Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(Однозначность означает, что при обходе по любому замкнутому контуру функция ф(г) должна возвращаться к своему исходному значению.) Избранные значения параметра «Ч, для которых уравнение (21.7) имеет решения, удовлетворяющие перечисленным ограничениям, называются собственнъ»ми зпачешлми величины й для дифференциального уравнения (21.7), а соответствующие им решения — собственными функциями того же уравнения. Собственные значен л й и прин маются за возмоэкньш значения энергии в стационарных состолн лх. Собственные значения энергии й могут быль дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал.
В первом случае говорят, что энергетический спектр дискретный, а во втором непрерывный. Поясним изложенное на частном случае одномерного движения частицы в потенциальном поле сил. Допустим, что частица движется вдоль оси Х, а потенциальная функция С(х) имеет вид симметричной «потенциальной ямы» (рис.42 а) конечной глубины. Пусть С(х) максимальна при х = хсо и принимает там одно и то же значение.
Примем это значение за нуль отсчета энергии. Таким образом, предполагается., что С(х) всюду отрицательна и при т = хоо обращается в нуль. В одномерном случае уравнение Шредингера (21.7) принимает вид а д Ф + (р С)ф (22. 1) Коэффициенты этого уравнения вещественны. Поэтому оно имеет вещественные решения, которыми и можно ограничиться. Правда, всякое решение уравнения (22.1) останется таковым, если его умножить Уравнение Шредингера. Квантование на постоянный множитель, который может быть и комплексным. Но комплексность не влияет на ф*1о, а потому не сказывается ни на каких физических выводах теории. Рис. 42 2.
Рассмотрим сначала случай, когда й ( О. По классическим представлениям частица не может заходить в те области пространства, в которых 11 > <", так как разность б — 11 равна гпо~(Ь, т.с. кинетической энергии, а она не может быть отрицательной. Частица может двигаться только между двумя точками, в которых 11 = й, Достигнув одной из этих точек, частица должна повернуть обратно. Эти точки называются точи ми поворота. Согласно классической механике пространство вне точек поворота для частицы недостижимо. Но уравнение (22.
1), если оно имеет решение, не равное тождественно нулю между точками поворота, должно и за точками поворота переходить в решение, не обращающееся тождественно в нуль. Действительно, решение уравнения (22.1), поскольку это уравнение второго порядка, однозначно определяется заданием ф и Щ/дл в какой-либо одной точке п рос гранства. Возьмем э гу точку в области за точками поворота. Если допустить, что там ф = дф/4л— : О, то на основании сказанного функция ф должна тождественно обращаться в нуль во всем пространстве, в частности и между точками поворота. Из изложенного следует, что не существует решения, которое было бы отлично от нуля между точками поворота и тождественно обращалось бы в нуль за этими точками.
Таким образом, плотность вероятности ф'ф отлична от нуля и за точками поворота. Значит, согласно квантовой механике, существует конечная вероятность обнаружения частицы и в классически недостижимой области пространства, где ~/ > К. Приведенное выше классическое рассуждение в квантовой механике неприменимо, поскольку в этом случае из-за принципа неопределенности теряет смысл разделение полной энергии на кинетическую и потенциальную. Состояние частицы с энергией б характеризуется единой волновой функцией з 22) Уравнение Шредингера и квантование во всем бесконечном интервале — оо < л < +ос, а не только ее частью на интервале между классическими точками поворота.
3. При л — > ~со уравнение (22.1) асимптотическн переходит в дчл г —,— ее ул=О, (22. 2) дж где при 3 <О ее положительная постоянная, равная =~/ — 2 Л/ЛГ В Г уе г~ л ау С>е '"е и Сге'" е при произвольных значениях постоянных Сл и Сг. Вторая функция обращается в бесконечность при л = +со, тогда как первая, Слс а*, остается регулярной при всех положительных значениях х. Аналогично, при всех отрицательных значениях л остается регулярной только функция Свел"*. Рассмотрим теперь два решения уравнения (22.1): одно фл (з), которое при положительных х на бесконечности асимптотически переходит в Сле ~~, другое 4~г(л), которое при отрицательных я на бесконечности асимптотически переходит в Сгеч" е.
Искомая функция ф(л), представляющая решение уравнения (22.1) во всей бесконечной области — оо < з < +ос, должна получаться сшиванием обоих решений 1ел(л) и фг(ю) при л = О. При таком сшивании должны оставаться непрерывными сама функция 1е(л) и ее первая производная дф/дл. Иными словами, должны выполняться два равенства: д4~л(х) длел(а) фл(х) = фз(х), — — = — — — при х = О. (22.3) да да Если фиксировать постоянную Сы то нос гоянной Сг можно распорядиться так, чтобы соблюдалось первое равенство. Однако второе равенство, вообще говоря, соблюдаться не будет. Если же удовлетворить второму равенству, то, вообще говоря, не будет соблюдаться первое.
Обоим равенствам можно одновременно удовлетворить лишь при определенных значениях параметра 3, Эти избранные значения и будут свбсшвешпами зяачеп лми шлергии частицы или уравнения (22.1). Для исследования возможных собственных значений Ф заметим, что знаки функций д~ф/дх и (1л — С)ф противоположны. Это непосредственно видно нз уравнения (22.1). Поэтому при (3 — ~У)ф ) 0 кривая 1а = ф(з) обращена выпуклостью вверх, а при (3 — ~l)ф < 0 — вниз. В точках поворота 3 — С = О, а также при ф = 0 эта кривая испытывает перегиб.
4. Рассмотрим сначала случай, когда обе точки поворота совпадают между собой, т.е, когда К' = Сч„„, где Са„„вЂ” наименьшее значение потенциальной функции С, принимаемое ею при л = О. Тогда 3 — С = : — С'„нв — С < О. Если функции лрл(я) и фз(х) выбрать положительными соответственно при х = +ос и з = — сю, то в этих точках (3 — С)ф~ < < О, (3 — С)фа < О, т е, обе втоРые пРоизводные е1гфл /е1кз н йзг(гл(е1х на бесконечности будут положительны. Значит, при убывании ~х~ обе кривые 'дг = улл(л) и ф = угз(х) начнут подниматься вверх. По мере убывания ~з ~ этот под ьем только усилится, так как при этом величины (3 — С)ф, и (3 — С)фа, оставаясь отрицательными, будут непрерывно Уравнение Шредингера. Квантование. возрастать по модулю. Значит, при убывании ~х~ обе кривые уе = грл(х) и гд = уеа(х) должны постоянно подниматься, будучи обращенными выпуклостями вниз (рис.
42 б). На кривой уе = фл(х) первая производная Щл /0х отрицательна, а на кривой ер = еда(х) — положительна. Поэтому невозможно одновременно удовлетворить обоим условиям (22.3). Действительно, если при х = О удовлетворяется первое условие, то второе условие удовлетворяться не может из-за различия знаков производных егер1/ах и егерг/егх: при сшивании уч (х) и ерг(х) на кривой ер = = ф1+ рх появится угловая точка (рис. 42 б).
Можно устранить разрыв первой производной, выбрав функции фл(х) и гдг(х) противоположных знаков (на рис. 42 б отрицательная функция грх изображена штриховой линией). Но тогда в точке х = О окажется разрывной сама функция гр = = гр1 + рг. Из изложенного следует, что значение !! = !уи„„не может быть собственным значением энергии. 5.
Будем теперь непрерывно увеличивать параметр (и т.е. поднимать вверх горизонтальную прямую !!(х) = й на рис. 42 а. Тогда точки поворота А и А' начнут непрерывно раздвигаться, находясь на равных расстояниях от начала координат, в силу симметрии потенциальной ямы !! = У(х). Поскольку А и А' являются точками перегиба, обе кривые ф = фл(х) и ф = фг(х) между ними начнут загибаться вниз. Функции ф~ (х) н ~гг(х) выберем так, чтобы соблюдалось первое условие (22.3). При небольших значениях й обе кривые гр = фл(х) и гр = гда(х) при х = О по-прежнему будут пересекаться под некоторым углом. Конечно, ввиду симметрии потенциальной ямы !У = !!(х) эти кривые зеркально симметричны относительно вертикальной оси координат.
По мере увеличения параметра !е, т. е. по мере раздвигания точек поворота А и А', угол между ними уменыпается. Всегда наступит момент, когда в точке х = О касательная к одной, а следовательно, и к другой кривой сделается горизонтальной. Тогда обе кривые гр гдл(х) и уу = уух(х) плавно перейдут одна в другую (рис.42 в). Соответствующее значение параметра й = бл и будет первым или наименьш м собственн м значением энергии. В случае симметричной потенциальной ямы наименьшее собственное значение 31 всегда существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
