Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. различных состояний электрона.Орбитали с различными l = 0, 1, 2, …, n − 1 обозначаются буквамиs, p, d, f, и т. д соответственно.98ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХВ квантовой механике допускается одновременное заданиемодуля момента импульса и его проекции на выделенное направление (обычно принимается направление оси oz). Проекция момента импульса на это направление квантована LAz = =m , где m — магнитное квантовое число, которое может принимать целочисленные значения в интервале − A ≤ m ≤ + A . Магнитное квантовое числоопределяет пространственную ориентацию вектора момента импульса и, тем самым, пространственное распределение электронной плотности.Волновая функция Ψ nAm ( r, θ, ϕ ) = RnA ( r ) ⋅ YAm ( θ, ϕ ) , характеризуемая квантовыми числами n, A и m, называется атомной орбиталью.
Если волновая функция учитывает также и направлениеспина, то есть описывается четырьмя квантовыми числами n, A , m,s, то она называется спин-орбиталью. Каждой атомной орбиталисоответствуют две спин-орбитали.Квантовое состояние электрона задается набором всех квантовых чисел n, A , m, s, включая и спиновое число s. Согласнопринципу Паули, на одной атомной спин-орбитали может находиться не более одного электрона. Если на атомной орбитали находятся два электрона, то спины их антипараллельны.
Такие электроны называются спаренными, а атомная орбиталь, на которой онинаходятся, — заполненной.Если на атомной орбитали находится один электрон, то он называется неспаренным. Атомная орбиталь называется незаполненной или вакантной, если на ней нет ни одного электрона.Совокупность электронов, занимающих орбитали с одним итем же значением главного квантового числа, называется электронным слоем.В атоме водорода энергия состояний с одним и тем же главным квантовым числом n, но разными орбитальными квантовымичислами, соответствующими s, p, d, f… состояниям, одинаковая Еn(рис.
3.1).Приложение 3.2. Ридберговские атомыЗаслуживает внимания тот факт, что дискретность спектранаиболее сильно выражена при небольших n. При больших n уровни сильно возбужденных состояний расположены достаточноГл. 3. Энергетические спектры атомов и молекул99близко друг к другу.
Возбужденный атом с большим квантовымчислом n называется ридбергевским атомом.Из (3.7) следует, что размер ридберговского атома при n = 1000составляет ~ 5⋅10 –2 мм (!), то есть атом становится макроскопическим.Для основного состояния атома (n = 1) энергия Е1 = 13,6 эВ,для ридберговского атома с n = 1 000 − Е1 000 ~ 10–5 эВ. Это оченьмаленькая величина, соответствующая энергии теплового движения kBТ при ~ 0,3 К.Расстояние между соседними энергетическими уровнямиΔEn =R∞n2–R∞( n + 1)2≈2 R∞n3(3.55)при n = 1000 составляет ΔЕ1000 ~ 10–8 эВ.
Этой энергии соответствует частота ~ 106 Гц. Таким образом, переходы между энергетическими уровнями происходят при поглощении и излучении квантовэнергии мегагерцового диапазона.Период обращения П электрона вокруг ядра в модели БораПn = П1⋅n3в основном состоянии составляет П1 ≈ 10–16 с, при n = 1000 −П1 000 ≈ 10–7 с. Оценивая скорость электрона на орбите, получаем:vn = v1⋅n–1,v1 ~ 10 6 м/с, v1 000 ~ 10 3 м/с.Естественное время жизни электрона в возбужденном состоянии равноτn = τ1⋅n3.Здесь τ1 ~ 10–8 с — естественное время жизни электрона в атомеводорода в основном состоянии.
Для ридберговского атома приn = 1000 оно составляет τ1 000 ~ 10 с (!). Физической причиной увеличения времени жизни электрона в возбужденном состоянии является уменьшение энергии его связи с ядром.100ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 3.11. Сферическое распределение плотности ρ(r) s-электронов в ридберговском атоме, n− главное квантовое число, аВ − боровскийрадиус. Ширина сферического слоя составляетвеличину порядка naB, что соответствует значению электронной плотности на границахслоя равному половине от максимальной величины при r = n2aB.При увеличении n форма электронного облака в s-состояниитрансформируется.
Для орбит с радиусом n2aB электронная плотность сосредоточена в узком сферическом слое толщиной n aB.В основной части внутреннего объема атома электронная плотность пренебрежимо мала. Ридберговский атом напоминает резиновый мяч (рис. 3.11).Приложение 3.3. Многофотонные процессы возбужденияРанее были рассмотрены такие процессы взаимодействия светас веществом, как фотоэффект — процесс выхода электрона с поверхности металла, фотовозбуждение атома (или молекулы) — переход атома (или молекулы) в возбужденное состояние, а такжепроцессы, сопровождающиеся излучением фотонов при переходеиз возбужденного состояния в основное. В каждом акте таких процессов участвовал один фотон — это так называемые однофотонные процессы.
Однако квантовая механика не запрещает и многофотонные процессы, наблюдение которых стало возможно посленачала использования интенсивного лазерного излучения.Например, для внешнего фотоэффекта существует краснаяграница, определяющая минимальную частоту фотона ω A при которой наблюдается эффект: =ω A = ΔAвых . А может ли наблюдатьсяэффект при поглощении двух фотонов, например, с энергиейГл. 3.
Энергетические спектры атомов и молекул101=ω A / 2 , суммарная энергия которых соответствует фотону накрасной границе?Допустим, фотон с частотой =ω1 = =ω A / 2 поглотился. Возбужденное состояние, в которое перешел атом, называется виртуальным состоянием. Согласно принципу неопределенностиδE ⋅ δt ~ = это состояние может существовать в течение времени==2δt ~==.δE =ω A / 2 ω AПоскольку работа выхода составляет несколько электрон=вольт, то время очень мало: δt ~~ 10−16 c , оно в 108 меньΔAвых / 2ше характерного времени жизни атома в реальном возбужденномсостоянии.
Если в течение этого времени успевает поглотитьсявторой фотон с такой же энергией, то электрон, преодолевая потенциальный барьер, выходит из металла. Таким образом, многофотонный процесс представляет собой ряд последовательных переходов электрона по виртуальным состояниям.Кроме рассмотренной модели двухфотонной ионизации атома,возможны также многофотонные процессы возбуждения атомов,при которых электрон в атоме переходит из начального невозбужденного состояния в реальное возбужденное состояние через последовательность виртуальных состояний.Многофотонные процессы возможны при экстремально большой интенсивности излучения, когда среднее время между последовательными столкновениями фотонов с атомом меньше временижизни электрона в виртуальном состоянии.Задачи для самостоятельного решенияЗадача D3.1. Двухатомная молекула состоит из двух одинаковыхатомов.
Расстояние между атомами в молекуле d = 189 пм. Молекула находится на первом вращательном энергетическом уровне иимеет угловую скорость ω = 2,63·1011 рад/с. Найти массу молекулыи определить, из каких атомов она состоит.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ102Ответ: m =4 2=ωd 2≈ 38 а.е.м. Молекулу составляют атомыфтора.Задача D3.2. Найти разность энергий между третьим и вторымвращательными энергетическими уровнями молекулы бромистоговодорода HBr. Расстояние между атомами в молекуле d = 141,4 пм.Молярная масса брома МBr = 79,9 г/моль.Ответ.
ΔE = EA −EA −1==22μdA( A+ 1) − (A− 1)A] =2[= 0,92 ⋅ 10−21 Дж = 5,75мэВ , где μ =A= 2 mH + mBr=d 2 mH mBrmH mBr– приведенная массаmH + mBrмолекулы.Задача D3.3. Энергия вращательного движения молекулы хлора на некотором уровне возбуждения равна EA = 2,7 мэВ .
Ковалентный радиус хлора (половина расстояния между ядрами двухr = 99 пм,молярнаямассаатомноймолекулы)равенMCl = 34,5 г/моль. Найти механический момент импульса молекулы.Ответ: M A = 2 r mCl EA = 9,87Дж ⋅ с ≈ 9,4= .Задача D3.4. Рассчитать интервал частот между соседнимиспектральными линиями двухатомной молекулы йода, предполагая, что все степени свободы данной молекулы – вращательные.Молярная масса атома йода (I) равна M I = 126,9 г/моль, ковалентный радиус r = 133 пм.==NОтвет: Δω = ωA +1,A − ωA,A −1 = 2 = 2 A = 7,07 ⋅ 109 рад/с .2r M IμdЗадача D3.5. Интервал между соседними спектральными линиями вращательного спектра хлороводорода (HCl) равенΔω = 3 ⋅ 1012 рад/с. Молярная масса хлора МCl = 35,5 г/моль.
Найтимомент инерции J молекулы HCl и расстояние d между атомами.Гл. 3. Энергетические спектры атомов и молекулОтвет. J === 3,5 ⋅ 10−47 кг ⋅ м 2 , d =Δω103J=μ= mCl + mH⋅≈Δω mCl mH≈ 150пм .Задача D3.6. Собственная частота гармонических колебаниймолекулы HCl равна ω0 = 5,6·1014 рад/с. Среднее расстояние междуатомами d = 127,5 пм. Оценить число энергетических уровней вращательного спектра молекулы, расположенных между первымn1 = 1 и вторым n2 = 2 энергетическими уровнями ее колебательногоспектра.
Молярная масса хлора MCl = 35,5 г/мольОтвет. Изгде μ =5=23=2иω==ω0 =AA=A1 (A1 + 1) ,+(1)220222μd 22μd 2μd 2 ω0mH mCl( 5 − 3) ≈ 6 .следует ΔA = A 2 − A1 ≈mH + mCl=Задача D3.7. Считая расстояние между атомами в молекуле F2неизменным и равным d = 141,2 пм, оценить, сколько линий содержит вращательный спектр молекул, частота вращения которыхω = 1,72·1014 рад/с. Молярная масса фтора МF = 19 г/моль.211 ⎡ mF d 2 ω ⎤M Fd 2ωОтвет: A = − ++⎢≈≈ 540 .⎥24 ⎢⎣ 2= ⎥⎦2 N A=ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ104Глава 4СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫВ ОДНОМЕРНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ§4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
