Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Это приводило к трудностям. Так было, например, с понятиями пространства и времени, критический пересмотр которых привел к теории относительности. Но порядок построения теории всегда оставался прежним — сначала вырабатывались понятия и лишь потом устанавливались соответствующие уравнения. Квантовая механика пошла по другому пути. Сначала были установлены уравнения для какихто символов (к числу их относится, например, волновая функция), физический смысл которых был совсем не ясен.
Лишь потом занялись отысканием связи этих символов с реальной действительностью. Такой путь построения теории хотя и представляется противоестественным, но логически он допустим, если только связь с реальностью полностью установлена. По такому пути приходится идти и нам. Пока что мы связали волновую функцию Ф с соответствующей плотностью вероятности Ф'Ф. Но этим не исчерпывается физическая интерпретация всех понятий и величин, которые пришлось ввести в связи с функцией Ф.
й 20. Соотношение неопределенностей 1. В классической механике состояние материальной точки в каждый момент времени характеризуется ее положением и импульсом. Реальные микрочастицы электроны, протоны, атомы, молекулы и пр. более сложные объекты. Нельзя характеризовать мгнооенпое сосптояние микрочастицы тпочными заданиями ее положения и импульса.
Причина этого в гом, что всякая микрочастица проявляет н корпускулярные, и волновые свойства. Нельзя сказать, что в определенной точке пространства длина волны равна А, если о волновом поле во всех остальных точках пространства ничего не известно. Длина волны есть характеристика синусоиды, а синусоида — бесконечная периодическая (Г'л. 1!1 Волновые свойства, чае»ниц вещества 118 кривая. Если из нее вырезать малый кусочек и удалить все остальные части, то оставшийся кусочек потеряет самое характерное свойство синусоиды — ее периодичность. Для кусочка, малого по сравнению с Л, понягие длины волны неприменимо.
Ясно, что выражения «длина волны в данной точке пространства х равна Л» или «частота волнового процесса в данный момент времени 1 равна ш» не имеют никакого смысла -- величина Л не является функцией х, а величина ш -- функцией й С другой стороны, если какое-либо волновое образование занимаег ограниченную область пространства, то его всегда можно представить синусоидами. Только одной синусоиды для этого недостаточно. Требуется волновой пакет — суперпозиция множества синусоид различных частот, которые усиливались бы в определенном интервале пространства и взаимно гноили бы друг друга вне этого интервала. Если длина волнового пакета равна глх (ради простоты мы ограничиваемся одним измерением), то волновые числа Й., необходимые для его образования, не могут занимать как угодно узкий интервал ГЛЙ.
Минимальная ширина интервала е»Й должна примерно удовлетворять соотношению Ьх ЬЙ > 2«г (20.1) (см. т. !Лг, '8 30). Это — чисто волновое соотношение. Из него следует, что в коротком радиосигнале (малое Ьх) всегда представлены с заметной интенсивностью монохроматические волны с различными значениями Л. Такие сигналы будут приниматься приемниками, нас гроенными на различные волны.
Если же требуется принимать сигналы, близкие к монохроматичсским (малос ЬЛ), то они по необходимости должны быть длинными (большое Ьх). Напомним, как из элементарных соображений можно прийти к соотношению (20.1). Рассмотрим множество синусоид одинаковых амплитуд, волновые числа которых Й последовательно возрастают от синусоиды к синусоиде на одну и ту же величину. В точке х фазы волн меняются ог Йх до (Й+ ЬЙ)х, т. е, на величину хай. Если хЬЙ = = 2я, то в этой точке все синусоиды взаимно гасят друг друга. Найдем ближайшую точку х + Ьх, в которой будет происходить такое же гашение. В этой точке разность фаз между крайними синусоидами будет (Й + ЬЙ)(х + Вгх) — Й(х + .Ьх) = х«1Й + «1х .еЛЙ = 2«г + Ьх ЬЙ. Ближайшее гапзение произойдет, когда Ьх ЬЙ = 2«г. Таким образом, все волновое возмущение разобьется на отрезки одинаковой длины Вгх, причем на концах каждого отрезка волновое поле обратится в нуль.
Такой результат получился потому, что все синусоиды были взяты с одной и той же амплитудой. Но если воспользоваться синусоидами всевозможных амплитуд, то можно усилить возмущение в пределах только одного отрезка глх, а вне этого отрезка всюду его погасить. Это следует из математической теоремы Фурье, причем необходимым условием является выполнение соотношения типа (20.1). Именно такой случай мы и будем иметь в виду. й 20) Соотпношение неопределенностей 2. Рассмотрим теперь волновой пакет из волн де Бройля, размеры которого и соответствующие пределы волновых чисел удовлетворяют условию (20.1). Согласно статистической интерпретации вероятность обнаружения частицы будет отлична от нуля только в пределах пакега.
А чему будет равен импульс частицы? Каждой волне де Бройля с волновым вектором 1е соответствует значение импульса р = 01е. Определенного импульса для всего пакета не существует. Существует набор импульсов, заполняющих интервал от р = й1е до р + Ьр = = Ь(1+ Ь1с). Неизвестно, какой импульс будет обнаружен в волновом пакете при измерении.
В лучшем случае можно указать только его вероятность. При измерении импульс будет обнаружен с той или иной вероятностью между р = а1е и р+ Ьр = й(1е+ Ь1е). Поэтому, выражая 1е через р, соотношение (20.1) можно переписать в виде (20. 2) Ьх Ьр > 2ха = 6. Это соотношение называется соотношением или принципом неопределенностей Гейгенберга длл координаты и импульса частицы.
Оно определяет допустимый принципиальный предел нето тостей бх н Ьр, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т.е. координатой х и импульсом р. Чем точнее х, тем с меньшей точностью возможно характеризовать р, и наоборот. Но соотношение Гейзенберга никоим образом нельзя толковать в том смысле, что частица в каждый момент времени имеет определенные значения х и р, но мы нх принципиально не можем узнать с большей точностью., чем это позволяет соотношение неопределенностей (20.2). Такая агностическая точка зрения существовала, но она совсем не соответствует природе изучаемых мнкрооб"ьектов. Истинный смысл соотношения (20.2) отражает тот факт, что в природе обвективно не сушеспгоует состояний частиц с точно определенными значениями обеих переменных х и р.
Принцип неопределенностей был сформулирован Гейзенбергом в 192? г. и явился важным шагом в интерпретации закономерностей микромира и построении квантовой механики. В частном случае неопределенности Ьр может и не быть (Ьр = = О). Так будет, например, в случае плоской монохроматической волны де Бройля. Но тогда, согласно соотношению неопределенностей, Ьх = оо, т.е. о месте, где будет локализована частица, ничего сказать нельзя. Она может быть с равной вероятностью обнаружена в любой точке пространства.
Напротив, когда Ьх = О, то Ьр = со. В этом случае волновая функция стягивается в точку. При локализации частица будет обнаружена в одной определенной точке (например, начале координат), но об импульсе, который будет найден прн локализации, можно высказать только вероятностное утверждение. Можно показать, что в этом случае все значения импульса будут равновероятны. 3. В трехмерном случае классически частица характеризуется тремя прямоугольными координатами х, у, г и сопряженными им импульсами р,, рю р,. В этом случае соотношения неопределенностей )Гл. 1!! Волновые свойства чаегаиц вещества 120 Гейзенберга выражаются тремя неравенствами Ьх Ьре > Ь, Ьу Ьро > Ь, Ье Ьре > Гы (20.3) Никаких ограничений на произведения типа елх елро, Ьу елр„ которые получаются от умножения неопределенностей координат на неопределенности импульсов, сопряженных с другими координатами, соотношения неопределенностей не накладывают.
Величины х и рю х и р, одновременно могуг иметь и совершенно точные значения. 4. Соотношению (20.2) можно придать точную количественную форму, которую мы приведем без доказательства. В соотношении (20.2) величины Ьх и Ьр точно не определены. Но любая волновая функция Ф позволяет определить среднее значение координаты х, а ее спектральный состав — среднее значение р. Из этих величин находятся отклонения от среднего ест = х — х, Ьр = р — р и средние квадраты этих отклонений Ьхэ и Ьрэ.
'!очное соогношение неопределенностей гласит: Ьха Ьра > 62 14, 120.4) Как правило, мы не будем пользоваться этим соотношением, твк как во всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок велеичины езх Ьр, а не ее точное значение. 5. Мы распространим соотношения неопределенностей 120.3) и на случай макроскопических тел, хотя в этом случае и не существует никаких опытов, подтверждающих или опровергающих эти соотношения. Единственным оправданием соотношений неопределенностей в этих случаях служит наша уверенность в их универсальности и всеобщности. Поэтому мы поставим вопрос, как сказалось бы соотношение неопределенностей на движении макроскопического тела, если бы это соотношение в рассматриваемом случао было действительно верно? Возьмем маленький шарик с массой т = 1 г.
Определим положение центра этого шарика с высокой точностью езх = 10 " см, т.е. с точностью до размера атома. Тогда неопределенность импульса шарика будет е.'гр Ге/елх — 6,63 10 'э г. см/с, а неопределенность скорости Ьи = Ьр/т — 6,63. 10 '" см!с. Такая точность недоступна никакому измерению, а потому и отступлеяия от классического движения, вызываемые соотношением неопределенностей, далеко лежат за пределами возможностей эксперимента. Совсем иначе обстоит дело с движением электрона в атоме. Имеет ли смыва говорить о классическом движении электрона по боровской орбите? Возьмем для определенности атом водорода и первую боровскую орбиту. Чтобы такое движение имело смышц необходимо, чтобы неопределенность значения радиуса !зг была мала по сравнению с самим радиусом орбиты г = йэДтеэ).
Но в этом случае неопределенность значения радиального импульса будет 1е а 2 ха Ьр, — >) — = = 2пр, е!ее г г й 20) Соотношение неопределенностей 121 что превосходит сам импульс электрона р = 5/г. Аналогичное справедливо и для других боровских орбит, если только квантовое число не очень велико. При таких условиях представление о движении по классическим орбитам теряет смысл. Поэтому квантовая механика при описании движений электронов в атомах отказалась от понятия траектории этому понятию здесь реально ничего не соответствует. Так же обстоит дело и с другими элементарными частицами при движении в очень малых областях пространства.
6. Соотношение (20.2) проявляется при всякой попытке измерения точного положения или точного импульса частицы. Оказывается, что уточнение положения частицы сказывается на увеличении неточности в значении импульса, и наоборот. Иллюстрируем это на трех примерах. Первый пример. Пусть движение электрона описывается плоской мопохроматической волной де Бройля. Электрон в таком состоянии обладает вполне определенным импульсом, но его координата совершенно не определена. Для определения х- координаты электрона на пути волны перпендикулярно к ее распространению ставится непрозрачный экран со щелью ширины с1 (рис.
40). Пусть координатная плоскость ХУ расположена в плоскости экрана, причем ось Х направлена перпендикулярно к щели. Если электрон прошел через щель, то в плоскости самой щели координата х будет зафиксирована с точностью Ьх с1. Однако в результате дифракции на щели волновая Рнс. 40 функция электрона Ф изменится. Она будет иметь максимумы и минимумы. Электрон же может быть обнаружен в любом месте, где Ф ф О. Практически все волновое поле будет сосредоточено в пределах центрального максимума нулевого порядка. Его угловая ширина равна 2о, причем оз1п о = Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
