Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Она, как принято говорить, с определенной вероятностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при написании уравнения !»21.5) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под (I следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех возможных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении !»21.5) это не предполагается. Потенциальная функция !»'!»г) рассматривается в нем так же, как в классической физике, т.е.
как д»ункц я лок лизоваппой, а частиостпи точеч»юй, частицы а силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают !1Я = — ег(г, т.е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы. 4. Уравнение Н!редингера — уравнение первого поря ка по времени.
Отсюда следует. что заданием вшшовой функции Ф во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ф также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинностьь относится к волновой функции Ф. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми обьектами вероятностными соотношениями.
Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией. 5. Уравнение Шредингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ф. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям. Во-первых, если Фг и Фг — какие-либо два решенил уравпепил Шредингера» то и всякая линешгая комбинация ил о»Ф» + огФг с по«гаоляны ии (аооби!е говоря, колл лгксиыми) колб»фициеитами ог и оя есть гпаклюе решение того л»се уравнения, Во-вторых, если волновые функции Фд и Фг описываю»а какие-либо доа сосгаояния системы, то и линейная комбинация сг»Ф»+ + сггФг также описывает какое-то состояние той же системы.
Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами сгз и ог» а только их отношением сг» !» ог. Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ф = о»Ф»+оаФз нормировать (если интеграл ! Ф*Ф«! ', взятый по всему пространству, сходится). 6. Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния.
Это -- такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ф не относится к этим параметрам. Она принципиально нгнаблюдаема. Не должны меняться во времени только ф эичгски наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из Ф по правилам й 21) Уравнение П/редингера квантовой механики. Оказывается,что в стационарных состояниях Ф(г,1) = Ф(г)е (21.6) где частота оз постоянна, а функция Ф(г) не зависит от времени.
Не располагая сейчас правилами составления из Ф принципиально наблюдаемых величин, проверим, что одна из таких величин, а именно плотность вероятности р = Ф*Ф, в состоянии (21.6) во времени остается пос гоя иной. Действительно, р = Ф*(г)е' 'Ф(г) е' ™ = Ф'(г)Ф(г), а эта величина от времени действительно не зависит. Для определения функций Ф(г) в стационарных состояниях подставляем выражение (21.6) в уравнение (21.5) и находим бозФ = — — з7 + 11(г) Ф.
2 2т По аналогии со световыми квантами примем гипотозу, что величина йы представляет собой полную энергию частицы 12 в стационарном состоянии. Таким образом, для энергии в стационарном состоянии получается уравнение ! — — "'~ +и(г) Ф=йФ. 2т (21. 7) Это уравнение не содержит времени и называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него (21.5) называется временным или общим уравнением Шредипгера.
В отношении потенциальной функции 17(г), входящей в уравнение (21.7), полностью справедливы замечания, которые были сделаны в связи с уравнением (21.5). Функция 17(г) определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала. Уравнение Шредингера для стационарных состояний, конечно, удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако суперпозиция стационарных состояний с различными энергиями уже не будет стационарным состоянием. Шредингер показал (см. з 22), что уравнение (21.7) полностью решаег проблему квантования энергии системы.
Для этого под й следует понимать энергию системы в стационарном состоянии, а относительно физического смысла самой волновой функции Ф(г) никаких предположений вводить не требуется. Необходимо только наложить на решения 1У(г) уравнения (21.7) некоторые естественные условия, которым они должны удовлетворять на бесконечности и в особых точках потенциальной функции Г(г). В следующем параграфе будет показано, что гпокие решени существуют, вообще говоря, не при всяких значениях )Г, а только при некоторых. Это и есть избранные значения энергии в стационарных состояниях.
В частности, для атома водорода получаются в точности те же значения с, которые давала старая теория Бора. Это был первый крупный успех волновой механики, с которого началось ее дальнейшее бурное развитие. Уравнение Шредингера. Квантование 132 7. Уравнение (21.7) в сочетании с принципом суперпозиции естественно приводит и к права.ау частот Бора. С этой целью заметим, что всякий физический процесс характеризуется изменениями во времени каких-то реальных физических величин.
Но в стационарных состояниях все реальные физические величины остаются постоянными. Поэтому волновая функция, описывающая состояние, в когором происходят реальные физические явления, должна быть обязательно нестационарной. Рассмотрим простейшее нестационарное состояние (21.8) »г = »р» + Фа, представляющее собой суперпозицию двух стационарных состояний »у» = »»»»(г)е ' ", »уа = »ра(г)е (21.9) Вычислим в этом состоянии простейшую реально наблюдаемую величину плотность вероятности р. Получим р = »У*»1» = (»»»»»»»»» +»да»гг) + ФэФ» ед ' "П' +»(»2»(»; е Учтем разность фвз, которая может существовать между у»» и»рю Для этого положим»»»» = ~»д»(е»е», »рз = ~фа~в ы', где б» и ба величины вещественные.
Тогда получим р = ((»»»»)~ + )е д/а) + 2)»(»» ! )»(»а/ сов ((и»а — и»»)1+ (ба — б»)). (2110) "1акова (ненормированная)»»»»отпасть вероятности состояния»Р = »У»+ +»Уг. Она содержит постоянный член (~ф»~~ + ~фа~~) и интерференционный член 2~4»» ~ (фз~ сов (а»»21+ ба — д»), гармонически колеблющийся с боровской частотой р» — р» и»»з = и»а — и»» = а (21.11) Полная плотность вероятности р может меняться от максимального значения ()ф»(+ )»1»а)) до минимального ((ф»( — (»1»а!)~.
Она содержит член, осциллирующий с боровской частотой и»»а. Поэтому приведенное рассуждение в сочетании с классической электродинамикой наводит на мысль (но отнюдь не доказывает), что с той же частогой должно происходить и излучение света. Действительно, если е заряд частицы, то величина ре имеет смысл плотности вероятности электрического заряда в пространстве. Если бы она была просто плотностью заряда, а не ее вероятностью, то получился бы классический случай, в котором заряд периодически колеблется во времени. По классическим представлениям такой заряд должен излучать. Правдоподобно ожидать излучения и в квантовом случае, где плотность заряда заменяется ее вероятностью.
Правда, интерференционный член в (21.10) имеет характер незатухающей стоячей волны. Для поддержания непрерывного излучения, если оно уходит от системы, требуется подводить энергию. Но и в классической физике, например при рассмотрении излучения при незатухающих колебаниях диполя Герца, положение такое же. Мы рассчитываем поле и интенсивность излучения, отвлекаясь от того, каким й 22) Уравнение И!редипгера и квантование 133 механизмом поддерживается постоянство амплитуды и связанной с ней энергии колебаний. Как и в первоначальной теории Вора, боровская частота ыш появляется в результате квантовых переходов системы с одного энергетического уровня на другой.
й 22. Уравнение Шредингера и квантование 1. Квантование энергии возникает потому, что на волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (21.7), накладываются определенные естественные ограничения. При этих ограничениях уравнение (21.7) имеет решения, вообще говоря, не при всех, а только при избранных значениях параметра й. Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в задаче о свободных колебаниях струны с закрепленными концами. Из-за закрепления концов эти колебания представляют собой стоячие волны с такими избранными частотами, что на длине струны укладывается целое число полуволн. Естественные ограничения, накладываемые на решения уравнения Шредингера (21.7) (в несколько усиленной, но практически всегда выполняющейся форме), состоят в том, что волноваа функция «р(г) и ее г»ереме пространствен»«ые г»ро вводные долэкпы быть конечны, однозначны и непрерывны даже в точках (а тояже линиях и поверхностях) разрыва потенциальной функции С(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
