Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 45
Текст из файла (страница 45)
+31и+11,. (31.3) Смысл этого векторного оператора выяснится, если написать результат действия его на произвольную функцию у2. Это есть 1ф = 1(1.ф) +3(1иф) + 1~(1,ф), (31.4) т. е. вектор с составляющими 1 Х, 1и 2)2, 1 2)2. Таким образом, произвольной волновой функции ер соответствует вектор, определяемый выражением (31.4). Возникает, однако, вопрос, существуег ли такая функция ер, для которой все три проекции вектора (31.4) имеют определенные значения, т. е. одновременно выполняются все три равенства: 1, 6 = 1,ф, 1и У = 1и Р., 1,ф = 1,~Р. (31.5) Для ответа на этот вопрос надо найти правила коммутации операторов 1, 1и, 1,.
Перемножая операторы 1, и 1и и сохраняя порядок их расположения, получим Аналогично д2 д'1 1,1, = — 6 (еу — — ху —, — е +хе — +х- — ). дхде ' де' даду деду ду) Операции дифференцирования по двум независимым переменным перестановочны, т. е., например, дз/дх ду = дз/ду дх. Поэтому ,/ д д'1/ д д '1 1,1 = — 6 2 —. — у —,— х — - — е— ду де) (, де дх) 2 = — 6 е — х — — у — х — — 2 — — е — + (х ду О. О.
О Оу О, / д2 д2 д2 ду де д»' ду дх о д'1 У вЂ” 2— де дх) д2 д дедх дх)' 5 З1) Момент импульса частицы 183 почленным вычитанием предыдущих равенств получим 1 дх ду/ Аналогично получаются и два остальных правила коммутации. Итак, 1„1, - 1,1„= гй1„ (31.6) 1,1, — 1,1, = гИуг 1,1„ — Х„1 = гЦ„. Таким образом, любьге две проекции оператора момента не коммутиругот между собой. Позгпому не существует состолггил, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций 1„1ю 1, имели определегтые значеи л (см.
8 30, п.7). Исключением является только случай, когда все три проекции одновременно равны нулю. Значит, не сущесгпвует состолиил, в котором бы и сам вектор момента импульса имел определенное значение, т, е, был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Иными словами, оператор момента 1 не имеет собственных функций и соответствующих им векторных собственных значений. Связь векторного оператора момента с реальной действительностью в общем виде устанавливается статистически — с полгощью формулы (30.21), которая позволяет находить средние значения, получаемые при измерении самого момента импульса, а не соответсгвующего ему оператора. 2 2.
Какими же физическими величинами (а не их операторами) с характеризуется в квантовой ме- + ' ханике момент импульса частиг А цы? Для решения этого вопро- ч са выразим прежде всего опера- в торы проекций момента импуль- У са через сферические (полярные) координаты. Вопрос этот может х быть просто решен аналитически. г Но аналитическое решение довольно громоздко. Мы предпочитаем привести геометрическое решение. аг Начало координат прямоугольной ХУ 3 н сферической систем коор- Рнс. 57 динат поместим в общей точке О (рис.
57). В сферических координатах положение точки А характеризуется расстоянием ее г от точки О и двумя углами у (полярный угол) н 1о (азимут). В точке А проведем касательную АВ к меридиану х Адг и касательную АО к соответствующей параллели. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат ~г1~ с осями ОС и Ог1, 184 Дальнейшее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ Тогда 1, = 1е сов д сов со — 1ч яп:р, 1и = 1есовВвщсо+ 1п сов у, 1, = — 1~япВ, или . /, д д 1„= 1Б яп со — + ссн В сов х— дВ др д д =И~ — спасо, +с18Вяпд —, 1, дВ д~р ~' (31.7) д 1. = — 16 —. др Отметим существенную разницу между классическим моментом импульса частицы (гр) и соответствующим ему квантовым оператором момента (31.3).
Классический момент зависи"г от радиуса-вектора г, т.е. от выбора начала координат О, относительно которого берется момент импульса. Оператор момента, как видно из формул (31.7), не содержит г, а зависит только от углов В и д. Это значит, что оператор момента (31.3) не зависит от выбора начала координат, а зависит параллельными соответственно АВ и АС, и осью Ос, направленной вдоль радиуса ОА. Предполасвя, что (классическая ) частица находится в точке А, получаем для нее б = и = О, ~ = г.
Поэтому, заменяя в формулах (31.2) х, р, е на б, г1, ~, можем написать д — . д 11 = гйг —, 1ч — — — 1нг —, 1с = О. дч ~ дб Но, как видно из рис. 57, с1С' = гНВ (при постоянных г и г1), Ыт1 = г яп В с1~р (при постоянных г и б). Поэтому 6 д — . д — — — 1с=О втВ д1о' " дВ' Теперь легко перейти к исходной прямоугольной системе координат Х, У, с, пользуясь обычным правилом преобразования проекций вектора. Применимость такого правила к операторам обусловлена тем, что направляющие косинусы, определяющие расположение координатных систем ХУЯ и бг1~ относительно друг друга, следует рассматривать как величины постоянные, на которые операторы д/дд и д/дсо не действуют.
Запив|ем нужные направляющие косинусы в виде таблнцьн 8 З1) Момент импульса частицы 185 или — 1й, =1,ф, дм д~р (31.8) где 1, — постоянная. Его решением является у' = С(г., д) ехр ( 1 — '-1о гЛ. (31.9) В силу требуемой однозначности ф эта функция должна возвра- щаться к своему исходному значению, когда аргумент у получает приращение 2п, ибо такое приращение возвращает исходную точку в начальное положение.
Таким образом, должно быть ехр 1 '~р = ехр 1 ' (~о + 2п) Так как показательная функция периодична с периодом 2п1., то это равенство может выполняться только при условии .1,, 1 — "-2п = т 2п1, й или (31.10) 1,=гпй, где гп — целое положительное или отрицагельное число, включая и нуль (гп = О, х1, т2,...). Равенство (31.10) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Для сокращения за единицу углового момента обычно принимают постоянную й. При только от направления координатных осей.
Поэтому его лучше называть оператором углового или ерашательиого момента, частицы. При рассмотрении углового момента, в отличие от классического момента импульса, не надо указывать, относительно какого начала он берется. Разумеется, не зависят от выбора начала координат и собственные значения операторов проекций и квадрата углового момента, о которых говорится ниже. 3. Теперь поставим вопрос, может ли одна из проекций углового момента иметь определенное значение? Ясно, что если вопрос решается в положительном (или отрицательном) смысле для какой-либо одной из проекций, то он должен решагься в том же смысле и для каждой из остальных двух проекций, а также для проекции углового момента вдоль любого произвольно избранного направления.
Это непосредственно следует из изотропии пространства,т.е. из эквивалентности всех направлений в пространстве. Не могут иметь в одном и том же состоянии определенные значения проекции углового момента вдоль двух различных направлений. Избранное направление можно поэтому взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось Л, так как в этом случае оператор 1, выражается наиболее простой формулой.
Для решения поставленного вопроса служит уравнение 1,ф =1,ф, 186 ее(вльнейеаее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ таком соглашении говорят, что проекция углового момента на избранное направление может принимать только целочисленные значения т = О,+1,х2,...
Проекцию углового момента на ось Я принято обозначать через т,. Таким образом,т, = т. Правило (31.10) по своей форме аналогично соответствующему правилу квантования момента импульса (13.6) в теории Бора. Однако между этими двумя правилами есть глубокое различие. В формуле (13.6) под Л следует понимать полный момент импульса частицы (электрона), тогда как в (31.10) речь идет только об одной проекции момента импульса на какое-либо направление, а самого вектора момента импульса, как точно определенной величины, вообще не существует. 4.
Нетрудно непосредственно проверить, что собственная функция оператора 1„т.е. функция (31.9), не может быть одновременно собственной функцией ни оператора 1, ни оператора 1ю Допустим противоположное, что (31.9) является собственной функцией, например, оператора 1 .. Для этой функции имеем дС 1 у1 = еб~в1п1о — -+ етс28йсовуС) ее дй Этот результат не может бьп ь представлен н виде 1 у1, как мы предположили (1„— постоянное число). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть частный случай, когда;о =- О.
Тогда 1.ед = — йтсйййун С другой стороны, по нашему предположонию должно быть 1 ф= 1,ед. И оба эти соотношения должны соблюдаться при любых значениях угла о, что, очевидно, невозможно. Такое жс рассуждение применимо для оператора 1ю Это подтверждает прежний результат, что не существует волновой функции 4е, которая была бы одновременно собственной функцией операторов 1„1ю 1к.
Исключением является только случай, когда функция Ф сферически симметрична, т. е. зависит только от г. В этом случае Ф будет собственной функцией всех трех операторов 1е, 1„, 1,, а все три проекции углового момента т, тю т, обратятся в нуль. 5. Второй величиной наряду с проекцией т„характеризующей величину углового момента, является квадрата полного углового момента. Его принято обозначать через 12.
Но это не есть квадрат вектора 1 (которого не существует), а собственное значение квадрата оператора углового момента, ч. е. 12 (1 ° +1 ° +1 1)2 12+12+12 (31.11) ! З1) Момент импульса частииы 187 Поэтому общепринятое обозначение !г неудачно, но мы не будем его менять. Однако истинный смысл величины 1г, как собственного значения квадрата оператора углового момента 1 надо постоянно иметь в виду. Чтобы убедиться, что величины !г и т, могут быть измерены в одном и том же состоянии, надо показать, что операторы 1 и 1, 2 коммутируют друг с другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
