Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Надбарьерное отражение и прохождениеЗадача 5.2. Квантовая частица движется в потенциальном полев виде одномерной ступеньки (см. условия задачи 4.2 (случай I)) изобласти х → –∞. Энергия частицы Е1 больше высоты ступеньки U0.Амплитуда падающей на ступеньку волны А1. Найти плотность потока вероятности и коэффициенты отражения R и прохождения D.Масса частицы m.Коэффициент прохождения равен отношению плотности потока вероятности прошедшей волны к плотности потока вероятности падающей волны:D = jпрош / jпад ,(5.6)а коэффициент отражения равен отношению плотности потокавероятности отраженной волны к плотности потока вероятностипадающей волны:R = jотр / jпад .(5.7)Рис.
5.1. Потенциальная энергия ввиде ступеньки для частицы, движущейся с энергией E1 > U 0 .Решение. Полученные в задаче 4.2 (I) волновые функции (4.7)и (4.8): ψ1 ( x ) = A1 eip1x / + A3 e−ip1x / при x < 0 и ψ 2 = A2 ei p2 xпри x > 0 , подставляем в формулу (5.2) для плотности потока вероятности, получаемпри x < 0 (область 1 на рис.
5.1)p( jx )1 = 1 A1 2 − A3 2 ,m()(5.8)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ156при x > 0 (область 2 на рис.5.1)( jx )2 =Сучетомвыраженийp22A2 .mдля(5.9)A2 =амплитуд2A1 p1p1 + p2иp1 − p2(4.12), где p1 = 2mE1 , p2 = 2m ( E1 − U 0 ) , убежp1 + p2даемся, чтоA3 = A1( jx )1 = ( jx )2 =4 A12 E1 2( E1 − U 0 )m(E1 + E1 − U 0)2,(5.10)то есть полный поток отличен от нуля и сохраняется, в том числе ив точке скачка потенциальной энергии U ( x ) при x = 0 . Заметим,что величина плотности потока зависит от разности ( E1 − U 0 ) иобращается в нуль при E1 = U 0 , когда кинетическая энергия частицы равна высоте потенциальной ступеньки.Для вычисления коэффициентов отражения и прохождения запишем отдельно плотности потока падающей, отраженной и прошедшей волн.Поток вероятности падающей волны де Бройля( jx )пад =p12 E12A1 = A12mm(5.11)разделяется на поток, связанный с отраженной волной:2( jx )отр2 E1 ⎡ E1 − E1 − U 0 ⎤p2= − 1 A3 = − A12⎢⎥mm ⎣⎢ E1 + E1 − U 0 ⎦⎥,и поток, связанный с прошедшей волной:p2 E1 4 E1 ( E1 − U 0 ),( jx )прош = 2 A2 2 = A12mm ⎡ E + E − U ⎤210⎦⎣ 1так что( jx )пад = ( jx )отр + ( jx )прош .(5.12)(5.13)(5.14)Гл.
5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах157По определению коэффициентов прохождения (5.6) и отражения (5.7) с учетом полученных для плотностей потока выражений(5.11)–(5.13) находимD=4 E1 ( E1 − U 0 )(E1 + E1 − U 0)⎡ E − E1 − U 0R=⎢ 1⎢⎣ E1 + E1 − U 0,2и⎤⎥⎥⎦2(5.15)D + R = 1.Коэффициенты прохождения и отражения в зависимости отбезразмерного параметра χ = E1 / U 0 имеют вид:D=4 χ ( χ − 1)(χ + χ −1)2⎡ χ − χ −1 ⎤R=⎢⎥⎣⎢ χ + χ − 1 ⎦⎥,2(5.16)и представлены на рис. 5.2.Рис. 5.2.
Зависимости коэффициентов прохождения D(χ) иотражения R(χ) от безразмерного параметра χ = E1 / U 0 припадении частицы на ступенчатый барьер с энергией большевысоты барьера.Ответ: ( jx )1 = ( jx )2 =D=(4 A12 E1 2( E1 − U 0 )m((R=,2E1 − U 0 )(E1 + E1 − U 0)2,) .2E1 − U 0 )4 E1 ( E1 − U 0 )E1 − E1 − U 0E1 +E1 +2ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ158Задача 5.3. Найти коэффициенты прохождения и отражениядля волны де Бройля, падающей на прямоугольный потенциальныйбарьер.
Параметры барьера указаны на рис. 5.3. Энергия частицыЕ1 больше высоты потенциального барьера U 0 . Масса частицы m.Рис. 5.3. Частица движется к прямоугольному потенциальному барьеру. Кинетическая энергия частицы в области 1 E1 > U 0 .Решение. Используем полученные в задаче 4.3 (случай I) значения амплитуд А2 (4.32) и А5 (4.35) и находим выражения для коэффициента прохождения:=∗2A5A1D=2⎡A ⎤⎡A ⎤⎡2p p ⎤= ⎢ 5 ⎥⎢ 5⎥ = ⎢ 1 2 ⎥ =⎣ A1 ⎦ ⎣ A1 ⎦⎣ Δ1 ⎦2( p1 p2 )22 p14 − 4mU 0 p12 + ( mU 0 )2 − ( mU 0 )2 cos [ 2 p2 L /(5.17)]и для коэффициента отражения:2AR= 2A1∗⎡ 2mU 0 sin [ p2 L /⎡A ⎤⎡A ⎤= ⎢ 2 ⎥⎢ 2 ⎥ = ⎢Δ1⎣ A1 ⎦ ⎣ A1 ⎦⎣2 ( mU 0 ) sin 2 [ p2 L /2=2 p14]⎤2⎥ =⎦][]. (5.18)− 4mU 0 p12 + (mU 0 )2 − (mU 0 ) 2 cos 2 p2 L /что p12 = 2mE1 , а p22 = 2m( E1 − U 0 ) , полученныеУчитывая,выражения (5.17) и (5.18) для коэффициентов прохождения и отражения перепишем в виде:AD= 5A1AR= 2A12=8 E1 ( E1 − U 0 )8 E12 − 8U 0 E1 + U 0 2 − U 02 cos ⎡ 2 L 2m ( E1 − U 0 ) / ⎤⎣⎦2= 1−8 E1 ( E1 − U 0 )8E12,(5.19).− 8U 0 E1 + U 0 − U 02 cos ⎡ 2 L 2m ( E1 − U 0 ) / ⎤⎣⎦(5.20)2Гл.
5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах159Очевидно, что имеет место баланс потоков: R + D = 1 .Проанализируем зависимости коэффициентов надбарьерногопрохождения D (5.19) и отражения R (5.20) от энергии падающейчастицы E1 и от ширины барьера L .Коэффициенты прохождения и отражения в зависимости отбезразмерного параметра χ = E1 / U 0 имеют вид:D=A5A1AR= 2A12=8 χ ( χ − 1)8χ 2 − 8χ + 1 − cos ⎡ 2 L 2mU 0 ( χ − 1) / ⎤⎣⎦2=1−,8 χ ( χ − 1)8χ − 8χ + 1 − cos ⎡ 2 L 2mU 0 ( χ − 1) / ⎤⎣⎦2(5.21). (5.22)Зависимость D ( χ ) , рассчитанная при фиксированных значениях ширины L1 и высоты U01 барьера ( L1 / = 32 и 2mU 01 = 1 ),представлена на рис. 5.4.Рис. 5.4.
Зависимость коэффициента прохождения D от безразмерного энергетического параметра χ = E1 / U 0 , где E1 — энергия падающей на барьер частицы.ГрафикD (χ)имеетосциллирующийхарактерприE1 > U 0 (рис. 5.4). Заметим, что при E1 / U 0 = 1 коэффициент прохождения отличен от нуля: D = 0,004 > 0 (сравните с движениемВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ160частицы в потенциальном поле в виде ступеньки при том же условии E1 = U 0 ).Коэффициент прохождения достигает локального максимумаD = 1 , если(cos 2 L 2m ( E1 − U 0 ) /) =1,(5.23)то есть при значениях энергии падающей частицы, удовлетворяющих соотношению2E1n1 ⎛π n⎞= U0 +⎜⎟ , где n = 1, 2, 3,… .2m ⎝ L ⎠(5.24)При значениях энергии1 ⎛πE1′n = U 0 +⎜2m ⎝когда(cos 2 L /( n + 1/ 2 ) ⎞L2⎟ , где n = 0, 1, 2,… ,⎠)2m ( E1′n − U 0 ) = −1 ,(5.25)(5.26)коэффициент прохождения D достигает локального минимума,равного8 E1′n ( E1′n − U 0 )8 χ′n ( χ′n − 1),(5.27)Dn ==228 E1′n − 8U 0 E1′n + 2U 08χ′n2 − 8χ′n + 2где χ′n = E1′n / U 0 .Все максимумы соответствуют D = 1, а локальные минимумы(5.25) лежат на гладкой плавной кривой (рис.
5.4), соответствующей формуле (5.27).Наличие локальных минимумов и максимумов зависимостиD ( E1 ) связано с резонансным характером взаимодействия волны де Бройля с потенциальным барьером. Действительно, учитывая, что импульс в области 2 равен p2 = 2m ( E1 − U 0 ) = 2π λ 2 ,условие максимумов (5.24) можно записать в видеLmax =λ2n.2(5.28)Гл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах161Таким образом, максимум коэффициента прохождения, соответствующий полному прохождению (D = 1), наблюдается тогда,когда в области барьера укладывается целое число половин длиныволны (или четное число четвертей длины волны) (5.28).Из условия (5.25) следуетLmin =λ2(2n + 1) ,4(5.29)то есть минимум коэффициента прохождения наблюдается, когдана длине барьера укладывается нечетное число четвертей длиныволны.Вопросы для самопроверки1. Как изменится зависимость на рис. 5.4 при увеличении ширины потенциального барьера в два раза?2.
Как изменится зависимость на рис. 5.4 при увеличении (илиуменьшении) высоты потенциального барьера?Ответы. 1. Чем шире барьер, тем чаще на одном и том же интервале энергии выполняется условие резонанса (5.24)(см. рис. 5.5).2. В соответствии с (5.24), изменение высоты барьера приводитк одинаковому сдвигу резонансных значений энергии (см. рис. 5.6).Рис. 5.5. Частица движется с энергией больше высоты прямоугольного потенциального барьера. Зависимость коэффициента прохождения барьера от энергиичастицы для двух барьеров одинаковой высоты, но разной ширины.162ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис.
5.6. Частица движется сэнергией больше высоты прямоугольного потенциального барьера. Зависимость коэффициентапрохождения барьера от энергиичастицы в случае трех барьеровразной высоты, но одинаковойширины.Зависимость от х плотности вероятности обнаружения частицыв точке с координатой х в случае полного прохождения ( D = 1 )представлена на рис. 5.7 (для n = 2 , E1 = 1,038 U 0 , при расчетахполагалось, что L / = 32 , 2mU 0 = 1 ).Рис. 5.7. Плотность вероятности ρ ( x ) = ψ ( x )2в зависи-мости от координаты х частицы в случае полного прохождения(D = 1)приE1 = 1,038 U 0((6.24)приn = 2).Гл.
5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачахВопрос. Почему плотность вероятности ρ ( x ) = ψ ( x )1632имеетзначения больше единицы (см. рис. 5.7)?Ответ. Рассматриваемая в задаче волна де-Бройляψ1′ = A1 exp ( i p1 x ) (4.22), попадающая в область потенциальногобарьера, не нормирована. В результате не нормированной становитсяирезультирующаяволноваяфункция( ψ1 (x<0) + ψ 2 (0 < x < L) + ψ3 (x > L)) ((4.22)–(4.24)).
Поэтому физический смысл имеет не абсолютное значение плотности вероятности, а сравнение плотностей вероятности в разных точках.Падающая ψ1 и прошедшая ψ3 бегущие волны (см. рис. 5.7)имеют одинаковую амплитуду (так как ρ одинаковые), а внутрипотенциального барьера волна подобна стоячей волне, амплитудакоторой в ~5 раз больше, а амплитуда плотности больше в ~25 раз!Частица как бы «останавливается» над барьером.Плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой х в случае локального минимума прохожденияD = 0, 0096 << 1 (максимального надбарьерного отражения) представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
