Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 48
Текст из файла (страница 48)
рассуждать так, как если бы функция г0 зависела только от г. Это, очевидно, не нарушает общности рассуждений и их результатов. 2. До сих пор явный вид потенциальной функции 11(г') не использовался. Имея теперь в виду водородоподобный атом, положим 13(г) = = — 7е ~г и введем такие же обозначения, как в 9 27, т.
е. ~ ЗЗ) Квантование водородного атома в общем случае 197 Для его исследования применяем такой же метод, что и для исследования уравнения (27.1), т.е. вводим новую функцию и(г) с помощью соотношения и(г) д„ (33.8) г Тогда ди ГВ 1(1-Р1)1 ., — 2㻠— + — — —, и=0. 4г (33.9) Ищем решение этого уравнения в виде ряда и= 2 ойг й й=т (33.10) и путем сравнения коэффициентов находим 7(» — 1) — 1(1+1) =0, (ЗЗЛ 1) (й(й+ 1) — 1(1+ 1)) вы, = (20й — д)ай при й ф- ». Из первого уравнения получается либо 7 = 1+ 1, либо» = — й Значение — 1 должно быть отброшено по тем же соображениям, которые применялнсь при решении аналогичного вопроса в 9 27.
Таким образом, следует воспользоваться значением» = 1+ 1. Для исследования сходимости ряда (33.10) из формулы (33.11) на- ходим аг21 2рй — В аг й(й -~- 1) — 1(Е -1 1) Асимптотически аг 2 2(» аь й-~1 Это выражение в точности совпадает с соответствующим выражением из 9 27, Ноэтому, как и раньше, заключаем, что ряд (33.10) должен обрываться. Из условия обрыва получаем прежнюю формулу (27.8) для энергии атома: 2 4 тЯ е 2йг 2 (33.12) 3.
Из изложенного следует, что значения энергии в стационарных состояниях водородоподобного атома зависят только от главного квантового числа и. Но состояния с заданным и (т. е. с заданной энергией й) могут отличаться одно от другого различными значениями квантовых чисел 1 и т (не путать с массой). Таким образом, одному и тому же значению й соответствуют несколько различных квантовых состояний.
В этом случае говорят, что состояние с энергией й выроогсдено. Энергетический уровень й называют также вырожденным. Число независимых состояний, суверпозицией которых может быть получено заданное состояние с энергией 1», называется степенью или 198 Дальнейевее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ кратностью вырождения. Найдем степень вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом и. Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с и) имеет определенное значение и число !. Воспользуемся формулой т = ! + 1, которая до сих пор еще не принималась во внимание. Имея в виду, что ряд (ЗЗЛО) должен обрываться на члене и-й степени, запишем его в виде конечной суммы: п а=п — ~ — 3 и = ~ ~аьг~ = г~ ~ ~ась -~1г ь ьы ь=ьы а=в (33.13) Отсюда видно, что главное квантовое число и имеет смысл старшего показателя степени в полиноме (33.13).
Число ! называотся орбитпвльным квантовым числом. Оно определяет квадрат углового момента, 1 = !(1+ 1) (в единицах а~). Фиксируя и, подсчитаем число квантовых состояний, отличающихся одно от другого значениями !. Наименьшее значение ! есть ! = О, наибольшее ! = и — !, так как в агом случае сумма (33.13) сводится к одному члену. Следовательно, при заданном и число ! может принимать значения ! = О, 1, 2, ..., (п — 1), (ЗЗ. 14) (33. 15) и = и„+ !+1. Квантовое число п„было введено еще Зоммерфельдом в старой квантовой теории и получило название радиального квантового числа. Заметим геперь, что в состоянии с определенным ! может иметь различные значения квантовое число т, определяющее проекцию углового момента на ось У (оно называется магнитным).
Именно: (33. 16) гп = — 1, — (! — 1), ..., — 1, О, +1, ..., +(! — 1), +1, т. е. всего 2! + 1 значений. Поэтому полное число квантовых состояний, с помощью которых может реализоваться состояние с заданным п, равно Р=п — 1 Ю= ~ (2!+1)=пг. (33.17) г=о В действительности, как будет показано в 8 36, это число следует удво- ить из-за наличия спина электрона. Таким образом, кратность вырож- дения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна 2пг. т.е, всего п значений и соответствующих им кванговых состояний с определенными п и !. Функция и, как видно из (33.13), имеет пе = = и — ! — 1 узлов, если исключигь из рассмотрения узел т = О.
Но число узлов, как известно (см. 8 25, п. 1), определяет номер волновой функции с заданным и. Г!оэтому главное квантовое число и можно также определить соотношением Спектральные серпа щелочных мет плов 199 й 34. Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов 1.
В атомах щелочных металлов (литий, натрий, калий, рубидий, цезий) электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. То же относится к ионизованным атомам, если только они содержат по одному наружному (валентному) электрону (однократно ионизованный атом гелия, двукратно ионизованный атом лития, трехкратно нонизованный атом бериллия и т.д.). Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона сопровождаются излучением или поглощением квантов сравнительно низких часгот — из оптической области спектра. Остальные Я вЂ” 1 электронов (У вЂ” заряд ядра, выраженный в элементарных зарядах) вместе с ядром образуют сравнительно прочный остов, и электрическом поле которого движется валентный электрон. Изменения энергии квантовых уровней остова сравнительно велики и порождают рентгеновские спектры.
Этот вопрос здесь рассматриваться не будет. Мы сосредоточим внимание галька на излучении и поглощении света, связанных с поведением валентного электрона. При такой постановке вопроса атом щелочного металла может рассматриваться как одноэлектронный атом, в котором роль ядра играет указанный остов. Последний можно характеризовать каким-то эффективным зарядом гб,е. Для нейтрального атома У, = Я вЂ” 1, для однократно ионизованного Л, = Я вЂ” 2, для двукратно ионизованного л = г — 3 и т.д.
Если удалить валентный электрон,то распределение электрических зарядов в остове и его электрическое поле сделаются сферически симметричными. 2. Стационарные состояния валентного электрона в таком поле определяются теми же тремя квантовыми числами, что и в атоме водорода, а именно главным квантовым числом и, орбитальны.м квантовым числом 1 и магнитныэл квантовым числом т. Квантовое число 1 определяет квадрат углового момента электрона 12 п21(1 + 1) магнитное число т определяет проекцию углового момента на избран- ное направление, обычно принимаемое за ось Л: т, = 1,тй. При заданном 1 число т может принимать 21+ 1 значений, а именно т = — 1, — (1 — 1), ..., — 1, О, +1, ..., (1 — 1), 1. Главное квантовое число определяется формулой п = и„+ 1+ 1, где п„так называемое радиальное квантовое число, равное числу узлов волновой функции 1э вдоль радиуса (точка г = О за узел не считается).
При заданном п число 1 может принимать следующие значения: 1=0, 1,2, ..., (и — 1). 200 Дальнейшее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ 2 3 ~ 4 ~ 5 6 7 Говорят, например, об в-состояниях и в-электронах, р-состояниях и рэлектронах и т. д. Такая терминология сложилась под влиянием ранних спектроскопических исследований, когда еще не существовало представления не только о квантовых состояниях,но и о строении самого атома.
3. Обращаемся к рассмотрению поведения валентного электрона в электрическом поле ядерно-электронного остова. Внешний электрон, действуя на остов, искажает распределение зарядов и электрическое поле остова. В первом приближении поле остова можно рассматривать как наложение поля точечного заряда Я„е и поля точечного диполя, расположенных в ценгре атома.
При этом ось диполя направлена к внешнему электрону. 11оэтому движение последнего происходит так, как если бы ноле остова, хотя и искажалось электроном, но сохранялось сферически симметричным. Соответствующая потенциальная функция может быть представлена в виде И= — ' — С (34.Ц г г где С вЂ” постоянная. На это выражение следует смотреть как на разложение функции У по степеням 11г, оборванное на втором члене. В соответствии с этим член — СХие 1г надо рассматривать как поправку к основному члену — Я е ~г. Таким образом, в принятом 2 приближении все отличие от водородоподобного атома состоит в том, что к потенциальной функции добавляется член — С(У е~/г~). В уравнении (33.5) этот член можно объединить с центробежной энергией и полученную сумму представить в виде Ы(1-~-Ц У е Ь Г(Г ЕЦ 2тг г 2тг а 2 2 где постоянное число 1" определяется квадратным уравнением (34.2) Г(Г + Ц = 1(1+ Ц вЂ” — Ссб е .
6~ (34.3) Таким образом, получается всего пз независимых квантовых состояний, с помощью которых может быть реализовано любое состояние с заданным значением главного квантового числа и. Мы увидим дальше, что три квантовых числа и, 1, гп должны быть дополнены четвертым— спнновым — квантовым числом т„которое может принимать два значения гп, = т1/2. От этого общее число независимых квантовых состояний удваивается. Но от спина электрона мы в этом параграфе отвлечемся.
Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения числа 1 и в соответствии со следующей схемой: з 34) Спектральные серии щелочных металлов 201 В результате мы снова придем к уравнению (33.7), в котором чисто 1 надо заменить числом 1*, т. е. к уравнению д~ф 2 дй /д" э Г(Г+1) 1 + — — + / ~— — д —, ~)Ф = О, (3 .4) д д г причем теперь 0*=2тЛ е /Ь.
(34.5) В отличие от 1, число Г, вообще говоря, ие целое. Но эго не имеет никакого значения для применения метода, изложенного в предыдущем параграфе. По-прежнему функцию и(г) следует искать в виде ряда 133 10). Для Г из 134.3) получается выражение (34.6) Г= — — х 2 При этом положительную величину (2пе/Ьз)СУ еэ следует рассматривать как поправку к основному члену (1+ 1/2)л. Когда эта поправка обращалась в нуль, мы видели, что перед квадратным корнем следует брать знак плюс. Следовательно, то же надо делать и тогда, когда поправка отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
