Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Но в квантовой механике укоренилось написание волны именно в форме (17.1). Однако независимо от способа написания под фазой волны следует понимать выражение ш1 — кг. )Гл. 1!1 Волновые свойства частиц вещества 94 3. Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.2) и (17.3). Прежде всего из (17.3) получаем выражение для длины волны де Бройля: 2гг 2хй 6 (17.4) й р р' Эта величина в каждой инерциальной системе отсчета определена однозначно.
Для фазовой скорости волн де Бройля формулы (17.2) и (17.3) дают сф=-" 9 р' (17.5) В релятивистской теории 3 = тс, р = ти, где и — скорость частицы, а т — реля"гивистская масса. В этом случае иф = (17.6) Поскольку всегда и < с, отсюда следует, что оф > с. Для фотонов в вакууме и = с, а погому в этом случае оф = с. Полученный резулывт не должен нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. К тому же в дальнейшем будет показано, что, согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Вройля имеет чисто символическое значение, так как эта интерпретация относит ее к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля игр = — = — — -.
гр (17.7) Эта величина не содержит никакой неопределенности, поскольку не только еГр, ио и приращение энергии гГ)с определены однозначно. При любой скорости движения частицги с!)г = и гГр, так что всегда игр (17.8) т.е. групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Заменив теперь в формуле (17.6) и на игр, получаем ифи„р — — с . (17.9) Формально можно образовать величину, аналогичную длине волны де Бройля (17.4). Для этого заметим, что длина четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского равна Л~7й' — гге -' - г;г « частицы. Поделив на него постоянную Планка 6, получим инвариантную величину Лк= (17.
10) тос ' имеющую размерность длины. Она представляет собой комптоновскую длину частицы. Таким образом, формально Лк можно рассматривать 1 17) Гипотеза де Бройлл 9о как длину волны де Бройля, которой соответствует величина импульса, равная инвариантной длине четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского. 4. Де Бройль использовал представление о фазовых волнах для наглядного толкования таинственного правила квантования Бора (13.6) в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на орбите длина волны Л укладывается целое число раз (рис.27), то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с гой же фазой и амплитудой.
В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим во времени и не возникнет излучения. В этом случаеорбита получится стационарной. Если же указанное условие не выполняется, то при обходе вокруг ядра фаза и амплитуда волны не Рис. 27 возвратятся к своим исходным значениям стационарного состояния не получится. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты, или правило квантования, в виде (17.11) где 77 — радиус круговой орбиты, а и — целое число (главное квантовое число). 11олагая здесь Л = Цр = 2ка/р и замечая, что Ь = 77р есть момент количества движения электрона, получим (17.12) Б = пй, что совпадает с условием (13.6).
В этом де Бройль видел успех своей концепции фазовых волн. В дальнейшем условие (17.11) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны Л меняется вдоль траектории электрона. Казалось, что это еще больше усиливало успех теории. На самом деле этот успох призрачный. В рассуждении де Бройля предполагается, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой) оптики.
Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны Л пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона, т.е. при больших квантовых числах. А тогда проблема квантования несущественна. Чтобы действительно получить существенно новое, надо заменить геометрическую оптику волновой. Это и было сделано Шредингером. 5. К полученным результатам можно прийти и другим путем. Для этого введем показатель прело лепил р, волн де Бройля -- важную (Гл. 1!1 Волновые свойства частиц вещества (17.
13) р = о. Определяемый этой формулой показатель преломления условно будем называть абсолютным. Формула (17.13) сохраняет смысл и в том случае, когда скорость частицы о меняется от точки к точке, т.е. при наличии силовых полей. Скорость о, а с ней и р в каждой точке однозначно определяются уравнением энергии й + !1 = сопз$, в котором предпола|вется, что потенциальная функция !7 зависит только от координат,но не зависит явно от времени. В предельном случае коротких длин волн распространение последних происходит вдоль независимых линий или лучей (см. т. !Ъ', З 6).
Этот случай называется геометрической или лучевой оптикой. Распространение волнового возмущения вдоль лучей формально аналогично движению частицы классической механики по траекториям. Радиус кривизны Й луча или траектории частицы определяется формулой (!ар) = (!по), 1 д д (17.14) где дифференцирование производится в направлении главной нормали 1Ч! к лучу или траектории (см. т. !У, 2 4).
Эта формула, конечно, может быть использована (вместо уравнений !.!ьютона) для определения формы луча или траектории частицы. Вернемся теперь к выводу правила квантования, данному де Бройлем. Условие применимости геометрической оптики к движению электрона вокруг ядра атома выражается формулой йд Л вЂ” «р, Йг до т.е.
Л вЂ”. «о. еег Подставив сюда Л = 2кй(р, р = о и ограничиваясь нерелятивистским приближением, запишем это так: 2кй « ро = 2К, йо йг (17. 14а) где К вЂ” кинетическая энергия электрона. Скорость о найдется из уравнения энергии то 7е 2 2 = й = сопя!. 2 г величину, имеющую и самостоятельное значение. Пространство, в котором распространяется волна дс Бройля, условимся называть средой. Если в среде нет силового поля, то среда будет однородной. Показатель преломления среды может быть определен лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, так как для преломления фазовых волн на границе раздела двух сред имеет значение только отношение показателей преломления этих сред.
Во всякой волновой теории д обратно пропорционален фазовой скорости волны. В случае волн де Бройля р 1,1оф„= о/с . Опуская постоянный множитель, можно принять 6 17) Гипотеза де Бройля 97 Отсюда находим ди 7е з тиг — =— дг г где Б — потенциальная энергия. Если электрон движется по окружно- сти, то тпг = пй., а потому пй =сГ=г' — К= — 2К, ди Йг так как при движении по окружности 6+ К = О. Сопоставляя полу- ченное соотношение с неравенсгвом (17.14а), находим и» 2х, т.е. квантовое число п, должно быть большим в согласии с тем, что было установлено выше. 6. Все изложенное представляет собой чисто умозрительное, гипотетическое построение, а потому не имеет доказательной силы. Истинное доказательство или опровержение полученных результатов может дать только опыт.
В каких же явлениях природы могут прояви гься волновые свойства вещества, если они действительно существуют? Независимо от физической природы волн сюда относятся явления интерференции и дифракции. Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны Л. Во всех случаях длины волн де Бройля определяются формулой (17.4), Применим ее к нерелятивистскому движению частиц. Для электронов, ускоренных разностью потенциалов г', импульс определяется формулой р = у'2т,е$', так что в абсолютной системе единиц 6 уУ2т,е'у' (17.15) Положим здесь Ьс = 1,2399 10 ~ эВ см, т,с~ = 511003 эВ.
Тогда получится практическая формула Г150,42 з 1,2264 ~(в) ууи~в) (17.16) Для протонов 1.,26 Лне = —. иут (17.18) 4 Д.В. Сивухан. 'Г.М Лр — — — ' — нм. 0,02862 (17.17) у'и[в> Вычислим еще длину волны де Бройля для молекул неподвижного газа при абсолютной температуре Т. Задача эта —. не совсем определенная, поскольку молекулы движутся с тепловыми скоростями, распределенными по закону Максвелла. Не вдаваясь в обоснование (см. задачу к следующему параграфу), будем понимать под и среднюю квадратичную скорость молекулы. Тогда ее импульс будет р = ту3т Л". Отсюда легко получить для атомов гелия (тн, = 6,7 10 24 г) )Гл. П! Волновые свойства частиц вещества Для молекул водорода 1,78 Лн,— ч'T (17.
19) а для тепловых нейтронов 2,52 Ло = — '- — нм. и'Т (17.20) Эти формулы показывают, что для электронов, ускоренных до потенциала 100 — 10000 В, для атомов гелия и молекул водорода при комнатной температуре, а также для тепловых нейтронов и других «медленных» легких частиц длины волн де Бройля того же порядка, что и длины волн мягких рентгеновских лучей. Поэтому дифракцию таких частиц надо пытаться искать методами, аналогичными тем, которые применяются в случае рентгеновских лучей.
Однако гипотеза де Бройля представлялась настолько фантастичной, что сравнительно долго никто из экспериментаторов не пытался подвергнуть ее экспериментальной проверке. ЗАДАЧИ 1. Обобщить нерелятивистские формулы (17.15), (17.16) и (17.17) на случай релятивистских электронов и протонов. При каком значении ускоряющего потенциала Ь» можно пользоваться иерелятивистскими формулами, чтобы ошибка не превосходила одного процента? О т в е т. -1)2 ъ'2тоер (, 2тос / (17.15а) где п«а — масса покоя частицы. Для электронов 1,2264 .е -1)2 Л, = — '== 11+ 0,978 10 1'(щ) нм, (17.16а) о(8) Лля протонов Ло = — = (1 сг 0,533 10 Ъ(щ) нм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
