Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 24
Текст из файла (страница 24)
5.17. Зависимость силы тока J холодной эмиссии от напряженности E электрического поля.⎡ 4 2m⎤Ответ: J = J 0 exp ⎢ −(U 0 − E1 )3/2 ⎥ .⎣ 3eE⎦Задача 5.7. Радиоактивный распад — это самопроизвольноеизменение состава ядра (заряда, массового числа) в результате испускания элементарных частиц или ядерных фрагментов. Распадимеет квантовомеханический характер, он происходит путем туннелирования вылетающей из ядра частицы сквозь потенциальныйбарьер.
Радиоактивный распад не зависит ни от температуры, ни отдавления, что является принципиальным отличием его от процессов химических превращений.Рассмотрим следующую модель α -распада (испускания αчастицы — ядра атома Не). Материнское ядро (исходное ядроатома) с зарядом (Z+2)е состоит из дочернего ядра с зарядом Zе и174ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХα-частицы с зарядом 2е и массой m. Пусть ядерные силы притяжения действуют на α-частицу на расстояниях r < r0 , где r0 — радиусядра, формируя потенциальную яму прямоугольной формы. А приr > r0 на α-частицу действуют силы кулоновского отталкиванияположительно заряженной α -частицы (с зарядом +2е) от положительно заряженного дочернего ядра (ядра, оставшегося после распада исходного материнского ядра) с зарядом + Ze . Совокупноедействие отталкивающего кулоновского и притягивающего ядерного взаимодействий образуют потенциальный барьер U(r), схематически представленный на рис.
5.18. Используя асимптотическуюформулу (5.41), определите вероятность w испускания α-частицыза единицу времени и время полураспада τ материнского ядра.Средняя скорость движения α-частицы внутри ядра v.Рис. 5.18. Потенциальная энергия U(r) взаимодействия α-частицы и дочернегоядра. r0 — радиус радиоактивного ядра, E1 — кинетическая энергия движения αчастицы.Решение. Вероятность w излучения α -частицы в единицувремени пропорциональна произведению частоты ударов υ (числаударов в единицу времени) о стенки потенциальной ямы и коэффициента прохождения потенциального барьера D:w = υ⋅ D .(5.45)Частота ударов α -частицы о стенки потенциальной ямы равнаvυ=.2r0Форма потенциального барьера определяется энергией кулоновского отталкивания α -частицы и дочернего ядра:Гл.
5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачахU (r) =1751 2 Ze 2.4πε0 r(5.46)Значение r1 находится из условия U ( r1 ) = E1 :r1 =1 2 Ze 2.4πε0 E1(5.47)Для вычисления коэффициента прохождения через потенциальный барьер (5.46) используем асимптотическую формулу (5.41):D = D0 exp ( −α ) ,гдеα=2r1∫2m ⎡⎣U ( r ) − E1 ⎤⎦ dr =8mE1r0r1∫r02 Ze2 1− 1 ⋅ dr =4 πε0 E1 r=8mE1r1∫r0r1− 1 ⋅ dr .rДля вычисления интеграла произведем замену переменнойξ = r / r1 . Тогдаα=8mE1r12 r 8mE1r1− 1 ⋅ dr = 1r∫r011 − ξ2 ⋅ d ξ .∫r0 / r1Поскольку по условию задачи r0 << r1 , то в нижнем пределеинтеграла можно положить r0 / r1 ≈ 0 .
Тогда1∫011π⎡ξ⎤1 − ξ d ξ = ⎢ 1 − ξ2 + arcsin ξ ⎥ = ,2⎣2⎦0 42α=πr1 2mE1=Ze 22 ε02mE1и коэффициент прохождения⎡ Ze2D = D0 exp ⎢ −⎣⎢ 2 ε0⎡ Ze2 1 ⎤2m ⎤⋅ ⎥,⎥ = D0 exp ⎢ −E1 ⎦⎥⎣⎢ ε0 v ⎦⎥ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ176где учтено, что кинетическая энергия α-частицы E1 = mv 2 2 .Вероятность распада за единицу времени w (5.47) принимаетвидw=⎡ Ze2 1 ⎤vv D0exp ⎢ −D=⋅ ⎥.2 r02 r0⎣⎢ ε0 v ⎦⎥(5.48)Вероятность (5.48) определяет долю ядер, распавшихся за единицу времени, а доля ядер –dN/N, распавшихся за время dt равна− dN= wdt .N(5.49)Интегрируя (5.49), для числа распадающихся за время t ядерполучаемN = N 0 exp [ − wt ] ,(5.50)где N0 – исходное число целых ядер в момент времени t = 0.Время полураспада – время τ, в течение которого половинаядер распадается, определяется из (5.50):τ=⎡ Ze2 1 ⎤ln 2r= 2 ln 2 0 exp ⎢⋅ ⎥.vD0w⎢⎣ ε0 v ⎥⎦16 E1для U0 можно взять значение потенциU0альной энергии при r = r0:При оценке D0 =D0 =16 E1 16mπε0 r0v 2.=U0Ze2Тогда для частоты ударов и времени полураспада получаемw=8πε0mv3Ze2⎡ Ze 2 1 ⎤exp ⎢ −⋅ ⎥⎢⎣ ε0 v ⎥⎦иПолученные зависимости w( v)рис.
5.19 для урана Z = 92.τ=⎡ Ze2 1 ⎤exp⋅ ⎥.⎢8πε0mv3⎢⎣ ε0 v ⎥⎦Ze2 ln 2и τ( v) представлены наГл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах177Рис. 5.19. Зависимости частоты ударов w( v ) и времени полураспада τ( v ) от скорости движения α-частицы внутри ядра урана, полученные в рамках выбранной взадаче модели.⎡ Ze 2 1 ⎤⎡ Ze2 1 ⎤8πε0mv 3Ze 2 ln 2expexpОтвет. w =,τ=⋅ ⎥.−⋅⎢⎥⎢8πε0mv 3Ze 2⎣⎢ ε0 v ⎦⎥⎣⎢ ε0 v ⎦⎥Задачи для самостоятельного решенияЗадача D5.1. Электрон с кинетической энергией Е = 2 эВ, двигаясь в положительном направлении оси ОХ, попадает в потенциальное поле в виде «ступеньки» (см.
рис. 4.1а). Высота барьера(ступеньки) U0 = 5 эВ. Найти эффективную глубину проникновенияэлектрона в область x > 0 , т.е. расстояние от границы барьера доточки, где плотность вероятности нахождения уменьшается в е раз.1l=Ответ.== 5,64 ⋅ 10−11 м,где2γ 2 2m (U 0 − E )γ=12m (U 0 − E1 ) .Задача D5.2.
Электрон с кинетической энергией Е1 попадает впотенциальное поле в виде прямоугольного барьера (рис. 4.9). Ширина барьера L, высота U 0 . Найти вероятность D прохожденияВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ178сквозьпотенциальныйбарьер.Использовать⎡ 2 x2⎤D = D0 exp ⎢ − ∫ 2m (U ( x ) − E1 )dx ⎥ .⎢⎥x1⎣⎦⎡ 2L⎤2m (U 0 − E1 ) ⎥ .Ответ. D = D0 exp ⎢ −⎣⎦формулу:Задача D5.3. Поток электронов с энергией Е = 1 эВ падает напрямоугольный потенциальный барьер высотой U0 = 8 эВ и толщиной L = 0,5 нм (рис. 4.9). Какая доля электронов ΔN/N пройдет черезпотенциальныйбарьер?Использоватьформулу⎡ 2 x2⎤16 Eexp ⎢ − ∫ 2m (U ( x ) − E )dx ⎥ .D=U0⎢⎥x1⎣⎦ΔN 16 E⎡ 2L⎤=exp ⎢ −2m (U 0 − E ) ⎥ = 2,3⋅ 10−3 .Ответ.NU0⎣⎦Задача D5.4.
С помощью формулы (5.41)⎡ 2 x2⎤D = D0 exp ⎢ − ∫ 2m (U ( x ) − E )dx ⎥⎢⎥x1⎣⎦найти вероятность прохождения частицы с массой m и энергиейE сквозь потенциальный барьер треугольной формы, изображенный на рис. 5.20.Рис.5.20. Вид потенциального барьера для частицы.⎡ 4l 2m⎤Ответ. D = D0 exp ⎢ −(U 0 − E )3/2 ⎥ .⎣ 3 U0⎦Гл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах179Задача D5.5. С помощью формулы (5.41):⎡ 2 x2⎤D = D0 exp ⎢ − ∫ 2m (U ( x ) − E )dx ⎥⎢⎥x1⎣⎦найти вероятность прохождения частицы с массой m и энергиейE сквозь потенциальный барьер параболической формы:U ( x ) = U 0 ⎡1 − ( x / l ) 2 ⎤ (рис. 5.21).⎣⎦Рис.5.21.
Вид потенциального барьера для частицы.⎡ πl 2m⎤Ответ. D = D0 exp ⎢ −(U 0 − E )⎥ .U0⎢⎣⎥⎦Задача D5.6. α -частица находится в кулоновском потенциальном поле ядра. Радиус ядра равен r0 = 1,4⋅10–15 м, высота потенциального барьера на поверхности ядра составляет U0 = 4 МэВ.Кинетическая энергия α-частицы Е1 = 1 МэВ. Определить коэффициент прохождения α -частицей потенциального барьера атомногоядра.⎡ π 2mα r0 U 0 ⎤16 E1⎥ = 1,8 ⋅10−3 .Ответ.
D =exp ⎢ −U0E1⎢⎣⎥⎦ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ180Глава 6ОБЪЕМ КВАНТОВОГО СОСТОЯНИЯ. ПЛОТНОСТЬСОСТОЯНИЙ§6.1. Частица в одномерной потенциальной ямеЗадача 6.1. Частица c массой m находится в одномерной потенциальной яме – «потенциальном ящике». График потенциальной энергии показан на рис. 6.1. Ширина потенциальной ямы L,глубина U0. Исходя из периодического (циклического) граничного условия Борна–КарманаΨ ( x + L) = Ψ ( x) ,(6.1)определите возможные значенияимпульса рх, кинетической энергии, а также минимальное значение импульса и плотность состояний частицы в потенциальной яме.Рис.
6.1. Потенциальная энергияРешение. Условие Борна–частицы U(x) в одномерном потенКармана фактически означает,циальной яме длиной L.что частица не различает «левой»и «правой» границ ящика, т.е. фаза волны на одной из границ может отличаться от фазы волны на другой границе только на целоечисло 2π. Это условие напоминает условие квантования орбит ватоме Бора.i ωt − kr )условие Борна–Для волны де Бройля Ψ r , t = Ce (( )Карманаi ωt − kx )i ωt − k ( x + L ) )Ce (= Ce (выполняется, если e −i kL = 1 , т.
е. cos(kL) = 1 . Отсюда следует условие квантования для волнового числа:k n L = 2 πn ,(6.2)или2πkn =n,(6.3)LГл. 6. Объем квантового состояния. Плотность состояний181и для импульса:2π=n.(6.4)LСогласно (7.3), на ширине потенциальной ямы L должно укладываться целое число длин волн:L = nλ n .(6.5)pn =Разность фаз Δϕ = Δ ( ωt − kr ) на границах ямы равнаϕ( L) − ϕ(0) = kL = 2πn , т.е. разность фаз на границах ямы можетотличаться только на целое число 2π.Волновой вектор может принимать только дискретные значения (6.3), отличающиеся на δk x = 2π / L . Так как состояние частицыопределяется ее волновым вектором (или импульсом) и энергией,связанной с импульсом законом дисперсии, то величинаδk x = 2π / L является объемом квантового состояния частицы впространстве волновых векторов в одномерном случае.
В двумерном случае объем равен δk x δk y = (2π / L) 2 , в трехмерном –δk x δk y δk z = (2π / L)3 . В пространстве импульсов квантовый объемзаписывается аналогично:в одномерном случае δpx = 2π= / L ;в двумерном δpx δp y = (2π= / L)2 ;в трехмерном δpx δp y δpz = (2π= / L)3 .Понятие объема состояния в импульсном пространстве (рсостояния) имеет глубокий квантово-механический смысл, связанный с соотношением неопределенностей Гейзенберга δpx δx ≥ h, гдеδpx и δx неопределенности импульса и координаты частицы при иходновременном определении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
