Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Такое понимание противоречит принципу неопределенностей Гейзенберга. Под х и р следует понимать координату и импульс в классическом смысле. Квантовая механика заменяег эти величины операторами х и р и вводит новые операторы 1г(х, р). Оператор Р'(х, р) получается в результате применения к х и р тех же операций сложения и умножения, с помощью которых в классической физике по значениям х и р находится значение функции 1г(х, р). Здесь нет еще никакой статистичности, свойственной квантовой механике. Статистичность появляется при переходе к формуле (30.17), ибо она дает только среднее значение функции Г(х, р), а не ее истинное значение (которое в квантовой механике, вообще говоря, можег не иметь никакого смысла из-за невозможносги характеризовать состояние частицы одновременным заданием х и р).
Получение оператора г'(х, р) из классической функции г (х, р) обусловливает, наряду с другими соображениями, тесною связь между классической и квантовой механиками. Получается парадоксальное утверждение, что обоснование квантовой механики принципиально неоозмохсяо без механики классической, хотя квантовая механика и является более общей теорией, в которой классическая механика содержится как предельный частный случай. Этот предельный случай получается из квантовой механики, когда постоянная Планка 6 пренебрежимо мала по сравнению со всеми величинами той же размерности, играющими роль в рассматриваемом явлении. 178 Дальнейшее построение квантовой механики и спектры ) Гл. Н Все полученные результаты выведены для одномерного случая.
Это сделано только в целях простоты и сокращения записи формул. Но эти резулщвты без труда обобщаются и на трехмерный случай. Так, оператором трехмерного импульса частицы является символический вектор /гд. д. д р = — 1й~ — -1+ —,3+ — 1с~ = — 1йч, (30.18) 1,дх ду дз 1 а формула для среднего значения твкого импульса принимает вид (р) = ~ Ф ( — 1617)Ф й1г, (30.19) где интегрирование производится по всему пространству Ъ', а функ- ция Ф предполагается нормированной к единице: (30.20) Таким образом, всякой классической величине г"(г, р) квантовая механика сопоставляет оператор г'(г, р), получающийся заменой классических величин г и р на соответствующие операторы г и р.
При этом связь с реально наблюдаемыми величинами устанавливается статистически с помощью формулы (Е(г, р)) = ~ Ф*Е(г, р)Ф йК (30.21) 6. 11оставим теперь вопрос, не существует ли таких состояний, что при измерении величины Ь, соответствующей оператору 1, всегда получается определенное значение Ь. Легко видеть, что такому условию удовлетворяют волновые функции, являющиеся решениями уравнения (30.22) Действительно, в этом случае (г',) = ~ Ф'ЬФ йх = ~ Ф*ЬФ ах = 1,) Ф'Ф ах = 7, т. е.
среднее значение (Ц всегда равно 7,. А это возможно тогда и только тогда, когда результат каждого измерения равен 1. Мы доказали достаточность условия (30.22). Немного сложнее доказывается и его необходимость, но на этом мы не будем останавливаться. Функции Ф, удовлетворяющие уравнению (30.22), называются собственными функци, ми оператора Х, а числа Ь вЂ” его собственными значениями. В квантовой механике принимается, что при измерении физической всличиегы могут получиться (с той или икай вероятностью) только собственные значения соответствующего ей оператора. Так как физические величины существенно вещественны, то операторы Е физических величин должны быть такими, чтобы их собственные значения были также вещественными.
Но мы не будем Операторный мегаод 179 углубляться в обсуждение условий, при которых зто требование выполняется. Уравнение (30.22) является обобщением на случай любых физических величин правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе. Чтобы убедиться в этом, найдем оператор Й, соответствующий полной энергии частицы. Согласно изложенному такой оператор представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергий,т.е. йг р'+Й = — ~'+ О.
2т 2т (30.23) Следовательно, (30.22) переходит в с в — +О Ф вЂ” Щ. 2 2т Это уравнение Шредингера (21.7) для стационарных состояний. Таким образом, сокращенно его можно записать в символической форме ЙФ= йф, (30.24) отличающейся от (30.22) только обозначениями. Общее уравнение П1редингера (21.5) для нестационарных состояний эакже можно записать символически; 15 = ЙФ. (30.25) дФ вЂ” — = рФ. дх Отсюда Ф = С(8)еьих~~ = С(1)е™т. Чтобы удовлетворить общему уравнению Шредингера (30.25), следует положить С(1) = Се ™, т.
е. Ф = С.Ц"* е (30.26) Для полноты заметим, что уравнение (30.25) справедливо не только в случае потеяциальних сил, по и в случае, когда силы потенциалом не обладают (например, магнитные силы). Требуется только, чтобы соответствующие классические уравнения могли быть записаны в форме уравнений Гамильтона.
В этом случае Й называют оператором Гамильтона или гвм льтонианом. Если силы потенциальны, то гамильтониан тождественно совпадает с оператором энергии. Приведем второй пример на применение уравнения (30.22). Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса.
Ограничиваясь одномерным случаем, положим Х = р = — ьй д/дх и получим 380 Дальнейшее построение квантовой механики и сиектрьг (Гл. Н Таким образом, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Параметр р может принимать любые значения, т.е, спекгр собственных значений операгора р непрерывный. В связи с этим заметим, что к уравнению (30.22) мы пришли на основе уравнения (30.21). Наш вывод последнего предполагал выполнение условия нормировки (30.20), т.
е, обращения функции Ф в нуль на бесконечности. Собственные функции (30.26) этому условию не удовлетворяют. Да и в случае оператора энергии при й ) 0 собственные значения образуют непрерывный спектр, и нормировка (30.20) не может быть выполнена. В этих случаях наше доказательство формулы (30.22) не проходит. Однако сама формула (30.22) остается верной. Можно так обобщить нормировку (30.20), чтобы распространить доказательство и на такие случаи.
Но для этого надо пользоваться обобщенн ми функциями. На агом формальном вопросе мы останавливаться не будем. В физике в принципе достаточно ограничиться волновыми функциями, обращающимися в нуль на бесконечности, для которых нормировка (30.20) всегда выполняется. 7. Остановимся в заключение еще на одном вопросе, специфическом только для квантовой, но не классической механики. Пусть А и В -- два квантовомеханических оператора, каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений.
Всегда ли существует состояние Ф, в котором оба оператора имеют определенные собственные значения А и В? Иными словами, существует ли состояние Ф, в котором обе величины А и В измеримы одновременно? Для ответа на этот вопрос допустим, что Ф„является собственной функцией как оператора А,так и оператора В,т.е. АФ„= А„Ф„, ВФ„= В„Ф„, где Аи и Ва — числа, представляющие собой собственные значения операторов А и В в одном и том же состоянии Ф„. Умножим первое равенство слева на оператор В .
Получим ВАФ„= ВА„Ф„= А„ВФ„= А„В„Ф„. Аналогично АВФ„= В„А„Ф„. Отсюда (А  — ВА)Ф„= О. На этом основании нельзя еще заключить, что А — ВА = О, так как Ԅ— не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных функций операторов А и В г) . Допустим, однако, что каждая собственная функция оператора А является также собственной функцией оператора В и наоборот. Суще- / йг дз оз ') Например, из равенства ( - —. — -; — з) х =- О не следует, что — — - — -,— =. йхз ) йхг йхз = О. 8 31) Момент импульса частицы 181 ствует математическая теорема, которую мы доказывать не будем, что произвольная волновая функция Ф может быть разложена по собственным функциям оператора А (нли, что то же самое, оператора В ), т, е.
Ф = 2 сиФп (предполагается, что спектр дискретный, что несущественно). Из этой формулы и из соотношения (А — ВА)Ф„= 0 следует (А — ВА)Ф = О. Теперь уже ввиду произвольности Ф можно заключить, что (30.27) АВ= ВА, т.е. операторы А и В коммутативны. Действительао, единственный оператор, обращающий в нуль произвольную функцию, есть оператор умножения на нуль. Итак, если все собственные функции операторов А и В совпадают, то оти операторы коммутируют.
Справедлива и обратная теорема: если операторы А и В коммутируют, то совпадают и их собственные функции. Эту теорему мы также примем без доказательства. Приведенной теореме можно придать и другую формулировку. Две вели пины А и В измеримы одновременно, вообще говоря, тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы А и В коммутируют.. Это правило может нарушаться только в отдельных исключительных случаях (см. 8 31, пщ 1 и 4). Например, координаты х и у можно измерить одновременно, так как операторы х и у коммутируют. Напротив, координата х и соответствующий ей импульс рг одновременно измерены быть не могут, поскольку операторы х н р, не коммутируют, как это видно из формулы (30.1). Именно этого требует принцип неопределенностей Гейзенберга. Координата х и импульс рю соответствующий другой координате у, измеримы одновременно, ибо операторы х и ра — — — ееед/ду коммутируют, поскольку при дифференцировании по у координата х ведет себя как постоянная.
3 31. Момент импульса частицы 1. Момент импульса частицы 1 относительно начала координат О в классической механике определяется векторным произведением [гр). Такое определение в квантовой механике не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы оба вектора г и р имели определенные значения. В квантовой механике векторному произведению [гр) соответствует оператор (31.1) 1 = [г р]. 182 Дальнейшее построение квантовой.иеханики и спектры (ГлЛ Раскрывая это векторное произведение и соблюдая при этом поря- док расположения операторов координат и проекций вектора импуль- са, найдем операторы проекций момента импульса на координатные оси Х, У, Е; / д д (ур, — зри) = г6~е — — у — ), ~ ду О.) ./ д д'1 (ер, — хр,) = 26~ х —,— — е —,), де дх) ' (хр„— уре) = Гй у — х дх дуу ' (31.2) Через эти проекции сам оператор вектора момента импульса выражае гся формулой 1= 1|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
