Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Обе возбужденные волны должны при наложении дать уходящую волну (1, — й1). Таким образом, должно быть г +еИ'=1. (28.10а) Аналогично, волна (г, й|) возбуждает проходящую волну (гд, йз), а волна (д, — йз) отраженную волну (ей"', йз). Обе возбужденные волны должны гасить друг друга, т. е.
гб+ егг' = О, откуда г' = — г. (28.10б) Соотношения (28.10а) и (28.10б) справедливы как для однородных, так и для неоднородных волн. Они были уже получены в т. 1Ъ' (2 67) [Г.1У Уравнение 1Прединеера. Квантование 164 для световых волн. Применим их к прямоугольному потенциальному барьеру (или яме) конечной пвирины. Барьер вместе с падающей волной изображен на рис.52 а. Более детальная картина падающей, прошедших и отраженных волн представлена на рис. 52 б.
Для волн и их направлений примем те же обозначения, что и на рис. 51. Амплитудные коэффициенты отражения и прохождения волн (слева направо) на первой границе обой значим через т1 и е1м на второй— через тз и е12. Для обратного на- 1 61 правления волн (справа налево) те же коэффициенты обозначим через т1, е1~, тз, е12. Результирующие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн для всего барьера обозначим соответственно через т и е1. Все Рис.
52 волны, которые возникнут внутри и вне барьера, представлены на рис.52 6. Внутри барьера в противоположных направлениях будут распространяться две волны: (а, Ь) и (Ь, — Ь). На левой границе барьера, как видно из рисунка, сходятся четыре волны, а на правой — - три волиьь Написав граничные условия непрерывность у1 и Нф/е1я на каждой границе барьера, — мы получим четыре уравнения первой степени, из которых могут быть найдены все неизвестные амплитуды т, а, Ь, й.
Однако выкладки упростятся, а результаты выразятся в более краткой и компактной форме, если поступить несколько иначе. 10. Рассмотрим сначала условия на левой границе барьера. Примем эту границу за начало координат. К ней подходят две волны; (1, Ь1) слева и (Ь, — Ь) справа. Обе волны отражаются от рассматриваемой границы барьера и частично проходят через нее. В результате наложения отраженной и прошедшей волн в первой области должна получиться результирующая отраженная волна (т, — 61), а внутри барьера — волна (а, Ь). Таким образом, должно быть т = т, + е1' Ь, а = е11 + т', 6. (28.11) Аналогично поступаем на второй границе барьера.
Только теперь начало координат надо перенести на вторую гранину и соответственно этому преобразовать амплитуды сходящихся на ней волн. Амплитуды волн, изображенных на рис.52 б, отнесены к началу координат, помещенному на левой границе. Соответствующие координаты обозначены через х, а координаты относительно начала, помещенного на второй границе, обозначим через я'. Эти координаты связаны соотношением л = тУ + й При прежнем выборе начала координат волны, сходящиеся 5 28) Потенциальные барьеры на правой границе барьера, представляются выражениями сйг 5 — сйг,1 сйгй (временной множитель е ' ' мы опускаем).
При замене л через т.' те же выражения преобразуются в (ае'й')Р йй (5г — иы) — 'йх' )с1гсйгг) сйгй' Теперь роль амплитуд волн играют выражения, заключенные в круглых скобках. В результате условия на правой границе барьера принимают Вид . = —, Ы~Г:сй 1 5 Далее, Йг — /с /сг — га 1сг 4 й нг+го' 1с — /с2 са — йг Tг Й+Йг $а+йг 2га Мг4 са (28.5), вычисляется 21сг 2нг 21 ссг —, —, .: ссг— lсг4-й йг Рга' 1с4-1сг Коэффициент пропускания частицы, согласно по формуле (28.14) Простые, но несколько длинные вычисления приводят к результату 16йг Йга (28 15) (1сг'+ агЦlсг+ агие' '+ е ' ') + 2(а' — 1 1г) В болыпинстве интересующих нас случаев зкспонентой е ггл в знаменателе можно пренебречь. Допустим, наприлсер, что У вЂ” Ф = 50 эВ = = 0,8 10 '" эра Тогдадля электрона а = 3,64 10" см г, ег ' = 1,45.10з, е г"' = 0,69 10 з.
Можно также пренебречь слагаемым 2(аг — йгйг), так как оно того же порядка, что и коэффициент (йй + а )(Йг + а ). сге = ссгпо бе = ггае (28.12) Из уравнений (28.11) и (28.12) можно найти все неизвестные г, д, о, 5. Из них представляют интерес прежде всего г и д. С учетом соотношений г', = — гг и гг + с1гс1', = 1 для них находим г йс — (йг — йп гг + гге ' и. йское (28.13) г*йс ' гм 1+ т,гге * 1 4- ггггг ' 11.
Пользуясь этими формулами, можно рассчитать коэффициенты отражения и пропускания для частиц. Рассчитаем коэффициент пропускания О. Предположим, что вне барьера Уг < й и Уг < сы тогда как внутри барьера У > й. Тогда обе величины 1 1 й,= г гСс — ул й,= 'с (с — у) 5 5 вещественны и положительньц внутри же барьера й = га, где [Г .)У Уравнение УУУредингера.
Квантование 166 В результате получается простая формула Коэффициент пропускания всего барьера получится путем перемноже- ния выражений такого вида. При этом показатели степеней сложатся, и мы придем к выражению вида Хе ) 2 Р = Рв ехр — ~ — „2т()У вЂ” й) е)х ее (28.17) Эту приближенную формулу можно обосновать и математически более строго.
где коэффициент Рв слабо меняется с изменением ), Ф, Гм )Уш Его можно принять постоянным и в болыпинстве интересных случаев считать порядка единицы. Если частица падает на барьер с одной стороны, то по классическим представлениям при )У > )г она не может появиться с другой стороны. Напротив, согласно квантовой механике это возможно. Частица как бы проходит по туннелю через классически запрещенную область )У > )и Это явление получило название туянельпого эффекта.
Если при этом )У~ = )Уз (симметричный прямоугольный потенциальный барьер), то кинетическая энергия, с которой частица появляется за барьером, равна начальной кинетической энергии, с которой она падала на барьер. Начало представления о туннельных переходах было заложено в 1927 г. Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем (1903 — 1981). Они на основе уравнения Шредингера рассмотрели проблему квантования для ангармонического осциллятора, у которого потенциальная функция )У = (1У2)кхв при ~х~ < а и )У = сопвС при ~х~ > а. 12.
Мы рассмотрели потенциальный барьер прямоугольной формы (см. рис. 52). Это было сделано только с целью математического упрощения задачи. Ничего принципиального при этом потеряно не было. Для полноты рассмотрим теперь потенциальный барьер, в котором )У является произвольной функцией х. Пример такого барьера приведен на рис.53.
Горизонтальная прямая )У(х) = й пересекает кривую барьера в двух точках с абсциссами хг и хш Аппраксимируем кривую барьера над этой прямой ступенчатой линией. '1огда вся площадь, где )д < )У, разобьется на заштрихованные прямоугольники, каждый из которых можно рассматривать как прямоугольный потенциальный барьер. Пусть ширина одного из таких прямоугольников равна е)х, а высота )У(х). Если дх взять достаточно большим, то коэффициент пропускания такого прямоугольного барьера представится выражени- ем 3 29) Контактна равность потенциалов и колоднал эмиссия 167 Туннельным прохождением через потенциальный барьер объясняются многие физические явления.
Сюда относятся разбираемые в следующем параграфе контактная разность потенциалов и холодная эмис- Рис. 53 сия электронов из металлов. Сюда же относятся такие явления, как сераспад, спонтанное деление атомных ядер, ядерные реакции, когда по классическим представлениям кинетической энергии сталкивающихся ядер недостаточно для преодоления кулоновского потенциального барьера между ними, и т.д. Эти явления будут разобраны в ядерной физике. ЗАДАЧА В прямоугольном барьере (или яме) У1 = Гъ При каком условии частица не будет отражаться от потенциального барьера (ямы)? Ответ.
Полная энергия (с должна быть больше потенциальной энергии У частицы внутри барьера (ямы). Толщина барьера (ямы) должяа быть (1/4)Л, (3/4)Л, (5/4)Л,..., где Л = Ь,'~2т(й — П) — длина волны де Бройля внутри барьера (ямы). 8 2Я. К объяснению контактной разности Потенциалов. Холодная эмиссия электронов из металлов 1. Будем исходить из простейшей модели металла — модели свободных электронов. Согласно этой модели электроны в металле ведут себя как газ невзаимодействующих частиц, движущихся в свободном от поля пространсгве.
Электроны удерживаются в металле силами отталкивания, возникающими при приближении электронов к стенке металла. В такой модели металл можно рассматривать как потенциальную яму, в которой заперты электроны. Для простоты будем считать яму прямоугольной определенной глубины. Мы не можем дать удовлетворительное обоснование и указать границы применимости такой модели. Особое удивление вызывает то, что электрические силы взаимодействия между электронами не учитываются, хотя они отнюдь не малы. Возможность отвлекаться от таких сил, по-видимому, связана с тем, что взаимодействие между электронами не меняет числа энергетических уровней системы.
Последнее определяется только общим числом электронов, а не силами взаимодействия между ними. Для 168 Уравнение П1редингера. Квантование ряда явлений, по крайней мере при их качественном рассмотрении, существенно именно общее число энергетических уровней, а не их точное расположение. Разумеется, как и всякая модель, модель свободных электронов объясняет отнюдь не все свойства метллов. Однако ряд явлений объясняется этой моделью правильно, по крайней мере качественно. На рис.54 представлена модель металла в виде прямоугольной потенциальной ямы. Внутри металла (т.е. на дне потенциальной ямы) погенциальная функция принята равной нулю, на стенках ямы она скачкообразно меняется до постоянного значения По > О.
Конечно, энергетические уровни электрона внутри ямы дискретны, хотя в макроскопических кусках металла и расположены очень густо. Собственно говоря, нельзя сказать,что в моМеталл дели свободных электронов между элекгроРис. 54 нами нет никакого взаимодействия. Оно име- ется. Но это не есть силовое взаимодействие, а взаимодействие особого рода, которое не может быть понято в рамках классической механики.
О нем подробно говорится в гл. у1. Такое взаимодействие проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии системы может находиться не более одного электрона. Это положение называется принципом Паули (1900 — 1 958). Под квантовым состоянием в рассматриваемом нами вопросе следует понимать энергетический уровень электрона (с одним уточнением: допустимое число электронов на энергетическом уровне должно быть удвоено из-за наличия у них спина; но это обстоятельство в разбираемых сейчас вопросах не играет роли, и мы его учитывать не будем).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
