Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ницах длины волны частицы, падаюПоэтому в этой области ре- щей на барьер из области x → −∞шение запишем в общем виде, при E1 > U 0 (б).как сумму падающей волны⎡ p x⎤ψ1′ = A1 exp ⎢i 1 ⎥ (4.6) с амплитудой A1 и отраженной волны⎣⎦⎡ p x⎤ψ1′′ = A3 exp ⎢ −i 1 ⎥ с амплитудой A3 :⎣⎦ψ1 = A1 eip1x+ A3 e−ip1x,(4.7)где p1 = 2mE1 .Обратим внимание на то, что амплитуда А3, в общем случае –комплексная величина.В области 2 решение уравнения Шредингера110ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ2∂2ψ ( x ) + E − U 0 ψ ( x) = 02m ∂x 2может иметь вид только прошедшей волы с амплитудой A2 :ψ 2 = A2 eip2 x.(4.8)Импульс частицы р2 в области 2 находится из закона сохранения механической энергии частицы E1 = E2 + U 0 , где Е2 – кинетическая энергия частицы в области 2.
Получаемp2 = 2mE2 = 2m ( E1 − U 0 ) .(4.9)На границе областей используем условия непрерывности волновой функции ψ ( x ) (а следовательно, непрерывности плотностивероятности ρ ) и ее производной ∂ψ / ∂x :⎧ ψ1 ( 0 ) = ψ 2 ( 0 ) ,⎪∂ψ 2⎨ ∂ψ1=.⎪ ∂x∂x x = 0x =0⎩(4.10)Подставляя (4.8) и (4.9) в систему (4.10), получаемA1 + A3 = A2 ,⎧⎨⎩ p1 A1 − p1 A3 = p2 A2 .(4.11)Решая систему (4.11), находим2 A1p − p2A2 =A3 = A1 1,.p1 + p21 + p2 / p1(4.12)Зная амплитуды (4.12), можно записать волновую функцию вобласти 1:ψ1 ( x ) = A1 eip1x+ A1p1 − p2 −iep1 + p2p1xи в области 2:i2 A1ψ2 =e1 + p2 / p1p2 x.Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле111Используя для р2 выражение (4.9), окончательно получаемψ1 ( x ) = A1 eψ2 =ip1x+ A11 − 1 − 2mU 0 / p121 + 1 − 2mU 0 / p122 A11 + 1 − 2mU 0 / p12eei p12 − 2 mU 0 x /−ip1x,.ψ1′′ ,Действительные части волновых функцийψ1′ ,ψ1 = ψ1′ + ψ1′′ и ψ 2 представлены на рис.
4.1 б. Расчет проводилсяпри A1 = 1 , p1 / = 1 и E1 = 1,1U 0 .Обратим внимание на то, что падающая волна ψ1′ расщепляется на прошедшую ψ 2 и отраженную ψ1′′ волны. Появление в области 1 отраженной волны ψ1′′ называется надбарьерным отражением и представляет собой чисто квантовое явление.Приведем один пример надбарьерного отражения.Рассмотрим неупорядоченный, легированный донорами полупроводник (см.
ниже задачу 10.5). Донор — это атом вещества наединицу большей валентности, чем атом исходного полупроводника (матрицы), в котором он занимает место атома матрицы. Ионамидонорной примеси создаются потенциальные ямы для электронов.Свободный электрон, находящийся в зоне проводимости, движетсянад потенциальными ямами. От каждой потенциальной ямы образуется надбарьерная отраженная волна. Если отраженные от разных ям волны будут интерферировать, то отраженная волна можетстать по интенсивности сравнима с падающей. Это означает, чтовозникает столь значительное отражение, что электрон локализуется в некоторой области полупроводника и уже не сможет принимать участие, например, в электропроводности.Вопросы для самопроверки1. Почему длина волны частицы в области 2 больше, чем в области 1 (см.
рис. 4.1)?2. Как отличаются действительные части волновых функций поамплитуде и длине волны для частиц с энергией E1 = 1,1 U 0 иE1 = 1,2 U 0 ?112ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХОтветы на вопросы1. Длина волны в области 2 больше, чем в области 1, так как вобласти 2 появляется потенциальная энергия U 0 > 0 , и по законусохранения полной механической энергии кинетическая энергияуменьшается, а, следовательно, уменьшается импульс и возрастаетдлина волны.2. На рис. 4.2 приведены действительные части волновыхфункций, вычисленные при A1 = 1 и p1 / = 1 в двух случаях:E1 = 1,1U 0 (а) и E1 = 1, 2U 0 (б).
Чем выше ступенька (меньше отношение E1 / U 0 ), тем сильнее надбарьерное отражение, больше амплитуда отраженной волны и меньше амплитуда волны, прошедшей во вторую область, а также больше длина волны (см. п.1).Рис. 4.2. Сравнение Re ψ ( x / λ1 ) при движении частицы к барьеру – ступенькеразной высоты (разном отношении E1 / U 0 ). При расчетах полагалось A1 = 1 ,p1 / = 1 , E1 = 1,1 U 0 (а) и E1 = 1,2U 0 (б).Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле113Случай II. Энергия частицы Е1 меньше высоты «ступеньки» E1 < U 0 (рис. 4.3 а).Аналогично предыдущемуслучаю в области 1 решениюуравнения Шредингера2∂2ψ ( x ) + Eψ ( x) = 02m ∂x 2соответствуетсуперпозицияпадающей волны ψ1′ с амплитудой A1 и отраженной волныψ1′′ с амплитудой A3 :Рис.
4.3. а — «Ступенька» потенциψ1 = A1 eip1x+ A3 e−ip1xальной энергии частицы; б — дейст-,.(4.13) вительные части волновых функций(4.13) и (4.15) в зависимости откоординаты х в единицах длиныгде p1 = 2mE1 .волны частицы, падающей на барьерРешением уравнения Шре- из области x → −∞ при E < U .10дингера2∂2ψ ( x ) − E − U 0 ψ ( x) = 0(4.14)2m ∂x 2в области 2, когда вторая производная волновой функции равнасамой функции, является экспоненциально убывающая волноваяфункцияψ 2 = A2 e−γ x ,(4.15)1где γ =2m (U 0 − E1 ) .Второе возможное решение ψ 2 = A2 e+γ x уравнения (4.14) нерассматривается, так как волновая функция везде должна быть конечной.На границе областей используем условия непрерывности для ψи для d ψ / dx :ψ1 (0) = ψ 2 (0) ианалогичные (4.10).∂ψ1∂x=x =0∂ψ 2∂x,x =0(4.16)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ114Подставляя функции (4.13) и (4.15) в систему (4.16), получаем⎧ A1 + A3 = A2 ,⎪⎨− A + A = i γ A .32⎪ 1p1⎩(4.17)Решение системы (4.17):2 A1p − iγA2 =, A3 = A1 1.p1 + i γ1 + i γ / p1Используязаписькомплексногочисла(4.18)ввидеa + ib = a + b exp [i arctg(b / a )] , преобразуем соотношения (4.18),выделяя фазу:2 A12 A1=(4.19)A2 =e −iϕ1 ,1 + i γ / p11 + ( γ / p1 ) 222p1 − i γ= A1 e −iϕ2 ,(4.20)p1 + i γ2p γ12mU 0 − p12 .где tgϕ1 =γ / p1 , tgϕ2 = 2 1 2 , γ =p1 − ( γ )На рис.
4.3 б изображены волновые функции ψ1′ , ψ1′′ ,ψ1 = ψ1′ + ψ1′′ и ψ 2 . При расчетах полагалось A1 = 1 , p1 / = 1 ,E1 = 0,9 U 0 .Во-первых, обратим внимание на то, что амплитуда отраженной волны ψ1′′ равна амплитуде падающей волны ψ1′ : A3 = A1(4.20), т. е. плотности потока вероятности (см. ниже, гл. 5) в падающей, и в отраженной волнах одинаковые.
Фаза отраженнойволны относительно падающей не равна нулю: ϕ2 ≠ 0 , то есть приотражении от барьера происходит сдвиг фазы.Во-вторых, поскольку ψ 2 ≠ 0 , то можно говорить о проникновении частицы в область 2. Определим глубину проникновения вобласть 2 как расстояние, на котором амплитуда ψ 2 убывает в ераз.
Используя (4.15), глубину проникновения получаем равнойA3 = A1γ −1 =2m (U 0 − E1 )=2mU 0 − p12.(4.21)Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле115В этом принципиальное отличие поведения квантовой частицыот классической частицы, которая не может оказаться в области,где U > Е1, так как в этой области ее кинетическая энергия должнастать (по закону сохранения энергии) отрицательной:E2 = E1 − U 0 < 0 . В квантовой механике, в силу соотношения неопределенностей, при локализации частицы в некоторой точке онаперестает характеризоваться определенной кинетической энергией.Глубина проникновения γ–1 тем больше, чем ближе значение Е1к U 0 (см. рис. 4.4).
На больших х >> λ прошедшая волна практически отсутствует.Рис. 4.4. Действительная часть волновой функции в зависимости от координаты хв единицах длины волны частицы, падающей на потенциальный барьер в видеступеньки из области x → −∞ при E1 < U 0 . При компьютерном расчете полагалось A1 = 1 , p1кривая).= 1 , E1 = 0,9 U 0 (сплошная кривая) E1 = 0,95 U 0 (пунктирнаяПоскольку | A3 |=| A1 | , то можно сделать вывод, что в случаеE1 > U 0 происходит полное отражение падающей волны от ступеньки.Итак, волновая функция в области 1 имеет вид:ψ1 ( x ) = A1 eip1x / + A1 e−i ( p1x /+ϕ2 ),а в области 2:ψ 2 ( x) =где γ =12m(U 0 − E1 ) =12 A11 + ( γ / p1 )2e−γ x −iϕ1 ,2mU 0 − p12 , tgϕ1 =γ2p γ, tgϕ2 = 2 1 2 .p1p1 −( γ )116ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХОтвет.
В случае I:при x < 0 ψ1 ( x ) = A1 eпри x > 0 ψ 2 ( x ) =ip1xp − p2 −i+ A1 1ep1 + p2i2 A1e1 + p2 / p1p1x,p2 xp12 − 2mU 0 ., где p2 =В случае II: при x < 0 ψ1 ( x ) = A1 eip1x / + A1 e −i ( p1x /при x > 0 ψ 2 ( x) =tgϕ1 =γ / p1 , tgϕ2 =2 A11 + ( γ / p1 )2 p1γp122e −γ x −iϕ1 , где γ =1+ϕ2 ),2mU 0 − p12 ,.− ( γ )2Задача 4.3. (Прямоугольный барьер. Непрерывный спектр.)Изменение потенциальной энергии частицы вдоль оси ОХ имеетвид прямоугольного потенциального барьера, высота которого U0,ширина L (рис. 4.5). Частица,движущаяся к барьеру (падающая на барьер) из областиx → −∞ , имеет импульс р1, амплитуду волновой функции А1 имассу m. Найти волновую функцию частицы.Решение. Рассмотрим, аналогично предыдущей задаче 4.2,Рис.
4.5. Прямоугольный потенциальный барьер имеет высоту U0.два случая: I) кинетическая энерКинетическая энергия Е1 частицы,гия падающей на барьер частицылетящей из области x → −∞ больбольше высоты барьера, т.е.ше высоты барьера: E1 > U 0 .E1 > U 0 и II) E1 < U 0 .Случай I. E1 > U 0 (рис. 4.5).В области 1 ( x < 0 ) решение уравнения Шредингера, как и взадаче 4.2, представляет собой суперпозицию падающей волны ψ1′с амплитудой A1 и отраженной волны ψ1′′ с амплитудой A2 :ψ1 = ψ1′ + ψ1′′ = A1 eip1x+ A2 e−ip1x,p1 = 2mE1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
