Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.11. Действительная часть волновой функции частицы, падающей на прямоугольный барьер L = 6λ1 в случае E1 = 0,9U 0 (а) и E1 = 0,8U 0 (б).ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ128A3=A1p1 [ p1+ p2 ]Δ1p1 [ p1 − p2 ]eiϕ3 , A4 = A1Δ1eiϕ4 , A5 = A12 p1 p2 iϕ5e ,Δ1Δ1 = 2 2 p14 − 4mU 0 p12 + (mU 0 ) 2 − (mU 0 ) 2 cos [ 2 p2 L /tg ϕ2 = −tg ϕ3 = −p1 p2 ⋅ sin [ 2 p2 L /⎡ p12⎣]− mU 0 ⎤ (1 − cos [ 2 p2 L /⎦])],,[ p1 − p2 ]2 ⋅ sin [ 2 p2 L / ], ϕ4 = ϕ3 + 2 p2 L /[ p1 + p2 ]2 − [ p1 − p2 ]2 cos [ 2 p2 L / ],ϕ5 = ϕ3 + p2 L / .При туннелировании под барьером:ψ1 = A1 eгдеip1 x+ A2 eγ=A3 = A11−ip1 xγx, ψ 2 ( x ) = A3 e + A4 e2mU 0 − p12 , A2 = A12 p1mU 0 exp ( −γL )Δ II, ψ3 = A5 e2mU 0Sh ( γL )Δ IIeiϕ3 , A4 = A1A5 = A1−γ xip1( x− L )e iϕ 2 ,2 p1mU 0 exp ( γL )Δ IIe iϕ 4 ,2 p1γ iϕ5e ,Δ IIΔ II = −2 p14 + 4 p12 mU 0 − (mU 0 ) 2 + (mU 0 ) 2 Ch [ 2γL ] ,tg ϕ2 =− p1γ (1 + exp [ 2 γL /mU 0 (1 − exp [ 2 γL /]),])γ ⎡ mU 0 − (mU 0 − 2 p12 ) exp [ 2γL / ]⎤⎦ ,tg ϕ3 = ⎣2p1 ⎡ mU 0 + (3mU 0 − 2 p1 ) exp [ 2γL / ]⎤⎣⎦γ ⎡ 2 p12 − mU 0 + mU 0 exp ( 2 γL / ) ⎤⎦ , ϕ = ϕ + 3π .tg ϕ4 = ⎣5222p1 ⎡ 2 p1 − 3mU 0 − mU 0 exp ( 2γL / ) ⎤⎣⎦,Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле129Вопросы для самопроверки1.
Почему в области 3 длина волны такая же, как в области 1, аамплитуда меньше? (Ответ см. в вопросах задачи 4.2)2. Как изменяются волновые функции в областях 2 и 3 приувеличении разности U 0 − E1 ? (Ответ: см. рис. 4.11)3. Как изменяется Reψ при увеличении L? (Ответ: см.рис. 4.10).4.3. Дискретный энергетический спектрЗадача 4.4 (Бесконечно глубокая яма.
Дискретный спектр.)Часто в квантовой физике используется модель потенциальнойэнергии частицы в виде прямоугольной ямы конечной глубины.Нахождение собственных значений энергии и волновых функций вэтом случае громоздко и вынесено в приложение 4.1. Рассмотримпредельный случай. Частица находится вбесконечно глубокой потенциальной яме,причем потенциальная энергия равна нулю в области − a < x < a (рис. 4.12).
Найти волновые функции частицы и возможные значения энергии частицы. Массачастицы m.Решение. Стационарное уравнениеШредингера2d2Рис. 4.12. Схема одномер−ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = E ⋅ ψ ( x)2ной бесконечно глубокой2m dxпотенциальной ямы.в области − a < x < a , где U(x) = 0, принимает видd 2ψ+ k 2ψ = 0 ,(4.55)dxгде k = 2mE — модуль волнового вектора частицы.Ограниченное (финитное) движение в данной области характеризуется дискретным энергетическим спектром. Собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновыефункции находим, решая уравнения (4.55).2130ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение уравнения гармонических колебаний (4.55) можетбыть представлено в общем виде:ψ ( x ) = A cos kx + B sin kx .(4.56)На границах (в точках x = ± a ) волна де Бройля отражается отбарьера, как в задаче 4.2 (случай II).
Используя результаты задачи4.2 (II) и учитывая, что барьер бесконечно высокий ( U 0 → +∞ ),получаем γ >> p1 , а из (4.18) находим A3 = A1 и A2 → 0 .Так как частица не может выйти за пределы бесконечной ямы,то условия непрерывности волновой функции в точках x = ± aможно записать в видеψ(a) = 0 ,(4.57)ψ ( − a ) = 0.(4.58)Таким образом, в предельном случае U 0 → +∞ достаточновоспользоваться условием (4.57), считая ψ = 0 за барьером, и ненакладывать дополнительного условия на ∂ψ / ∂x на границах ямы.Подставляя в (4.57) и (4.58) волновую функцию (4.56), получаем систему уравненийA cos ka + B sin ka = 0 ,(4.59)A cos ka − B sin ka = 0 .(4.60)При решении системы (4.59) и (4.60) можно выделить два случая:1.
Если A ≠ 0 , а В = 0, то из уравнения cos ka = 0 следует, чтоволновые вектора могут принимать следующий дискретный рядзначений:πkn a = ( 2n + 1) , n = 0,1, 2,... ,(4.61)2когда на длине ямы 2а укладывается нечетное число (2n+1) длинполуволн λ/2. В этом случае волновая функция является четной:⎡ π(2n + 1) ⎤x⎥ .(4.62)ψ ÷ ( x ) = A cos ⎢⎣ 2a⎦Дискретные разрешенные значения энергии, соответствующиедискретным значениям волновых векторов:Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном полеEn =( kn ) 21 ⎛π ⎞=⎜ ⎟2m2m ⎝ 2 a ⎠2( 2n + 1)2 =13121 ⎛π ⎞ 2⎜ ⎟ j÷ ,2m ⎝ 2a ⎠(4.63)где j÷ = 2n + 1 , n = 0,1, 2,...2.
Если B ≠ 0 , а A = 0, то из уравнения sin ka = 0 следуетkn a =π( 2n + 2 ) , n = 0,1, 2,...2(4.64)то есть на длине ямы 2а укладывается четное число 2(n+1) длинполуволн λ/2. В этом случае волновая функция является нечетной:⎡ π(2n + 2) ⎤x⎥ .ψ í ÷ ( x ) = B sin ⎢⎣ 2a⎦(4.65)Разрешенные значения энергии:En =2 2π2ma 2( n + 1)21 ⎛π ⎞=⎜ ⎟2m ⎝ 2a ⎠2( 2n + 2 )221 ⎛π ⎞ 2=⎜ ⎟ jí ÷ ,2m ⎝ 2a ⎠(4.66)где jí ÷ = 2n + 2 , n = 0,1, 2,...Объединяя (4.63) и (4.66), получаем общую (как для четных,так и для нечетных волновых функций) формулу для энергетических уровней в бесконечно глубокой потенциальной яме:2Ej =1 ⎛π ⎞ 2⎜ ⎟ j .2m ⎝ 2a ⎠Первые три энергетических уровня E0ч , E0нч и E1ч и соответ-ствующие им волновые функции ψ0ч ( x ) , ψ0нч ( x ) и ψ1ч ( x ) (дляj 2 : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 , см. (4.63) и (4.66)), изображены нарис.
4.13.Для волновых функций дискретного спектра существует осцилляционная теорема, согласно которой функция ψ n ( x) , соответствующая (n+1)-му собственному значению энергии Еn, обращается в нуль n раз.132ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 4.13. Энергетические уровни и волновые функции (в фиксированный моментвремени) частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме в области − a ≤ x ≤ a .Волновая функция основного состояния с n = 0 (соответствующая первому собственному значению энергии) не имеет узлов(точек обращения в нуль).
Поэтому она не может быть нечетной⎡π ⎤ψ нч ( x ) = B sin ⎢ x ⎥ , а может быть только четной:⎣a ⎦⎡π ⎤ψ 0 ( x ) = A cos ⎢ x ⎥ .⎣ 2a ⎦21 ⎛π ⎞Энергия основного состояния равна E0 =⎜ ⎟ .2m ⎝ 2a ⎠21 ⎛π ⎞ 2⎜ ⎟ j ;2m ⎝ 2a ⎠для четных волновых функций (на длине ямы укладывается нечет⎡π j ⎤ное число j = jч = 2n + 1 полуволн) ψ ч ( x ) = A cos ⎢ ч x ⎥ ;⎣ 2a ⎦для нечетных волновых функций (на длине ямы укладывается чет⎡π j⎤ное число j = jнч = 2n + 2 полуволн) ψ нч ( x ) = B sin ⎢ нч x ⎥ ,⎣ 2a ⎦где n = 0,1, 2,... . Амплитуды А и В находятся из условия нормировки (найдите самостоятельно).Ответ. Энергия имеет дискретные значения E j =Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле133Приложение 4.1.
Дискретный энергетический спектрчастицы в потенциальной яме конечной глубины и шириныЗадача 4.5. Найти возможные значения энергии и волновыефункции частицы в потенциальной яме конечной глубины U 0 < 0 иширины 2а, изображенной на рис. 4.14, при отрицательных значениях полной механической энергии Е частицы: U 0 < E < 0 .
Расчет2m U 0 a / = 3,9 . Масса частицы m.провести в частном случаеРешение. Волновые функции, соответствующие дискретнойчасти спектра при U 0 < E < 0 в потенциальной яме U 0 < 0 конечной глубины, изображенной на рис. 4.14, определены в ограниченной области пространства.Внутри ямы ( − a < x < a ) стационарное уравнение Шредингераимеет вид (4.55)d 2ψ+ k 2ψ = 02dxи аналогичное (4.56) решение:ψ ( x ) = A cos kx + B sin kx , (4.67)гдеk = + 2m ( E − U 0 ) /Рис.
4.14. Одномерная потенциальная яма конечной глубины.2. (4.68)Вне ямы ( x < − a и x > a ) стационарное уравнение Шредингераd 2ψdx2− γ 2ψ = 0(4.69)имеет решениеψ = C e −γx при x > a ,(4.70)ψ = D e γx при x < − a ,(4.71)игдеγ = + −2mE /2.(4.72)Из условия непрерывности функций ψ ( x ) (4.56), (4.70), (4.71)и их производных ∂ψ ( x ) / ∂x в точках x = ± a получаем134ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХпри x = aA cos ka + B sin ka = C e − aγ ,(4.73)−kA sin ka + kB cos ka = −γC e− aγ ;(4.74)A cos ka − B sin ka = D e− aγ ,(4.75)kA sin ka + kB cos ka = γD e − aγ .(4.76)при x = −aПреобразовав попарно уравнения (4.73), (4.75) и (4.74), (4.76),приходим к следующей системе уравнений:2 A cos ka = ( C + D ) exp ( −γa )(4.77)2kA sin ka = γ ( C + D ) exp ( −γa )(4.78)2 B sin ka = ( C − D ) exp ( −γa )(4.79)2kB cos ka = −γ ( C − D ) exp ( −γa )(4.80)Введем безразмерные энергетические параметры: ξ = ak иη = γa . Если возвести в квадрат и сложить уравнения (4.68) и(4.72), определяющие k и γ, то получимξ2 + η2 =2m U 0 a 22.(4.81)По условию задачи ξ2 + η2 = 2m U 0 a 2 2 = 3,92 = 15,21 .При решении системы (4.77)–(4.80) выделяем два случая.Если A ≠ 0, B = 0, C = D , то решение четное (см.
(4.67)). Первые два уравнения системы (4.77)–(4.80) принимают видCexp ( −η) ,AηCsin ξ =exp ( −η) .ξAcos ξ =(4.82)(4.83)Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле135Преобразуем систему (4.82), (4.83): 1) возведем в квадрат обауравнения и сложим и 2) разделим уравнения друг на друга. В результате получаем систему:ξξ ηC = ±Aeη = ± Ae ,(4.84)3,9ξ2 + η2tgξ = η / ξ .(4.85)Волновая функция ψ ч ( x ) четного решения (см.(4.67)–(4.72)) сучетом (4.84):при − a < x < aψ ÷ ( x ) = A cos(ξx / a) ;(4.86)при x < − aξξ η( x / a +1)e η( x / a +1) = ± Ae; (4.87)ψ ч ( x ) = D e γx = ± A223,9ξ +ηпри x > aψ ч ( x ) = C e −γx = ± Aξξ2 + η2e −η( x / a −1) = ± Aξ −η( x / a −1)e.
(4.88)3,9Знаки в (4.87) и (4.88) выбираются так, чтобы волновая функция была непрерывна в точках х = а и х = –а.Итак, для нахождения значений ξ и η четного решения имеемсистему уравнений (4.81) и (4.85):2⎧22 2m U 0 a⎪ξ + η =,2(4.89)⎨⎪⎩η = ξ tg ξ.Система (4.89) не решается аналитически в явном виде, но еерешение можно наглядно проанализировать графически (рис. 4.15).Первому уравнению системы (4.89) соответствует кривая наплоскости ( ξ, η ) , представляющая собой четверть окружности срадиусом2m U 0 a . Кривые, соответствующие второму уравнению η = ξ tg ξ , пересекают ось абсцисс в точках 0, π, 2π, 3π….ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ136Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
