Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Одномерный гармонический осциллятор — частица, имеющая положение устойчивого равновесия, из которого онаможет отклоняться в обе стороны вдоль оси ОХ под действием упругой силы, коэффициент упругости которой равен β. Масса частицы m. Найти допустимые значения энергии и волновые функциичастицы (квантового гармонического осциллятора).Решение. Круговая частота осциллятора ω = β / m . Потенциальнаяэнергиячастицы222βxmω xU ( x) ==(рис. 4.20).22Полная механическая энергия гармоp 2 mω2 x 2нического осциллятора+.2m2Для квантового осциллятора записываем функцию Гамильтонаpˆ 2 mω2 x 2+2m2и уравнение ШредингераĤ =(4.122)Рис.
4.20. Потенциальнаяэнергия U ( x ) гармонического осциллятора.2∂∂2mω2 x 2Ψ=−Ψ+Ψ.(4.123)i ∂t2m ∂x 22Состояния гармонического осциллятора дискретные, как и уквантовой частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. задачу 4.4). Решение квантовой задачисводится, таким образом, к отысканию собственных функций оператора Ĥ , то есть решений уравнения−Ĥψ n ( x ) = En ⋅ ψ n ( x ) ,(4.124)ограниченных при x → ±∞ . Собственные значения энергии { En }образуют энергетический спектр осциллятора.Для удобства решения введем операторы â и aˆ †1 ⎛ mωipˆ ⎞ 1 ⎛ mω∂ ⎞aˆ =(4.125)++⎜x⎟=⎜x⎟,mω ∂x ⎠2⎝m ω⎠2⎝ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ1461 ⎛ mωipˆ ⎞ 1 ⎛ mω∂ ⎞(4.126)−−⎜x⎟=⎜x⎟.mω ∂x ⎠2⎝m ω⎠2⎝Эти операторы обладают свойством, выражающимся уравнениемaˆ † =aaˆ ˆ † − aˆ †aˆ = 1 .В этом случае оператор Гамильтона принимает вид:ˆ = ω ⎛ aˆ † aˆ + 1 ⎞ .H⎜⎟2⎠⎝(4.127)(4.128)Функция⎛ mω 2 ⎞x ⎟ψ 0 ( x ) = A0 exp ⎜ −⎝ 2⎠удовлетворяет уравнениюaˆ ψ 0 ( x ) = 0 ,(4.129)(4.130)A ⎛ mω∂ ⎞⎛ mω 2 ⎞так как aˆψ 0 ( x) = 0 ⎜⎜ xx ⎟=0.+⎟ exp ⎜ −⎟mω ∂x ⎠2⎝⎝ 2⎠Функция (4.129) является собственной функцией оператораГамильтона Ĥ (4.128).
Энергия данного состояния ω 2 . Действительноˆ ψ ( x ) = ω ⎛ aˆ † aˆ + 1 ⎞ ψ ( x ) = 1 ω ⋅ ψ ( x) ,H00⎜⎟ 02⎠2⎝иE0 = ω / 2 .(4.131)Состояние с энергией E0 = ω / 2 – основное состояние осциллятора. В этом состоянии осциллятор обладает минимальной энергией, соответствующей знаку равенства в соотношении неопределенностей.Меньшие значения энергии осциллятора невозможны в соответствии с соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Действительно, полная механическая энергия ω / 2 гармонического осциллятора равна максимальному значению потенциальной энергии2βxm/ 2 = ω / 2 и максимальному значению кинетической энергии2pm/(2m) = ω / 2 .
Величину xm можно рассматривать как неопределенность координаты xm = δx , а pm — как неопределенностьГл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле147импульса pm = δp . Тогда для произведения получаем соотношениенеопределенностей:ωmδx ⋅ δp = m ω= ω= .ββВолновые функции ψ n ( x ) состояний с номерами n > 0 получаются n-кратным действием оператора ↠на волновую функциюψ 0 ( x) основного состояния:( )ψ n ( x ) = aˆ †aˆ † … aˆ † ψ 0 ( x ) ≡ aˆ †nnψ0 ( x ) .Функция первого состоянияψ1 ( x ) = aˆ †ψ 0 ( x )(4.132)(4.133)3ω .
Действи2тельно, действуя оператором Гамильтона (4.128) на волновуюфункцию (4.133)1 ˆ1⎤1⎤1 ⎤⎡⎡⎡ˆ ˆ † + aˆ † ⎥ ψ 0Hψ1 = ⎢ aˆ † aˆ + ⎥ ψ1 = ⎢ aˆ † aˆ + ⎥ aˆ †ψ 0 = ⎢ aˆ † aaω2⎦2⎦2 ⎦⎣⎣⎣является собственной функцией с энергией E1 =ˆˆ† − aˆ†aˆ = 1 (4.127) и aˆ ψ 0 ( x ) = 0 (4.130), полуи учитывая, что aaчаем1 ˆ1 ⎤1 ⎤⎡⎡ˆ ˆ † + aˆ † ⎥ ψ 0 = ⎢ aˆ † (1 + aˆ † aˆ ) + aˆ † ⎥ ψ 0 =Hψ1 = ⎢ aˆ † aaω2 ⎦2 ⎦⎣⎣33(4.134)= aˆ †ψ 0 = ψ1.22Докажем с использованием метода математической индукции,что волновая функция ψ n ( x) является собственной функцией состояния с энергией En = ω( n + 1/ 2) .Уже было показано, что для n = 011Ĥψ 0 = ψ 0 .ω2Теперь, пусть для некоторого n > 0 справедливо равенствоВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ14811⎞⎛Ĥψ n = ⎜ n + ⎟ ψ n ,ω2⎠⎝то есть1 ˆ1⎞1⎞⎛⎛Hψ n = ⎜ aˆ †aˆ + ⎟ ψ n = ⎜ n + ⎟ ψ n .ω2⎠2⎠⎝⎝Покажем, что оно верно и для n + 1 :11⎞⎛Ĥψ n +1 = ⎜ n + 1 + ⎟ ψ n +1 .ω2⎠⎝(4.135)(4.136)Действительно, поскольку ψ n+1 = aˆ † ψ n , то1 ˆ1⎞⎛Hψ n+1 = ⎜ aˆ † aˆ + ⎟ aˆ †ψ n .ω2⎠⎝(4.137)Преобразуем правую часть, используя (4.127) и (4.135):1 ⎞⎛ ˆ† ˆ 1 ⎞ ˆ†⎛ † ˆ ˆ† 1 ˆ† ⎞⎛+ a ⎟ ψ n = ⎜ aˆ † (1 + aˆ †aˆ ) + aˆ † ⎟ ψ n =⎜ a a + ⎟ a ψ n = ⎜ aˆ aa222 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝1⎞1⎞⎡ ⎛⎤⎛= ⎢ aˆ † ⎜ aˆ †aˆ + ⎟ + aˆ † ⎥ ψ n = aˆ † ( n + 1 / 2)ψ n + aˆ †ψ n = ⎜ n + 1 + ⎟ ψ n +1 .2⎠2⎠⎝⎣ ⎝⎦(4.138)Подставляя (4.138) в уравнение (4.137), окончательно получаем1Ĥψ n+1 = ( n + 1 + 1/ 2 ) ψ n +1 ,ω(4.139)что и требовалось доказать.Таким образом, функцииψ n ( x ) = Ann∂ ⎞1 ⎛ mω⎛ mω 2 ⎞−x ⎟⎜⎜ x⎟⎟ exp ⎜ −mω ∂x ⎠⎝ 2⎠2n ⎝(4.140)являются собственными функциями оператора Гамильтона Ĥ гармонического осциллятора с собственными значениями энергии1⎞⎛En = ω ⎜ n + ⎟ , при n = 0, 1, 2,…(4.141)2⎠⎝Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле149Рис.
4.21. Потенциальная энергия U0(x) гармонического осциллятора, три уровняэнергии E0 = ω / 2 , E1 = 3 ω / 2 , E2 = 5 ω / 2 и волновые функции ψ0 ( x ) ,ψ1 ( x ) и ψ 2 ( x ) в состояниях с указанными энергиями.На рис. 4.21 изображены зависимости (от безразмерного параметра x mω / ) потенциальной энергии частицы U ( x) и волновых функций в трех состояниях с энергиями E0 = ω / 2 ,E1 = 3 ω / 2 и E2 = 5 ω / 2 соответственно:⎛ mω 2 ⎞x ⎟,ψ 0 ( x ) = A0 exp ⎜ −⎝ 2⎠A ⎛ mω∂ ⎞⎛ mω 2 ⎞ψ1 ( x ) = aˆ †ψ 0 ( x ) = 0 ⎜ x−x ⎟=⎟ exp ⎜ −mω ∂x ⎠2⎝⎝ 2⎠= A02⎛ mω 2 ⎞⋅ x exp ⎜ −x ⎟,mω⎝ 2⎠ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ150ψ 2 ( x ) = aˆ †ψ1 ( x ) = A0En = ω ( n + 1 2 ) ,Ответ.ψ n ( x ) = An⎛ mω∂ ⎞⎛ mω 2 ⎞−x ⎟=⎜x⎟ x exp ⎜ −mω ⎝mω ∂x ⎠⎝ 2⎠⎡⎤⎛ mω 2 ⎞exp ⎜ −= A0 ⎢ 2 x 2 −x ⎟.⎥mω ⎦⎣⎝ 2⎠приn = 0, 1, 2,… ,n∂ ⎞1 ⎛ mω⎛ mω 2 ⎞−x ⎟⎜⎜ x⎟⎟ exp ⎜ −mω ∂x ⎠⎝ 2⎠2n ⎝Задачи для самостоятельного решенияЗадача D4.1.
Получить выражение для волны де Бройля частицы, используя одномерное нестационарное уравнение Шредингера.⎡ i ⎛ p2⎞⎤Ответ. ψ ( x, t ) = A exp ⎢ − ⎜t − px ⎟ ⎥ .⎟⎥⎢⎣ ⎜⎝ 2m⎠⎦Задача D4.2. Электрон находится в одномерной бесконечноглубокой потенциальной яме. Разность энергий электрона на первом ( j1 = 1 ) или на пятом ( j2 = 5 ) энергетических уровнях составляет ΔE = 5эВ . Определить ширину ямы.Ответ.j22 − j12= 1,1 ⋅ 10−9 м .2 mΔE=πЗадача 4.3.
Электрон находится в основном состоянии в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной 2a( −a < x < a ) . Рассчитать вероятность w обнаружения частицы в области − a < x < − a / 3 .− a /3Ответ. w =∫−aψ 2ч ( x ) dx =− a /3∫−a113⎡π ⎤cos 2 ⎢ x ⎥ dx = −≈ 0, 2 .a3 4π⎣ 2a ⎦Задача D4.4. Максимальное значение плотности вероятностидля частицы, находящейся в основном состоянии в одномернойГл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле151бесконечно глубокой потенциальной яме равно wmax .
Определитьэнергию частицы Е и ширину ямы 2 a . Масса частицы m .Ответ. E =(πwmax )8m2; 2a =2wmax.Задача D4.5. Частица массой m находится в одномерной полубесконечной потенциальной яме, глубина которой равна U 0 , аширина a . При каком соотношении глубины и ширины ямы будутсуществовать три дискретных энергетических уровня?Ответ.2m U 0 a / > 5π / 2 , то есть U 0 a 2 >25π28m2.Задача D4.6. Частица массой m находится в состоянии с минимальной энергией в потенциальной яме, имеющей ширину 2 a иконечную глубину.
Волновая функция частицы на краях ямы в 2раза меньше, чем в середине. Найти энергию данного состояния.Ответ. Так как по условию задачи ξ(4.86) и (4.87)), то ξ = π / 3 и E =π2 218ma 2ξ2 + η2 = 1 2 (см..Задача D4.7. Частица, двигающаяся по закону гармоническогоосциллятора, находится в основном состоянии в одномерном потенциальном поле U ( x ) = β x 2 / 2 . Найти с помощью уравненияШрёдингера энергию Е и параметры А0 и α волновой функцииψ 0 ( x ) = A0 exp(−αx 2 ) частицы. Масса частицы m.Ответ: α =1/4⎛ βm ⎞=⎜⎜ π ⎟⎟⎝⎠βm1β m , ψ0 ( x ) = A0 exp( −αx 2 ) =, E0 = ω =222⎡ βm 2 ⎤exp ⎢ −x ⎥.⎣ 2⎦Задача D4.8. (Потенциальная ступенька.
Непрерывныйспектр.) Потенциальная энергия частицы имеет вид «ступеньки»:U = U0 при x < 0 и U = 0 при x > 0 (см. рис. 4.22). Частица, движущаяся к ступеньке («падающая» на ступеньку) из области x → −∞ ,152ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХимеет импульс р1 и амплитуду А1 волновой функции. Найти волновую функцию частицы. Масса частицы m.Рис.4.22. Зависимость потенциальной энергии частицы от координаты х.Ответ. ψ1 ( x ) = A1 eip1x / + A1x ≤ 0 ; ψ2 ( x ) =где p2 = p12 + 2mU 0 .1 − 1 + 2mU 0 / p121+1 + 2mU 0 / p122 A11+1 + 2mU 0 / p12e −ip1x /приeip2 x / при x > 0 ,Гл. 5.
Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах153Глава 5НАДБАРЬЕРНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ И ТУННЕЛЬНЫЙЭФФЕКТ В ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ§5.1. Теоретическое введениеКак уже говорилось выше (см. (2.4)), квадрат модуля волновойфункции ρ ( r, t ) = ψ ( r, t )2определяет плотность вероятности об-наружения частицы в момент времени t в точке с координатой r.При движении частицы распределение в пространстве плотностивероятности изменяется и можно говорить о плотности потока вероятности.
Плотность потока вероятности задается выражениемj=Ψ ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ ∗ ) ,(2im(5.1)а в одномерном случае (вдоль оси ОХ):jx =⎛ ∗ ∂ψ∂ψ∗ ⎞−ψ⎜ψ⎟.∂x∂x ⎟⎠2im ⎜⎝(5.2)Для волны де-Бройля Ψ (r, t ) = A exp ( −iωt + ikr ) плотность потока вероятности⎡ 2ik A 2 ⎤ = v A 2 ,⎡ Ψ ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ ∗ ⎤ =(5.3)⎦ 2im ⎣⎢⎦⎥2im ⎣т. .е. равна скорости v движения частицы, умноженной на квадратj=2модуля амплитуды A .Для частицы, волновая функция которой представляет собойволновой пакет (§2.2), плотность потока вероятности равна плот2ности вероятности обнаружения частицы ρ ( r, t ) = ψ ( r, t ) , умноженной на скорость распространения максимума волнового пакета(скорость перемещения частицы).Сохранение полной вероятности описывается уравнением сохранения потока:∂ρ + div j = 0 .(5.4)∂tВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ154(аналог уравнения неразрывности в гидромеханике – закона сохра∂ρнения массы для движущейся жидкости+ div (ρv ) = 0 )∂tОграничимся рассмотрением только одномерных стационарных задач.В стационарных задачах ( ∂U / ∂t = 0 ) энергия квантовой частицы, как и классической, сохраняется.
В этом случае ∂ρ / ∂t = 0 и водномерном случае уравнение (5.4) приобретает вид∂jx= 0 , jx = const ,(5.5)∂xт. е. плотность потока вероятности не изменяется.Задача 5.1. Убедитесь, что плотность потока вероятности равна нулю ( jx = 0 ) как для частицы, находящейся в бесконечной потенциальной яме (задача 4.4), так и для частицы, движущейся кступенчатому барьеру с энергией Е1, меньшей высоты барьера:E1 < U 0 (задача 4.2 (случай II)).Решение. Для потенциальной ямы с бесконечными стенкамичетные и нечетные решения имеют вид (4.62) и (4.65):A ikn xψ ч ( x ) = A cos kn x =+ e −ikn x ,e2A ikn x −ikn xψ нч ( x ) = A sin kn x =−e.e2iПодставляяэтиволновыефункциивуравнение∗⎛ ∗ ∂ψ∂ψ ⎞jx =−ψ⎜ψ⎟ (5.2), убеждаемся что jx = 0 .2im ⎜⎝∂x∂x ⎟⎠В данном случае частица обладает дискретным спектром, ееволновые функции представляют собой стоячие волны, скоростьраспространения которых равна нулю.
Поэтому поток вероятности(поток частиц) отсутствует.Аналогично, используя волновые функции (см. ответ задачи4.2 (случай II)):ψ1 ( x ) = A1 eip1x / + A1 e −i ( p1x / +ϕ2 ) при x < 0 и)((ψ 2 ( x) =2 A11 + ( γ / p1 ) 2e −γ x −iϕ1 при x > 0 ,)Гл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах155убеждаемся, что и для частицы, движущейся к ступенчатому барьеру с энергией E1 < U 0 , jx = 0 . Это означает, что поток частиц сэнергией, меньше, чем высота барьера, отсутствует.§5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
