Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения уравнения (24.10) или уравнения (24.11), в которых положительные величины ь и а определяются выражениями (24.6). Для графического решения введем безразмерные величины (24.12) С=ай, г1=ао. [Г.1У Уравнение 111рединеера. Квантование. 146 Тогда 2 17 2иггг' а (24.
13) Ь причем для решений с четной волновой функцией из (24.10) следует и = 6186, (24.10а) а для решений с нечетной волновой функцией из (24.11)получаем г1 = — С с186. (24.11а) На рис.46 а построены кривые г1 = 4184, на рис.46б — кривые 0 = — С с18 6. Вертикальными штриховыми линиями изображены асимптоты этих кривых. Ввиду положительности С и г1 нужны ч = — 4еек4 О О и/2 Зв/2 бнгг2 2гг Зн а б Рис. 46 только участки кривых, расположенные в положительном квадранте (б > О, г1 > О). Пересечем эти кривые окружностью (24.13), радиус которой тгг — 2тС7О аггг должен считаться известным, поскольку известны величины 1УО и а.
Координаты точек пересечения этой окружности с кривыми (24.10а) и (24.11а) дадут возможные значения С и г1, а следовательно, к и ег. После этого по формулам (24.6) легко найти значения 1'. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной — 17О и шириной 2а потенциальной ямы. Например, если радиус окружности равен 7, то получается пять уровней. Точкам пересечения 1, ог 5 соответствуют четные, а точкам 2, 4 нечетные волновые функции. Если 0 < — 17вах < ггтгг2/(8пт), то имеется только одна точка пересечения которой соответствует четная волновая функция. Так как ) величина й существенно отлична от нуля, то из (24.6) следует, что ' > > багги Все УРовни знсРгии, в том числе и самый низший, лежат выше дна потенциальной ямы. Опять наше решение приводит к необходимости существования нулевой энергии.
4. Остается рассмотреть случай, когда й > О. В этом случае величина ег чисто мнимая: гт = г)1. Вместо (24.8) получается уравнение "Ф+ДФ 0 дх 5 25) Квантование в случае сферичесни симметричного силового поля 147 Его решения: гр = А'сов,Зх+ В'япбх при х >+а, ф = А" сов,Зх+ Вояп)Зх при х < — а. Оба решения остаются конечными при любых значениях х, в частности сколь угодно болыпих по абсолютной величине. Они содержат четыре произвольных постоянных А', В', А", В". Эти решения надо сшить с решением внутри интервала — о, < х < +а, которое представляется формулой (24.9), чтобы при этом оставались непрерывными ы и Нф/Их на обеих стенках потенциальной ямы.
Таким путем получаются четыре линейных уравнения относигельно коэффициентов А', В', А", В", содержащие А и В в качестве параметров. Этого как раз достаточно, чтобы выразить эти неизвестные коэффициенты через А и В. При этом А и В могут принимать любые значения. Отсюда следует, что при Р ) 0 энергия не квантуется — энергетический спектр непрерывен. Волновая функция не стремится к нулю при х — г хсо, т. е. движение частицы инфинитно, как того и требует общая теория. В 25. Квантование в случае сферически симметричного силового поля 1.
В атомной физике более важен случай, когда потенциальная функция У ие одномерна, а сферичесни с метрична относительно некоторого силового центра. Примером может служить положительно заряженное агомное ядро, в электрическом поле которого движется электрон. Силовой центр (например, атомное ядро) мы сначала будем считать бесконечно тяжелым и неподвижным. Начало координат поместим в силовом центре. Обозначим через г радиус-вектор, проведенный из начала координат к рассматриваемой частице. Тогда в случае сферической симметрии В = У(г), где г = ~г~.
В этом случае волновая функция 15, т. е. решение уравнения Шредингера (21.7), может зависеть не только от г, но и от угловых переменных, определяющих направление радиус-вектора г. Однако мы ограничимся здесь только сферически с м етричны ии решен1 ми, т. е. решениями, зависящими только от ~г~; 15 = гр(г). Тогда уравнение Шредингера для стационарных состояний (21.7) запишется в виде (25.1) Это уравнение отличается от исследованного выше одномерного 2 сЬ~ уравнения (22.1) наличием дополнительного члена — †. Однако поде Иг становкой 1О = 1~(т (25.2) [Гл.
!Н Уравнение 1Прединеера. Квантование 148 оно приводится к виду йа аг , + (б !7(гНХ О. (25.3) Это уравнение математически тождественно с уравнением (22Л) для одномерного слу ьэя. Поэтому все результаты, полученные в 8 22, сохраняют силу для вспомогательной функции К(г). Единственное отличие состоит в том, что при т = О функция К должна быть не только конечной, но и обращагься в нуль, так как в противном случае функция ф = уд(г обращалась бы в бесконечность при т = О. Поэтому половина решений, полученных в з 22, должна быть исключена. Надо оставить только решения, изображающиеся кривыми, проходящими через начало координат (рис. 47).
При Ф < О эти решения для положительных г представлены сплошными кривыми, а их продолжения в область от- О Я l Рис. 48 Рис. 47 рицатсльных г штриховыми кривыми. Разумеется, в нашей задаче отрицательные г не имеют физического смысла и введены формально математически, чтобы получилась аналогия с одномерным случаем.
Поэтому остается справедливой доказанная в 8 22 теорема, что число узлов функции у1(г) (г существенно положительно) на единицу меньше номера соответствующего собственного значения. При этом точка г = О за узел не считается. Рисунок 47 иллюстрирует это утверждение. 2. Частным случаем сферически симметричного силового поля является трехмернал ореричесни симметричная нотепциальнан яма, сечение которой плоскостью, проходящей через силовой центр, имеет прямоугольную форму (рис. 48).
Так называется трехмерная потенциальная функция !7, зависящая только от расстояния г до силового центра, которая определяется выражениями !7\г) = — Ов при т<и, (25.4) О при е)а. Из изложенного выше следует, что в этом случае сферически симметричные волновые функции 71(г) и значения д' в стационарных состояниях находятся так же, как и в случае одномерной прямоугольной потенциальной ямы (см.
8 24). Различие состоит только в том, что 6 26) Система двух вэаи одействуютих частиц 149 теперь четные решения уравнения (25.3) (если решения формально продолжить в сторону отрицательных г) должны быть исключены. Иными словами, при й < 0 остаются только решения ф = Вз1пЬ при 0 < г <+а, ф = Се' "" при г >+а, (25.5) где 1е и о определяются прежними формулами (24.6). В соответствии с этим из двух формул (24.10а) и (24.11а) надо сохранить только вторую, т. е. и = — Е с164, (25.6) т. е. 252 — Во <— 8та (25.
7) то зта кривая нигде не псрессчется с окружностью (24.13). Это значит, что при условии (25.7) в потенциальной яме не появится ни одного уровня дискретного спектра эпергии. Первый уровень появляется, когда крайняя левая кривая и = — Е с134 на рис. 46 б начинает пересекаться с соответствуюгцсй окружностью. Это происходит в точке 5 = к/2, О = О. Из второго уравнения (24.6) следует, что в этом случае 3 = О, т. е. при возрастании глубины ямы первый уровень появляется на границе дискретного и непрерывного спектров. Расстояние этого уровня от дна потенциальной ямы равно — Во = ахкеД8та ), как это легко получить из первой формулы (24.6).
В рассматриваемом случае весь дискретный спектр состоит из одного только уровня нулевой энергии. 3 26. Система двух взаимодействующих частиц 1. До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном силовом поле. Более реальным является случай двух частиц, взаимодействуюших между собой. В классической механике в этом случае движение распадается на движение системы как целого в отсутствие внешних сил (двиэюение центра масс) и на движение одной частицы относительно другой под действием сил взаимодействия между ними причем 4 и О определяются прежними выражениями (24.12).
В случае одномерной симметричной ямы всегда суи4ествуегп по крайней мере одно собственное значение дискретного спектра энергии с четной волновой функцией. В случае сферически симметричной прямоугольной ямы этого может и не бьггь. Дейсгвительно, кривая — 4 с16С первый раз пересекает горизонтальную ось координат в точке Е = к/2, и = 0 (рис. 46 б). Из формулы (24.13) видно, что если уравнение йурединеера.
Квантование. 150 тгтг т= тг+тг (26.1) где тч и тг — массы первой и второй частиц. Совершенно так же обстоит дело и в квантовой механике при рассмотрении стационарных состояний. Исходным служит уравнение Шредингера для стационарных состояний двух частиц. Оно является естественным обобщением уравнения (21.7) и имеет вид Здесь дг дг дг дг дг г+ г+ г~ Уг= г+ г+ г, (26.2) дхг дуг дгг ' дхг дуг дггг а через гг(хы уы гг) и гг(хш уг, гг) обозначены координаты рассматриваемых частиц. Потенциальная функция взаимодействия 11(гг — гг) зависит только от разностей координат первой и второй частиц.
Обычно (в случае центральных сил) она является функцией только расстояния между ними г = ~гг — гг(. 2. Преобразуем уравнение (26.2) к новым независимым переменным: координатам центра масс В.(Х, У, Е) = тг ттг (26.3) и координатам первой частицы относительно второй (26.4) г(х., у, з) = гг — гг. Величина гр теперь является функцией шести переменных: гр = 1о(гы гг). Но мы для сокращения выкладок (без нарушения общно- сти) произведем их только для функции гр(хы хг) двух переменных хг и хг и соответственно для гр(Х, х), где тгхг + тгхг х = хг — хг.
тг -1- пгг На основании инвариантности полного дифференциала дхг + е~хг = е1Х + е1х. дй дгг дгр дгр дх, д дХ дх Подставим в правую часть тпгдхг + тгЫхг тг -~- тг егх = е1хг — е1хг (относительное движение). Последнее формально сводится к движению одной частицы с заменой ее истинной массы на приведенную массу 2 26) Система двух взаимодействующих частиц 151 Сравнением коэффициентов получаем др ( т,, д д~ д~ ( тз д д~) дх2 1,Ш2 -~- тз дХ дх7' ' дх2 '2 т2 + тг дХ дх/ Мы представили результат дифференцирования в операторной форме. Это позволяет сразу написать выражения для вторых производных: дф ( т2 д д дх,' (,т, +тз дХ дх/ тз д Ф Ш2 дФ д зу (тз-~-тз) дХ Ш2-~-тз дх дх 2 2 + + г: дт ( Ш2 д д дх~~ ~,Ш2 Е тз дХ дх ~ тз дт (тз е тз) дХ Ш2 дФ д зр — 2 — — — — — + — —,, Ш2+тз дх дх Поделив эти соотношения соответс"гвенно на т2 и т2 и сложив, полу- чим д'~ 1 д'~ 1 д'~ (1 1 ') д'У 2+ 2 — — — — — 2+ — — + —— Ш1 дх~ ш2 дхз Ш1 т ш2 дХ ~Ш2 Ш2/ дх Теперь уже легко перейти к трем переменным, а затем представить уравнение Шредингера в виде ! — ~7н — ~7 + У(г2 — г2) 4 = (зщ, (26.5) 2 5 2 2(т2 -ь п22) и 2т где ~7н и ~7 операторы Лапласа соответственно в переменных Х, 2 2 у, г и х, у, .
3. Оператор, действующий на уз в левой часе и (26.5)., распадается на сумму двух независимых членов, один из которых зависит только от К, а другой только от г = г2 — г2. В соответствии с этим решение уравнения (26.5) сводится к решению двух уравнений: — --- — ' — — -'7нФ(В) = днам(Ф), 2 (26.6) 2(тз + тз) — и щ(г) + ~7(г)~(г) = )Г,зд(г), (26.7) где Кн и Ф, — постоянные, удовлетворяющие условию Фн + д, = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
