Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для этого пишем ! ~1, = (1„+ 1„+ 1,~)1, = 1 (1 Т, ) + 1„(1„1. ) + 1,з, или в силу соотношений коммутации (3!.6) 1'Т, = Т. (Т,Т. — гбао„) + Т„(Т,Т„+ йТв) + 1,'. Аналогично 1,! = (Т1. + 16Т)1г+ (ТгТ, — 16Т )То+1,. Почленным вычитанием находим 2 2 1 1,— 1,! =О., (31.!2) что и требовалось доказать. Разумеется, такое же соотношение коммутации справедливо и для операторов 1е и 1ю Итак, существует состояние, в котором одновременно имеют определенные зяачения квадрат углового момента 1г и одна из его проекций па избранное напривленш. Обычно это направление принимают за ось Л.
Рассмогрим какое-либо состояние Ф, в котором величины 1г и т, (а следовательно, и т~) одновременно имеют определенные значения. Докажем, что в этом состоянии всегда (за исключением слу.чая 1' = О) 1 > тг. С этой целью рассмотрим операторное равенство !г Т =Т+Т, й х г' Для оператора 1 г — 1 г функция Ф является собственной с собственным значением 1 — т,". То же значение имеет и соответствующая средняя 2 т величина. Поэтому, производя усреднение по формуле (30.2!), получим — .г =~Ф"(Т'+Т')Фд!г. Но интеграл справа сущесгвенно положителен, так как он представляет среднее значение существенно положительной величины 1 + 1„ в состоянии Ф.
Итак, 1г > гпг (31.13) Поэтому угловой момент не может ориентироваться точно вдоль оси Я. В любом состоянии он всегда содержит проекции 1, и 1ю которые, однако, в рассматриваемом состоянии остаются неопределенными. Это уже известный нам факт, согласно которому не существует состояния, в котором все три проекции 1, 1ю 1, имеют определенные значения. 188 Дальней|нее построение квантовой механики и спектри (ГлЛ Про этот факт иногда говорят, что в собственном состоянии, где 1а имеет определенное значение, угловой момент сохраняет свою длину, равную Л~, но его направление испытывает флуктуации. Вряд ли этот способ выражения можно признать удачным, ибо он предполагает, что существует какой-то вектор 1, имеющий в каждый момент времени определенную длину и направление, но это направление беспорядочно и непрерывно меняется во времени.
На самом деле, как мы видели, такого вектора не существует, а потому картина его флуктуации не соответствует действительности. 6. Остается определить собственные значения 1з оператора квадрата углового момента 1~. Это можно сделать с помощью одних только правил коммутации (31.6). Приведем сначала эти правила к другому виду, более удобному для нашей цели. Введем два оператора: 1 =1 +11го 1 =1, — 21„. (31.
14) Тогда из (31.6) нетрудно получить 1зЛ вЂ” 1 1, = 261„1,1, — 1, 1, = 61,, 1,1 — 1 1, = -И .. (31.15) Далее 1 2 ~.1 8 — + сп — + 1 з или 1 =1ь1. +1,~ — И, =1 1~+1, +61,. (31.16) Так как 1 есть величина ограниченная, то из (31.13) следует, что гп„а потому и ш, суть также величины ограниченные. Обозначим че- 2 рез 1 наибольшее положительное значение проекции т. при заданном значении квадрата момента 1з. Пусть Ф вЂ”.
общая волновая функция операторов 1з и 1„причем собственное значение оператора 1, равно т. В этом предположении 12Ф 12Р 1 Р ИР (31.17) Из соотношений коммутации (31.15) для такой функции получаем 1А Ф = (1,1, ~ 61,) Ф = 6(1 ~ 1)1 Ф. Отсюда видно, что функции 1.гФ и 1 Ф являются собственными функциями оператора 1., имеющими собственные значения 6(1+ 1) и 6(1 — 1) соответственно.
Но величина 6(1+1) не может быть собственным значением оператора 1„твк как по предположению наибольшее собственное значение этого оператора равно И. Таким образом, равенство 1А Ф = 6(1 + 1)1 Ф невозможно. Но это равенство логически следует из соотноп|ений коммутации (31.15) и уравнения 1,Ф = 1Ф. Избежать противоречия можно только тогда, когда 1тФ = О,ибо в этом случае указанное равенство, й 31) Момент импульса частицы конечно, будет удовлетворено.
Но из этого следует, что 1Л~ 9 = О, или в силу соотношения (31.16) (1г 1г 81 )~Р Но в силу (31Л7) 1г1У = йг1гФ, И, че = Ьг1че, так что (1' — Ьг1г — йг1) Ф = О или 12 У 321(1+ 1) Р Значит Ф есть собственная функция оператора квадрата углового момента с собственным значением 12 «21(1+ Ц (31.18) 7. Пусть квадрат углового момента 1г имеет определенное значение 1(1+ 1). Во скольких состояниях может реализоваться такая ситуация, если в них проекция т также имеет определенное значение? Очевидно, в таких состояниях т может принимать следующие значения: т = — 1, — (1 — 1),..., — 1,0, +1,..., +(1 — 1), +1, т. е.
всего таких состояний будет 21 + 1. Полученные результаты, определяющие возможные значения и 1, называют пространственным квантованием. Этот термин заимствован из старой теории Бора, в которой пространственное квантование определяло возможные направления вектора углового момента 1 в пространстве. С точки зрения квантовой механики термин «пространственное квантованиек вряд ли удачен, так как «вектор» 1 принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически на векторных диаграммах.
По оси Я откладывают возможные значения т, рассматривая их как проекции вектора 1 длины ф(Г+ 1), имеющего дискретные направления в пространстве. В качестве примера на рис.58 приведены векторные диаграммы для случаев 1 = 1 Рис. 58 190 Дальнейигее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ и 1 = 2 (за единицу углового момента принята постоянная Планка й). Эти диаграммы нельзя понимать буквально. Они правильно передают только два факта: возможные значения проекции т и возможные значения квадрата углового момента Н. Кван говое число 1 по причинам, которые выяснятся ниже, называю г орбитальным квантовым числом, а число т — магнитным квантовым числом. 8.
В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой 1е 21' где 1 — момент инерции тела относительно соответствующей оси вращения. Такая же формула справедлива и в кнантовой механике. Различие состоит н том, что здесь величина 1г квантуется, принимая дискретные значения 1 = Й 1(1 + 1). Неизменяемая вращающаяся система в квантовой механике называется ротатором. Таким образом, энергетические уровни ротатора дискретны и определяются формулой (31.
19) Такой формулой мы уже пользовались при качественном рассмотрении вращательной теплоемкости молекул (см. т. 11, 3 69). Впрочем, необходимо заметить, что идеализированное представление о ротаторе,как и представление об идеально твердом теле,несовместимо с принципом неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, в модели идеально твердого тела его размеры в любом направлении (например, в направлении оси Х) строго определены и не могут меняться во времени, т, е, неопределенность координаты Ьх = О. Но тогда для импульса в том же направлении из соотношения неопределенностей следует, что Ьр, = оо. В теле неизбежно возникнут колебания, меняющие величину момента инерции 1. Например, вращающуюся молекулу можно для некоторых целей рассматривать как жесткий ротатор и пользоваться формулой (31.19), если изменения 1, связанные с вращением, невелики.
8 32. Сложение угловых моментов 1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Ради простоты будем предполагатгн что система состоит только из двух частиц; 1 и 2. Координаты (радиус-вектор) первой частицы обозначим через гы второй — через гг. Оператором углового момента 1 системы называют сумму операторов угловых моментов ее частей 1г и 1г. (32.1) 1 32) Сложение угловых моментов РВ Так же определяется и оператор проекции углового момента системы на избранное направление.
Например, 1, =1„+1,, (32.2) Будем предполагать, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда волновая функция первой частицы Ф1(г1) будет одна и та же независимо от того, есть вторая частица или нет. Эту функцию можно умножить на произвольную постоянную, которая может зависеть от гг как от параметра. В частности, за нее можно принять волновую функцию Фг(гг) второй частицы.
Тогда волновая функция первой частицы представится произведением Ф = Ф1(г1)Ф2(гг) Но очевидно из тех же соображений, что в таком же виде представится и волновая функция второй частицы. Поэтому Ф = Ф1Ф1 можно рассматривать как волновую функцию системы невзаимодействующих частиц 1 и 2. При этом для нее будет сохранена нормировка ~~Ф~'Л, Л; = ~~Ф1~'Л; ~~Ф2~'Л; =1. (32.3) 2.
Если ограничиться действием операторов только на функцию Ф = Ф1Ф2, то из доказанного следует, что операторы 11 и 12 перестановочны. В самом деле, поскольку оператор 11 действует только на функцию Ф1 и не действует на функцию Фг, а оператор 12, наоборот, действует только на Фг и не действует на Ф1, можно написагь 1112Ф вЂ” 1112(Ф1Ф2) — 11(Ф112Ф2) — (12Ф2)(11Ф1) — (11Ф1)(12Ф2) К тому же результату приводит и действие оператора 1211. Значит, для функций вида Ф = Ф1Ф1 справедливо операторное равенство 1112 = = 1211, что и доказывает наше утверждение. Таким же пугем докажем для функций того же вида и перестановочность операторов проекций углового момента в случае системы независимых частиц, например 11 и 12 .
Из доказанного следует, что правила коммутации (31.6) и все следствия из них для отдельной частицы распространяются без всяких изменений и на системы независимых частиц. Ввиду коммутации операторов 11 и 12 оператор квадрата углового момента 12 будет равен 1 = (11+12) =1, +2(1111)+1,. (32.4) Теперь выясним, как коммутирует оператор квадрата углового момента 1 = 1, + 1„+ 1, с оператором одной из проекций его, например 11 + 11 .
Очевидно, операторы 11 и 12, коммутируют с 112 и с 12. Остается только проверить коммутативность операторов 1111 г !92 Дальнейргее построение квантовой механики и спектры (ГлЛ и ! . Имеем (!1!г)1е — (!ге!ге + !го!го + !1е!ге)(11е + !ге)— = (!ге!ге + !гр1гр + !г 1г )!ге + (!ге!ге + 1гу!гу + 1ы!г-)!ге. Аналогично 1*(!г1г) = !г (!г 1г +!го!гр+1г !г ) +1г*(1г !ге +1гр1гр+ !ге1гр). Если воспользоваться правилами коммутации (31.6) и тем обстоятельством, что операторы !г и 1г действуют на волновые функции разных частиц, то последнее выражение легко привести к предыдущему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
