используются следующие постоянные: тс =- 938,28 МэВ, бс =. 1,97329 10 МэВ см. Так как у дейтрона только одно связанное состояние,то его энергия в этом состоянии 8 = -2,225 МэВ. Это позволяет по формулам (24.6) и (24.12) найти П. Только в формуле (24.6) т следует заменить на т/2. Это даег туа тс уа г г Ц = — г =.
— г = 0,21437, г! = 0,463099. 5~ 5~с Величину б находим из уравнения ц =- — бс188. Сначала решаем это уравнение грубо графически, пользуясь крайней левой кривой на рис. 46 б. Затем уточняем решение аналитически с использованием 6 27) Квантование водородоподобного атома 153 интерполирования. Таким путом без труда находим б =- 1,81993. Искомая глубина потенциальной ямы г г — Уо = — г- г (4 + и ) = 36,61 Мэв.
6 е тс а й 27. Квантование водородоподобного атома в сферически симметричном случае дгд 2агд /ч 21 — —,+ — — — +~- — Р )ф=о, г дг (27.1) где введены обозначения 2тб 2т7е ,г ~ ч 6 6г Введем новую функцию и(г) по формуле и(г) (27.2) Тогда ди ди 9 — 2,3 — + — и = О. дгг дг (27.3) 1. Приведем еще один пример на квантование энергии атомной системы. Речь идет о водородоподобном атоме. Рассмотрим частный случай, когда волновая функция 16 электрона в атоме сферически симметрична, т.е. зависит только от радиуса г — расстояния электрона от атомного ядра. Такой случай не предусматривался старой теорией Бора. Б ней всякое движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам и., следовательно, не могло быть сферически симметричным.
Но в квантовой механике, в которой нет представления о движении электронов по орбитам, нет никаких препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Из сферической симметрии следует, что в таких состояниях должна обращаться в нуль величина, соответствующая тому, что в классической механике называется моментом количества движения. В теории Бора нулевым моментом количества движения обладал бы электрон, движущийся прямолинейно вдоль радиуса. При таких движениях он неизменно претерпевал бы столкновения с атомным ядром. Старая теория Бора не давала удовлетворительного решения возникавпгей здесь трудности, — - чтобы избежать столкновений с ядром, она просто исключала возможность радиальных движений электрона. Понятно, что в квантовой механике подобной трудности не возникает.
2. Пусть Ле — заряд ядра. Естественно записать уравнение Шредингера в полярных координатах. В рассматриваемом случае сферической симметрии оно будет [Гл. !Н Уравнение 111рединеера. Квантование 154 Ищем решение этого уравнения в виде ряда и= 2' аьт~, ь=т (27.4) где 7 — постоянное число, пока что не определенное.
Подставляя (27.4) в (27.3) и приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к со- отношениям аевг 2614 — д ае й(й + 1) Отсюда следует, что при 34 — > оо (27.7) аеег 2~3 — — — 2 — — -. ае Йг-1 Сравним разложение (27.4) с разложением показательной функции: , д С;-с„ть в=а ь=в Коэффициенты сь последнего разложения асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты аь, ибо еьйг 2Я еь й+1 Значит, на бесконечности сумма ряда (27.4) асимптотически ведет себя как показательная функция е+ Р', а волновая функция 432(т) — как еа'/т., т.е.
при произвольно выбранном значении б функция 412(т) при т = оо обращается в бесконечность. Этого не будет только для таких значений (и при которых ряд (27.4) обрывается, т.е. переходит в сумму конечного чисна членов. Г!усть, например, при й = и числитель формулы (27.7) 2131 — 4 = О. Тогда, как видно из (27.7), а„вг и все последующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд (27.4) оборвется. Следовательно, и-й энергетический уровень определится условием 2)3п — 43 = О.
Используя его, из (27.2) находим т2 е 2 4 (27.8) йг 21 что совпадает с соответствующей формулой теории Бора. 1(7 — 1) =О, (27.5) в(1+ 1)аь г — 2(3йаь + 41аь = О при й т': у. (27.6) Из (27.5) следует, что либо у = О, либо 7 = 1. Первая возможность исключается, так как при у = О нулевой член ряда (27.4), т.е. ав, был бы отличен от нуля. А в таком случае функция гр при т = О обращалась бы в бесконечность как ав/т, что противоречит общим требованиям, накладываемым на гд в особых точках.
Таким образом, разложение (27.4) должно начинаться с й = 1, а это значит, что 7 = 1. Исследуем теперь поведение ряда (27.4) на бесконечности. Из (27.6) получаем й 27) Квантование водородоиодобного атома Изложенным еще не решается задача о спектре водородного и водородоподобного атомов, даже в ее наиболее грубой постановке. Чтобы объяснигь спектральные серии, необходимо схему энергетических уровней дополнить правиггами отбора при излучении фотонов.
Оказывается, что переходы между найденными нами уровнями энергии, соответствующими сферически симметричным состояниям водородоподобного атома, являются запрещепньми, т.е, не сопровождаются (дипольным) излучением. Для объяснения спектральных серий необходимо рассмотреть сферически несимметричные состояния водородоподобного атома и установить правила отбора. Это будет сделано ниже (см. 2 39).
3. Для сравнения с теорией Бора найдем еще волновую функцию грг(т) основного состояния в сферически симметричном случае. Так называется стационарное состояние наименьшей энергии. Посмотрим, при каких значениях параметров й и а, уравнению (27.1) удовлетворяет экспоненциальная функция фг(т) = е (27.9) где аг > О. Эта функция не имеет узлов. Поэтому если 4Р2(т) удовлетворяет уравнению Шредингера (27.1), то она и будет волновой функцией основного состояния. Дифференцируя фг (т) дважды по т и подставляя результаты в (27.1), получим 1 2 41 — 2- — +--Д =О. аг агт т Это соотношение должно выполняться гождественно по т, а потому должно быть 2 = 41 аг 2ог Зог 4ог 2 2 а, или на основании (27.2) 32 4 аг=,, 3=112=— (27Л 0) тиЛе 26 Последнее выражение является частным случаем (27.8) при и = = 1, как и должно быть для основного состояния.
Параметр аг имеет размерность длины, при г = 1 он обращается в боровский радиус. з О физическом смысле этого паралгетра в квантовой механике будет сказано несколько ниже. 2 Функция грз(т) при т = 0 обращается в единицу, т. е. остается конечной. Следовательно, при т = 0 и(т) = тгр4(т) = О, как того требует и общая теория. Если функция гбг нормирована, О то ~4)42~2 дает объемную плотность вероятности обнаружения электрона [Г.1У Уравнение 1Прединееро.
Квантование в пространстве. Наряду с ней введем радиальную плотность вероятности р, Вероятность обнаружения электрона в сферическом слое между т и т + Мт равна объему этого слоя 4хтздт, умноженному на 'Ррг~~, т.е. 4ят~~ррг)~ дт. Эту вероятность можно представить в виде ргпт. Величина рг и есть радиальная плотность вероятности произведение р дт дает вероятность того,что электрон будет обнаружен на расстоянии от ядра между т и т + е1т. Таким образом, ф =Се р = 4хСзтзе Интегрируя второе выражение по т в пределах от 0 до +ос и приравнивая результат единице, находим нормировочную постоянную С и таким путем получаем у)з = )/ в е "~ш, р„=, т~е зг~ш. (27.11) ха~ аг На рис.49 представлены графики кривых ~фг~~ и р, Ординаты первой кривой увеличены в десять раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
