Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Она просто совпадает с классической скоростью и равна и = р/т = 51г/т. Наконец, плотность вероятности потока массы вещества равна тога'гу = Ьку1*у1. В падающей волне эта величина равна ййг ф~гуг = ггаы Аналогично, плотности вероятности потока вещества в отраженной и прошедшей волнах равны соответсгвенно ~г~гйlсг и )а~~йг1гг. Отношение плотности вероятности потока массы в отраженной волне к плотности вероятности потока массы в падающей волне называется коэффициентом отражения частицы Л.
Аналогично определяется коэффициент пропусканил частицы Р. Он называется также пропускаемостью или прозра шестью барьера. Для этих величин находим г (кг + йг)г так что И+ Р = 1, в согласии с законом сохранения вещества. 5. Обратимся теперь к случаю, когда 11 < 1/г. В этом случае формулы (28.4), конечно, также остаются справедливыми. Остается справедливой и первая формула (28.5), поскольку отраженная волна по-прежнему однородна.
Однако величина аг будет чист ~о мнимой, так что волна во второй области станет неоднородной. В первой же формуле (28.5) числитель и знаменатель будут величинами комплексно сопряженными. Значит, й = 1, т. е, отражение частиц становится полным, как и в аналогичном случае в оптике. Однако волна во второй области не исчезает. Действительно, полагая кг = гсг, для этой волны получаем 2.г грг= — — е е ™ (28.6) Йг + йг т. е. амплитуда волны в области П экспоненциально затухает при удалении от границы раздела областей. Глубина проникновения 1 определяется как расстояние, на котором плотность вероятности потока вещества убывает в е раз.
Для нее получаем 1 Лг (28.7) 2о 4л' где 2кй 6 (28.8) Таким образом, волна проникает в область 11, несмотря на то, что она отражается полностью, а вероятность отражения частицы обращается в единицу. Разрешение возникающего здесь кажущегося парадокса в точности такое же, как и в случае полного отражения света 6 28) Потенциальные барьеры 161 г = — +и, 2т (28.9) т.е. 1> как и в классической механике, равна сумме кинетической и потенциальной энергии.
Такое совпадение с классической механикой обусловлено тем, что потенциальная функция П» во всем пространстве 1 постоянна, т. е. это пространство свободно от сил. К тому же результату мы придем и в пространстве 11, если только в этом пространстве й > !»з, и, следовательно, волна однородна. 8. Рассмотрим теперь область П в случае, когда 6 < П. Вероятность обнаружить частицу в области 11 в этом случае рассматривалась как парадокс. Основанием для этого является соотношение (28,9), из которого с»сдует, что всегда й > 1,», так как кинетическая энергия р~»»2т существенно положительна. Однако, как уже неоднократно В д.н. Сивухнн. '»»»/ (см.
т. 1У, '2 66). Наше решение относится к с»пационорному состоянию, поскольку оно основано на уравнении Шредингера именно для таких состояний, Проникновение же волны во вгорую область происходит в переходный период, когда состояние во времени еще не установилось. В этот переходный период полного отражения волны еще не может быть. Исследование же переходного периода может быть осуществлено на основе уравнения Шредингера, но уже для нестационарных сосгояний (21.5).
6. Подчеркнем еще раз, что в найденном нами стационарном состоянии, описываемом тремя волновыми функциями»1»», у»», »1»г частица не локализована. Она может с той или иной вероятностью находиться в любой точке пространства. Общим для всего этого состояния является параметр (т названный нами полной энергией частицы. Следует с осторожностью отождествлять это понятие с полной энергией, как она понимается в классической механике. Так, мы уже указывали, что в квантовой механике не всегда имеет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную (см. З 20, и. 8). Чтобы определить параметр 6 надо произвести измерение, т.е. как-то воздействовать на частицу.
7. Рассмотрим сначала состояние частицы в части пространства 1. Оно представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн»»»» и»1»», распространяющихся навстречу друг другу. Их волновые числа имеют определенные значения, одинаковые по величине. Поэтому одинаковы по величине и импульсы, соответствующие обеим волнам. Измеряя импульс, когда частица находится в части пространства 1, мы найдем, что он с той или иной вероятностью равен либо р» = »»1а, либо р» = — »»1г». Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга определенность импульса в каждой волне связана с тем, что чашаица не локализована. Действительно, неопределенность координаты Ьх бесконечно велика, и потому, согласно соотношению (20.2), неопределенность ил»пульса Ьр для каждой волны обращается в нуль.
Учитывая соотношение р = 61», формулу (28.3) можно переписать в виде [Г.1У Уравнение 1Прединеера. Квантование 162 подчеркивалось, формула (28.9) есть соотношение классической лгехапики и неприменима при й < Гг'. В этом случае волна де Бройги неоднородна и обычные выражения импульса и кинетической энергии частицы теряют смысл. Однако обнаружить частицу в области 1! возможно, поскольку вероятность такого обнаружения не обращается в нуль, а лишь экспоненциально убывает по мере удаления от границы барьера в сторону положительных к. Обнаружить частицу — это значит указать границы, между которыми она окажется в результате обнаружения. Г!рактически частицу можно обнаружить только в тонком поверхностном слое вблизи границы барьера, толщина которого порядка глубины проникновения 1.
Величина 1 и может быть принята за неопределенность координаты после обнаружения частицы. Неопределенность импульса обозначим через егр. Тогда в силу соотношения неопределенностей (20.4) Хр . 1г > -"-. Подставляя сюда значение 1 из (28.7) и (28.8)г получим глр —,--'- > иг - ~„ 2т т.е. для локализации частицы в области 1! в слое толщины 1 ей необходимо сообщить кинетическую энергию, величина которой во всяком случае не меньше Г12 — Р', т.е. положительна. Такую энергию частица может, например, получить при освещении ес световым квантом достаточно короткой длины волны (эффект Комптона).
Понятно, что такая локализация меняет квантовое состояние частицы. После взаимодействия со световым квантом волновая функция частицы будет отличаться от нуля только внутри выбранного нами слоя толщины 1, обращаясь в нуль вне этого слоя. Не обязательно, чтобы слой толщины 1, в котором обнаруживается частица, располагался у края барьера. Он может быть расположен где угодно в области 11. От его положения зависит лишь величина вероятности обнаружения частицы в слое.
Но энергия, которую надо сообщить частице при ее локализации в слое толщины 1, зависит только от толщины слоя, а не от его положения. Толщина же слоя определяется экспонентой е ~ и от положения слоя не зависит. Иллкктрируем роль измерения еще на следующем примере. Частица должна быть локализована внутри слоя толщины 1.
С этой целью осветим ее пучком света, распространяющимся вдоль слоя перпендикулярно к оси Х. Если произойдет рассеяние света, то это и будет означать, что частица в момент рассеяния была локализована внутри рассматриваемого слоя. Из оптики известно, что длина световой волны для локализации должна быть короче 1, т.е. Л < 1. Из формул (28.7) и (28.8) получаем Ь 4к !г'2т(11г — 8) э 28) Потенциальные барьеры 163 или (Ьс/Л)~ = (Ьр)з > 32пзгпса(Пз — 12). Нерелятивистская механика применима к процессам, когда энергия светового кванта Ьр мала по сравнению с собственной энергией частицы те~. Поэтому, разделив левую часть предыдущего неравенства на меньшую величину Ьр, а правую на ббльшую 32плгпс, получим Ьр > Уз — (н Таким образом, для локализации должны применяться световые кванты, энергия которых во всяком случае не меныпе разности между потенциальной и полной энергиями частицы.
Это находится в согласии с тем, что было сказано вьппе. 9. Заканчивая рассмотрение ступенчатого барьера, выведем некоторые общие соотношения, связывающие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля на границе барьера. Если переменить на противоположные направления распространения всех волн де Бройля без изменения их амплитуд, то уравнение Шредингера и соответствующие ему граничные условия будут по-прежнему удовлетворены. Отсюда следует, что если возникло состояние, изображенное на рис.
51 а, то возможно также и состояние, изображенное на рис. 51 б. На этих рисунках каждая волна де Бройля представлена двумя символами. Первый из них представляет амплитуду, а второй волновое число соответствующей волны, распространяющейся в положительном или отрицательном направлении оси Х. Направления распространения волн обозначены стрелками. На рис. 51 а есть голько одна, а на рис. 51 б две падающие волны.
Обозначим через г' и Ы' амплитудные Рнс. 51 коэффициенты отражения и пропускания, когда падающая волна распространяется справа налево из области П к области 1. Падающая волна (г, йг) дает отраженную волну (г, — йг). Падающая волна (а, — йз) возбуждает проходящую волну (еЫ', — йг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
