Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.15. Графический поиск четного решения ψ ( x ) = A cos kx при −a < x < aсистемы уравнений (5.88); координаты точек, обведенных кружками: ξ0 =1,24569 ,η0 = 3,69571 и ξ1 =3,56138 , η1 = 1,58952 .Положим 2m U 0 a / = 3,9 . В этом случае кривые, соответствующие функции η = ξ tg ξ пересекают четверть окружности в двухточках ( ξ0 =1,24569 , η0 = 3,69571 ) и ( ξ1 =3,56138 , η1 = 1,58952 ),обведенных кружками на рис. 4.15. Значения ξ и η в этих точкахявляются решениями системы (4.89).Таким образом, система (4.89) имеет конечное число корней(ξn , ηn ) .
По известным корням (ξn , ηn ) системы (4.89) с помощьюсоотношений (4.68) (или (4.72)) можно определить собственныезначения энергии En .Для выбранного значения2m U 0 a / = 3,9 (рис. 4.15) точке скоординатами ( ξ0 , η0 ) соответствует энергия E0ч = −≈ −13,72E1ч = −η1222η02 ≈2ma(2ma 2 ) , точке с координатами ( ξ1 , η1 ) – энергия2(2ma 2 ) ≈ −2,52(2ma 2 ) (рис. 4.17).Если A = 0, B ≠ 0, D = −C , то имеет место нечетное решение(см. (4.67)). Используем уравнения (4.79), (4.80):Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном полеsin ξ =C−Dexp ( −η ) ,2Bcos ξ = −137(4.90)ηC−Dexp ( −η)ξ 2B(4.91)и преобразуем их аналогично (4.82) и (4.83) при нахождении четного решения. Получаем системуξξ η(4.92)C = ±Beη = ± Be ,223,9ξ +ηctgξ = −η / ξ .(4.93)Волновая функция для нечетного решения с учетом (см.(4.67) –(4.72)) и (4.92):при − a < x < aψ í ÷ ( x ) = B sin kx = B sin(ξx / a) ;(4.94)при x < − aψ í ÷ ( x ) = D e γx = ± B−ξ22ξ +ηeη( x / a +1) = ± Bξ η( x / a +1)e;3,9(4.95)при x > aψ í ÷ ( x ) = C e −γx = ± Bξξ2 + η2e−η( x / a −1) = ± Bξ −η( x / a −1)e.
(4.96)3,9Для нечетного решения имеем систему, аналогичную системе(4.89):⎧2m U 0 a 2⎪ξ 2 + η2 =,2(4.97)⎨⎪⎩η = −ξ ctg ξ,это решение можно графически проанализировать с помощьюрис. 4.16.Кривые, соответствующие второму уравнению η = −ξc tg ξсистемы (4.97), пересекают ось абсцисс в точках π/2, 3π/2, 5π/2….ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ138Рис. 4.16. Графический поиск нечетного решения ψ ( x ) = A sin kx системы уравнений (5.96) при − a < x < aξ0 =2,45928 , η0 =3,02687 .— координаты точки, обведенной кружком:Изанализарис.
4.162220 < (2m U 0 a )< ( π 2) , т. е. при0 < U0 <следует,чтопри2 2π8ma 2,нечетного решения не существует, есть только одно четное решение (соответствующее на рис. 4.15 точке пересечения окружности2m U 0 a / < π / 2 и ближайшей к оси ординат кривойрадиусаη = ξ tg ξ ).Для выбранного значения2m U 0 a / = 3,9 (рис. 4.16) точке скоординатами ξ0 = 2, 45928 , η0 = 3,02687 соответствует энергияE0нч = −22maη2 ≈ −9,22 022ma 2(рис. 4.17).Изображенные на рис. 4.17 волновые функции (4.86)–(4.88) и(4.94)–(4.96) в состояниях с энергиями E0ч , E0нч и E1ч имеют вид:Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном полеС энергией E0чпри − a < x < a139ψ 0÷ ( x ) = A cos(ξ0 x / a ) ≈ A cos(1, 2 x / a) ;(4.98)при x < − aξ0ψ 0÷ ( x ) = Aξ02+ η02eη0 ( x / a +1) ≈ 0,32 Ae3,7( x / a +1) ;(4.99)при x > aψ 0÷ ( x ) = Aξ0ξ02+ η02e −η0 ( x / a −1) ≈ 0,32 Ae −3,7( x / a −1) .
(4.100)Рис. 4.17. В прямоугольной потенциальной яме ширины 2а и глубиныU 0 ≈ −15,22пунктирными(2ma 2 ) имеются три состояния с энергиями (обозначены штрих-линиями):E0ч ≈ −13,72(2ma 2 ) ,E0нч ≈ −9,22(2ma 2 )и(2ma ) . Волновые функции ψ0ч ( x ) , ψ0нч ( x ) и ψ1ч ( x ) в состояниях с указанными энергиями изображены соответственно сплошной, штриховойи пунктирной линиями. Этим состояниям на графиках рис. 4.15 и рис. 4.16 соответствуют точки, обведенные кружками.E1ч ≈ −2,522С энергией E0нчпри − a < x < aψ0нч ( x ) = B sin( ξ0 x / a ) ≈ B sin(2,5 x / a ) ,(4.101)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ140при x < − aψ0нч ( x ) = B−ξ0ξ02eη0 ( x / a +1) ≈ −0,63Be3,0( x / a +1) , (4.102)+ η02при x > aψ0нч ( x ) = Bξ0ξ02e −η0 ( x / a −1) ≈ 0,63Be −3,0( x / a −1) .
(4.103)+ η02С энергией E1чпри − a < x < aψ1÷ ( x ) = A cos(ξ1 x / a) ≈ A cos(3,6 x / a ) ≈ A cos [ (π + 0, 42) x / a ] ; (4.104)при x < − aψ1÷ ( x ) = − Aξ1ξ12+ η12eη1 ( x / a +1) ≈ −0,91Ae1,6( x / a +1) ;(4.105)при x > aψ1÷ ( x ) = − Aξ1ξ12+ η12e −η1 ( x / a −1) ≈ −0,91Ae −1,6( x / a −1) . (4.106)Ответ. В состоянии с энергией E0ч ≈ −13,7ваяψ0ч ( x ) ≈ A cos(1,2 x / a )функцияψ0ч ( x ) ≈ 0,32 Ae3,7( x / a +1)( x > a );состояниив2( x < − a ),с(2ma 2 ) волно( − a < x < a ),ψ0ч ( x ) ≈ 0,32 Ae −3,7( x / a −1)энергиейE0нч ≈ −9,222ma 2:ψ0нч ( x ) ≈ B sin(2,5 x / a ) ( − a < x < a ), ψ0нч ( x ) ≈ −0,63Be3,0( x / a +1)( x < − a ), ψ0нч ( x ) ≈ 0,63Be −3,0( x / a −1) ( x > a ); и в состоянии с энергиейE1ч ≈ −2,522ma 2:ψ1ч ( x ) ≈ −0,91Ae1,6( x / a +1)( x > a ).ψ1ч ( x ) ≈ A cos(3,6 x / a )( x < − a ),( − a < x < a ),ψ1ч ( x ) ≈ −0,91Ae −1,6( x / a −1)Задача 4.6.
(Дискретный спектр. «Полубесконечная» яма.)Частица движется в «полубесконечной» яме: U → ∞ при x < 0 ,Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле141U = U 0 < 0 при 0 < x < a и U = 0 при x > a (рис. 5.18). Изобразитеграфически волновую функцию в основном состоянии. Определитедопустимые значения энергии Еn дискретного спектра при значениях полной механической энергии U 0 < E < 0 . При численныхрасчетах положите2m U 0 a / = 3,9 .Решение. Внутри ямы ( − a < x < a ) стационарное уравнениеШредингера имеет вид (4.55)d 2ψ2+ k 2ψ = 0dxи аналогичное (4.556 решение: ψ ( x ) = A cos kx + B sin kx , гдеk = + 2m ( E − U 0 ) /2.(4.107)Однако, поскольку при x = 0, аналогично задаче 4.4, ψ ( 0 ) = 0(для любых значений ∂ψ / ∂x ), то следует оставить только нечетные функции.
Таким образом, внутри ямы ( 0 < x < a )ψ ( x ) = B sin kx .(4.108)Вне ямы ( x > a ) стационарноеуравнение Шредингераd 2ψ2− γ 2ψ = 0dxимеет решениеψ ( x ) = C exp ( −γx ) ,гдеγ = + −2mE /2.(4.109)(4.110)Рис. 4.18. Потенциальная энергия полубесконечной потенциальной ямы.Из условия непрерывности ψ ( x ) (4.108), (4.109) и ∂ψ ( x ) / ∂x вточке x = a получаемB sin ka = C e− aγ ,(4.111)kB cos ka = −γC e − aγ .(4.112)Введем безразмерные параметры: ξ = ak и η = γa . Причем, каки в предыдущей задаче, ξ2 + η2 =2m U 0 a 22= 3,92 .142ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХУравнения системы (4.111)–(4.112) принимают видCsin ξ = exp ( −η) ,Bcos ξ = −ηCexp ( −η ) .ξB(4.113)(4.114)Преобразуем систему (4.113), (4.114): 1) возведем в квадрат обауравнения и сложим и 2) разделим уравнения друг на друга. В результате получаем систему:ξξ η(4.115)C = ±Beη = ± Be ,223,9ξ +ηctgξ = −η / ξ .(4.116)Знак в (4.115) выбирается так, чтобы волновая функция быланепрерывна в точке х = а.Волновая функция для нечетного решения с учетом (4.115):при − a < x < aψ нч ( x ) = B sin kx = B sin( ξx / a ) ;(4.117)при x > aξξ −η( x / a −1)ψ нч ( x ) = C e −γx = ± B.
(4.118)e −η( x / a −1) = ± Be223,9ξ +ηЗначений ξ и η находим из системы уравнений (4.81) и(4.116):⎧2m U 0 a 2⎪ξ 2 + η2 =,2(4.119)⎨⎪⎩η = −ξ ctg ξ,решение которой можно графически проанализировать с помощьюрис. 4.16. При2m U 0 a / < π / 2 в яме нет ни одного дискретногоуровня энергии, т. е. нет стационарного локализованного состояния.Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном полеДля выбранного значения1432m U 0 a / = 3,9 (рис. 4.16) точке скоординатами ξ0 = 2, 45928 , η0 = 3,02687 соответствует энергияE0нч = −22maη2 ≈ −9,22 022ma 2(рис.
4.19).Рис. 4.19. В полубесконечной прямоугольной потенциальной яме ширины а и глубины U 0 ≈ −15,22(2ma 2 ) имеется только одно стационарное состояние с энер-гией E0нч ≈ −9,22(2ma 2 ) . Волновая функция ψ0нч ( x ) в этом состоянии про-стирается в область x > a.Изображенная на рис. 4.19 волновая функция в состоянии сэнергией E0нч ≈ −9,2 2 (2ma 2 ) имеет вид:при − a < x < aψ0нч ( x ) = B sin( ξ0 x / a ) ≈ B sin(2,5 x / a ) ,(4.120)при x > aξ0e −η0 ( x / a −1) ≈ 0,63Be −3,0( x / a −1) . (4.121)ψ0нч ( x ) = B22ξ0 + η0144ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХОтвет. При2 U 0 ma / = 3,9 (см. рис.
4.16) имеется однолокализованное состояние с энергией E0нч ≈ −9,22и2ma 2(− a < x < a )⎧ B sin(ξ0 x / a) ≈ B sin(2,5 x / a )⎪ξ0ψ 0í ÷ ( x ) = ⎨ Be −η0 ( x / a −1) ≈ 0,63Be −3,0( x / a −1)⎪22ξ0 + η0⎩( x > a)Задание для самопроверки. Сравните энергетические состояния частицы в прямоугольной бесконечной потенциальной яме (задача 5.4), в яме конечной глубины (задача 4.5) и в полубесконечнойпотенциальной яме (задача 4.6). Отсчет энергии ведите от дна потенциальной ямы. Ширину ямы положите равной .Ответ.
Основное состояние:в бесконечной потенциальной ямеE0 ≈ 2,4622, E1 ≈ 9,8m 2в яме конечной глубины2 22E0 ≈ (15, 2 − 13,7) 2 = 1,5mm2222m2, E2 ≈ 22,1, E1 ≈ 9,222m2E0 ≈ (15, 2 − 9, 2)в полубесконечной яме22m2, E2 ≈ 12,72= 1,5222m22.2ma 2m 2Сравнивая результаты, приходим к выводу, что для оценкиглубоких энергетических состояний в яме конечной глубины можно пользоваться аналитическими формулами, полученными длябесконечной потенциальной ямы.
Существенные расхождения появляются для состояний с энергиями, близкими к энергии дна потенциальной ямы U 0 ≈ 15,2122m2.Приложение 4.2. Гармонический осцилляторПолуклассическое рассмотрение энергетического спектра гармонического осциллятора на основе правил квантования (3.3) и(3.1) было сделано в задаче 3.11. Здесь предлагается решение наоснове волновой механики (решение уравнения Шредингера).Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле145Задача 4.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
