Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Следовательно, скорость движения узлов пропорциональна произведеввю 3Т РН АЯ, иначе — произведению синусов углов ТР3, РТУ в ЬТК. — 560— Когда, при положении узлов в квадратурах и Луны в сизигивх, эти углы прямые, то отрезочек тЕ удзлвется в бесконечность, и угол аа77 становится равным углу тРВ В этом случае угол эийй относится к углу РТМ, описываемому видимым движением Луны вокруг Земли, как 4 к 59.575. Ибо угол тР1 равен углу ЕЕ'М, т. е. тому углу отклонения Луны от прямого пути, которое произвела бы вышеуказанпаз сила Солнца З,УТ в рзссиатриваемый весьма малый промежуток времени, если бы при этом па Луну не действовало бы тяготение к Земле, угол же РТМ равен углу отклонения Луны от прямого пути, производвиому в такое же время тою силою, которою Луна удерживается на своей орбите, если бы силы Солнпа не было, эти же силы, как сказано выше, относятся между собою, как 1 к 59 575 Так как среднее часовое движение Луны относительно неподвижных звезд равно 32'56п27"'12.5'т, то часовое движение узла в этом случае будет ЗЗ"!ОюЗЗ'~12".
В остальных же случаях это часовое движение будет относиться к ЗЗ" 10"ЗЗ'~12т, кзк произведение синусов )глов ТРУ Ели НТУ (т. е. расстояния Лупы до квадратуры, расстонния Луны до узла и расстояния узла до Солнца) к 1. Всякий раз, когда знак синуса какого-либо угла изменяется нэ положительного в отрицательный, затем из отрицательного в положительный, движение должно быть изменено пз попятного в пряное и из прямого в попятное.
Отсюда происходит, что узлы движутся вперед, когда Луна находится между которою-нибудь из квадратур и ближайшим к ней узлом; в остальных же случаях их движение попятное, и вследствие избытка этого движения над движением вперед тзлы ежемесячно перемещаются попзтно. Следсжае 7.
Таким образом, если из концов Е' и М (аиг. 190) весьма малой дуги РМ опустить перпендвкулвры РК и Мк на прямую ®й, проходзщую через квадратуры, и продолжить их до пересечения в ЕЕ и Й с линией узлов Нм, то часовое движение узлов будет пропорпиональпо площади МРРд и квадрату линии ЛЯ. Пусть РК, РН и АЯ вЂ” вышеупомянутые три синуса, а именно: Е'Х вЂ” синус расстояния до квадратуры, РН вЂ” синус расстояния Луны от узла и .АЯ вЂ” синус расстознио узла от Солнца, тогда скорость узла пропорциональна произведению ЕК РН АЯ Но РТ: РК = РМ: Кй а так как РТ и РМ постоянны, то РК пропорционально Хк. Вместе с тем А Т: РЭ = ЭХ: РН поэтому РН пропорционально РЭ .
АЕ. По перемно;кении этих пропорций получим, что РК РН пропорционально Кй ° РЭ ° АЕ, и РК РН АЕ пропорционально Кй ° РЭ ° АВ', т. е пропорционально произведению (площадь РЭМй) Ал'. ф .що. Следсввие 2. При каком-либо положении узлов среднее часовое их движение относится к половине часового их движения в сизигиях Луны, т. е. к 16нйб"'16'т36", как квадрат синуса расстояния узлов от сизигий к ввадрату радиуса, иначе как АЛ': АУэ. Ибо, если Луна обходит равномерным движеннен полукруг 94у, то сумма всех площадок РЭМОМ, пока Луна иде от ч до М, составит площадь чМИЬ; ограниченную касательною ДЕ к кругу; когда же Луна придет в и, эта сумма составит полную площадь Ь(~Ам, описанную прямою РЭ.
Затем, при переходе Луны от и до и, ливия РЭ падает вве круга и описывает площадь где, ограниченную касательною еп к кругу; эту площадь, так кзк узлы до того перемещались нопятно, а теперь попутно, пало вычесть из предыдущей площади, а так как ова равна площади ЧКЮ, то останется площадь полукруга 2ЩАм.
Следовательно, сумма всех пло~ждок РШМ за время, в продолжение которого Луна описывает иолу- окружность, есть площэдь этого полукруга. Сумма же площадок за время описания всей окружности равна всем площади круга. Когда Луна находится в сизигинх, площадка РЭМОМ равна произведению длины дуги РМ на — 662— радиус 1'Т. Сумма всех таких равных меж,<у <обо<о площадок ла то время, в которое Луна описывает окружность, составит произведение из полная длины окружности на радиус; так как эта площадь ранна удвоенной площади круга, то оиа вдвое больп<е предыдущей. Следовательно, узлы, двигаясь равномерно с тою скоростью„ кагору<о онп имеют в сизигиях Луны, прошли бы путь вдвое больший, пожгли они проходят на самом деле, поэтому то среднее движение, двигаясь с которым равномерно они проходили бы то же пространство, как я на самом деле при неравномерном их движении, равно половине того, которое опи имеют, когда Луна в сязигиях.
Так как наибольшее среднее часовое диня<ение, когда узлы находятся в квадратурах, ра< но 33о10оЗЗ<<12<, то среднее часовоо движение и рассматриваемом случае будет равно 16в86'о16'"Збг. Но так как часовое движение всегда пропорционально АЯ' и плаща,<н ИИМ и так как часовое движение узлов в снзигнях Лунь< пропорциональноАЯэ н площади РВ<2М, т. е. АУ.', ибо в сизнгиях площадь 1ЪИМ постоянна, то н среднее движение будет пропорционально АЯ', так что это движение, когда узлы находятся вве квадратур, будет относвтьсв к 16о35в'16" 36", как АЯ' к АТ'. Предложение ХХХ1. Задача ХП Найти часовое движение узлов Луны дли эллинтнчвскои орбиты. Пусть ф~атд (фиг. 191) представляет эллипс с большою осью ЬДу, малою ай; (~Ад — описанный круг; Т вЂ” Землю в центре нх обоих; 8— Солнце; р — Луну, движущуюся по эллипсу, и рт — дугу, опясываемую ею в заданный весьма малый промежуток времени; Лги н — узле<, Лгн— лини<о узлов, рК и тй — перпепдикулярь<, опуп<енные на ось чг<у я продолженные до пересечения с линней узлов в точках В и <2.
Если Луна описывает радиусом, проведеяньп< к Земле, площади, пропорциональные времени, то часовое движение узла при эллиптической арбате будет пропорционально произведению площади рВ<ут на А2". Пусть РР касается круга в Р и по продолжении пересекает Ту<г в Р; рУ касается эллипса в р и по продолжении пересекает Тд<г в г; эти же касательные пересекаются между собою на оси Т9 в Х', пусть МВ представляет пространство, которое Луна, обращаясь по кругу, могла бы пройти поперечным своим движением под действием вышеупомянутой силы З,УТ иля ЗРК в продолжение времени описания дуги РМ; пусть т1 предсглвляет пространство, которое Луна прн своем обращения по эллипсу могла бы прайта под действием той же силы 3,1Т илв 3 РК; продолжив ВР и ур до их встречи с плоскостью эклиптики в точках 0 и д, проводим лгб и уд, из коях лгй по продолжении пересекает р~, яд и Тц' соответственно в с, е и В, прямая же Уд пересекает ТД в г.
Так как сила ЗЛТ или ЗРК для круга относится к силе 3 П' нлн ЗРК для эллипса, как РК я РК яли как АТ к пТ, то и прострэясгва МХ и я~~, Фяг. !еп проходимые под действием этих сил, будут в том же отношении РК к РК; вследствие подобия фигур РХКР и ГУВс, это отношение равно отношешно ГВ к сВ. Итак, Ш:яМ= РК:рК=гВ:сВ. Но, по подобию треугольников РХМ и РОР, по парзллельвости же прямых лй, РК, ОВ это последнее отношение равно р1:ре, которое, в свою очередь, по подобию треугольвнков рми, срс, равно Йи:сс; итак, МЬ: Рс) = йи: се.
(2) Из пропорций (1) и (2) следует РВ: сВ = Р а: сс. Поэтому, если бы имела место пропорция Уд: сс = уТ: с У = 1г: сВ (4) то так как Уг РВ уТ Рб уй: сВ = —, ВВ СЛ РУ сс то было бы и значит, тогда углы при Земле Т, стягиваемые линиями ф и Р6, были бы между собою равны. Но эти углы (по изложенному в предыдущем предложении) представляют перемещение узлов за то времн, пока Луна прошла бы по кругу дугу РМ и по эллипсу дугу рт, поэтому движение узлов для круга и для эллипса было бы одинаково. Это происходило бы тэк, если бы имела место пропорция (4) уд: сс = УУ: сУ т. е. было бы се уУ Ф =-=,',, па самом же деле, по подобию треугольников ядр и сер, ~д;сс =~р:см т. е. ! уд = значит и угол, стягиваемьж на самом деле линией уд, отяосится к углу.
стягиваемому ливией Хб, т. е. движение узлов для эллипса относится к их движению для круга, как это истинное значение уд к предыдущему. т,е. как се. ф се ° (У сУ что равно ф С У ср УУ УУ сн — 565— Пусть прямая РЬ, параллельная ТУ, пересекает .И' в 16 тогда будет ф> Х7ь с У Е'У УУ .ГУ ср Л'Р следовательно (р СУ У7~ ВР (У св РР Вр это же последнее отношение равно отношению площади Тфвму к ЮРЗЫ, а так как по следствию 1 предложения ХХХ площадь 1)РМ4.
АЯэ пропорциональна часовому движению узлов для круговой орбиты, то Юр~ид ° АЯ' пропорционально часовому движению узлов для орбиты эллиптической. Сждсшсие. Поэтому, прн данном по.шжевии узлов за то время, как Луна переходит от квадратуры до какого-либо положения ю, сумма всех площадок рЗми составит площадь жр()еЫ, ограниченную касательной ДЖ к эллипсу, сумма же всех этих площадок для целого оборота составит полную площадь эллипса; следовательно, среднее движение узлов для эллипса относится к среднему их движению для круга, как площадь эллипса к площади круга, т. е. как Та:ТЛ, иначе как 69:70.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
