Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Описывая частицу волной, естественно считать, что неопределенность координаты частицы имеетпорядок длины L, ограничивающей область движения: δx ≈ L. Приэтом неопределенность волнового вектора на длине Lδk x =11 h 2πδp x ≥=== δx Lможно рассматривать как объем состояния частицы в kпространстве (объем k-состояния).ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ182LС учетом условия нормировки∫ ΨΨ*dx = 1 , комплексную ам0плитуду волновой функции частицы Ψ(x) можно представить в виде:1 i (2πn L ) xΨ ( x) =e.(6.6)LИз (6.4) с учетом закона дисперсии следует условие квантования энергииpn2 (2π=) 2 2En ==n .(6.7)2m 2mL2Чем больше номер n квантового состояния, тем больше энергия и больше разница ΔEn,n +1 между разрешенными значениямиэнергии:ΔEn,n +1 =(2π=) 2n.(6.8)mL2Если разница между энергетическими уровнями мал, так чтоспектр можно считать квазинепрерывным, то можно ввести понятие плотности состояний dn / dE .
По размерности – это число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии.Из (6.7) находим номер квантового состояния с энергией Е:L 2mEnn=. Дифференцируя по энергии E, получаем число кван2π=товых состояний dn в интервале энергии dЕ и плотность состояний:dnLm.=dE 2π= 2 En(6.9)Таким образом, в одномерном случае с увеличением энергииплотность состояний уменьшается.Решение данной задачи еще раз показывает, что если движение ограничено в координатном пространстве, то оно квантуется.
Квантование движения означает квантование импульса иэнергии, каждым значениям которых соответствуют стационарныесостояния. Набор разрешенных дискретных значений энергии называется энергетическим спектром частицы.Гл. 6. Объем квантового состояния. Плотность состояний183Замечание. Условие (6.1) отличается от условия возбуждениясобственных (нормальных) колебаний в ограниченной среде, когдаобразуются стоячие волны и на длине L укладывается целое числодлин полуволн:L = n⋅λ/2 .В случае струны на границахΨ (0) = Ψ ( L) = 02(6.10)(6.11)2и Ψ (0) = Ψ ( L) = 0 , то есть вероятность перейти границу равнанулю.Полная аналогия с обычными волнами не возможна, так какстационарные решения системы в случае (6.10) и (6.11) изображались бы стоячими волнами, образующимися в результате отражений волн.
Скорость распространения энергии в стоячей волне равна нулю, а частица, поведение которой описывается волновойфункцией, перемещается в области потенциальной ямы, перенося ссобой энергию.По условию (6.1) волновая функция периодична по L, и определена во всем пространстве как бегущая волна с однородной плотностью вероятности ΨΨ* = 1 L (в отличие от стоячих волн, длякоторых ΨΨ* = (2 L)sin 2 (nπx L) ). Таким образом, условие Борна–Кармана обеспечивает непрерывность волновой функции награницах потенциальной ямы, сохраняя возможность использования бегущих волн для описания частиц.Ответ. pn =2π= dn2 π=(2π=) 2 2Lmn , En =n , p1 =,=.2LL dE 2π= 2 En2mL§6.2. Частица в трехмерной потенциальной ямеЗадача 6.2.
(Квантовые состояния молекул идеального газа.)Идеальный газ, состоящий из N молекул, заключен в сосуд, имеющий форму куба со стороной L. Масса одной молекулы m. Определите степень вырождения энергетических уровней и число доступных состояний Γ( E ,V , N ) в интервале значений ( E , E + dE ) дляодной молекулы и системы, состоящей из N одноатомных молекул.184ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение. В одномерном случае при прямолинейном движениичастицы вдоль оси ОХ ее импульс может принимать значения, отмеченные точками на рис.
6.2 а (см. задачу 6.1). Если частица движется в двумерном координатном пространстве, то разрешеннымзначениям импульса pi на плоскости px py соответствуют центрыквадратов со стороной 2π= / L (рис. 6.2 б). При движении в трехмерном координатном пространстве разрешенным значениям импульсов соответствуют центры кубиков со сторонами 2π= / L(рис. 6.2 в).Рис. 6.2. Разрешенные дискретные значения проекций импульса в одномерном (а),двухмерном (б) и трехмерном (в) случаях у молекулы газа могут принимать только дискретные значения, кратные 2π= / L .Поскольку импульс характеризует состояние частицы в импульсном пространстве, то кубик со стороной 2π= / L представляетсобой одно квантовое состояние частицы в импульсном пространстве.
Объем одного квантового состояния равен3⎛ 2π= ⎞Δpx ⋅ Δp y ⋅ Δpz = ⎜(6.12)⎟⎝ L ⎠Если известен импульс р = (px, py, pz) частицы и масса m, то иззакона дисперсии можно найти ее кинетическую энергию Е (энергетический уровень, на котором находится данная частица):2p 2 px2 p y pz2=++.(6.13)E=2m 2m 2m 2mГл. 6.
Объем квантового состояния. Плотность состояний185Если значение энергии частицы заключено в интервале( E , E + dE ) , то в импульсном пространстве этому значению энергии соответствует множество квантовых состояний, отличающихсянаправлением импульса р. Эти состояния заключены в сферическом слое (рис. 6.3), радиус которого pE определяется из (6.13):pE = 2mE . (6.14)Дифференцируяуравнение (6.14) по энергии, находим связь интервала энергии dE с толщиной сферического слояdpE в импульсном пространстве:mdE .
(6.15)2EЧисло микросостояний,соответствующихзначениям энергии в интервале ( E , E + dE ) — эточисло Γ1 доступных состояний одной частицы,находящейся в объемеdpE =Рис. 6.3. Шаровой слой (затемнен), в которомнаходятся квантовые состояния молекулыидеального одноатомного газа, заключенной вобъеме V = L3 и имеющей значение энергии винтервале ( E , E + dE ) и импульс pE = 2mE .V = L3 и имеющей заданное значение энергии. Полное число доступных состояний, имеющих одну и ту же энергию, называется степенью вырожденияданного энергетического уровня g ( E ) .
Оно равно объему шарового слоя 4πpE2 ⋅ dpE , деленному на объем (2π= / L)3 квантовогосостояния в импульсном пространстве:Γ1 ≡ g ( E ) =4πpE2 ⋅ dpE(2π= / L)3=2π(2m)3/ 2(2π=)3V EdE .(6.16)Число состояний Γ1 ≡ g ( E ) , соответствующих одному и томуже интервалу энергии( E , E + dE ) , с ростом энергии( E1 → E2 → E3 ) увеличивается пропорциональноEdE (6.16),ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ186несмотря на то что в импульсном пространстве ширинаdp ~ dE / E соответствующего сферического слоя уменьшается сростом энергии: dp1 > dp2 > dp3 (рис. 6.4).Рис.
6.4. При фиксированной ширине энергетического интервала dE с ростом энергии частицы ( E1 → E2 → E3 ) ширина сферического слоя dp ~ dE /E (6.15) в импульсном про-странстве уменьшается dp1 > dp2 > dp3 , а степень вырождения (6.16) увеличивается.Рассмотрим систему из N молекул, находящихся в кубическом сосуде объемом V = L3 , где L – длина стороны куба. Определим число доступных состояний этой системы с энергией, меньшейNЕ, где E = ∑ Ei , а Ei – энергия i-й частицы.
Состояния всех N часi =1тиц в импульсном пространстве описываются 3N параметрами:( p1x , p1 y , p1z , p2 x , p2 y , p2 z ,..... pNx , pNy , pNz ) . Поэтому искомые состояния находятся внутри 3N-мерной сферы, радиус рЕ которой вимпульсном 3N-мерном пространстве также определяется соотношением (6.15) pE = 2mE . Действительно, максимальное значение, которое может иметь, например, p1x , определяется условиемравенства нулю проекций импульсов всех других частиц, а такжеp1 y = p1z = 0 .В одномерном случае состояния, энергия которых ≤ E , в пространстве импульсов находятся на интервале 2 pE (удвоение обусловлено тем, что импульс может быть направлен как в положи-Гл. 6. Объем квантового состояния. Плотность состояний187тельном, так и в отрицательном направлении координатной оси):Число состояний Ω1 равно2 pEΩ1 =~ L ⋅ pE ~ L E .2π= / LВ двумерном случае Ω2 пропорционально площади круга радиусом pE :Ω2 =πpE22~ L2 ⋅ pE2 ~ L2 E .(2π= / L)В трехмерном случае Ω3 пропорционально объему шара с радиусом pE :Ω3 =4 πpE3~ L3 ⋅ pE3 = V ⋅ E 3/ 2 .3 (2π= / L)3Следовательно, по аналогии можно ожидать, что в 3N-мерномпространстве для импульсов N молекул число состояний Ω3 N пропорциональноΩ3 N ~ L3 N ⋅ pE3 N = V N ⋅ E 3 N / 2 .Определяя приращение dΩ3N при бесконечно малом возрастании энергии dE , получаем число состояний, энергия которыхлежит в интервале ( E , E + dE ) : Γ3 N = d Ω3 N ~ V N E 3 N / 2−1dE .Поскольку число молекул в газах очень велико, в показателестепени у энергии Е можно пренебречь единицей.
Тогда окончательно для изолированной системы «идеальный газ», состоящей изN одноатомных молекул, полное число доступных состоянийΓ( E ,V , N ) с энергией в интервале значений ( E , E + dE ) :Γ( E ,V , N ) ~ V N E 3 N / 2 dE .(6.17)Замечания1. Выше был рассмотрен случай, когда вероятность того, чточастица имеет энергию Е, не зависит от ее положения в объеме V.Если система находится во внешнем поле и энергия частиц различна в разных точках объема: E = E (ri ) , то для N частиц следует рас-сматривать не только 3N -мерное импульсное пространство {pi } , а188ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ6N-мерное фазовое пространство {ri , p i } – пространство координат r и импульсов p.
В этом случае объем квантового состояниячастицы в координатно-импульсном фазовом пространстве равенΔpx ⋅ Δp y ⋅ Δpz ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ Δz = (2π=)3 . Число состояний в фазовомобъеме dpx ⋅ dp y ⋅ dpz ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ d τp d τr равноdpx ⋅ dp y ⋅ dpz ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz d τp d τr≡.dN =(2π=)3(2π=)3Вероятность нахождения частицы в элементе фазового проd τp d τr = dpx ⋅ dp y ⋅ dpz ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dzвблизиточкистранства( px , p y , pz , x, y , z ) фазового пространства можно трактовать, каквероятность того, что частица имеет заданную энергию E (p, r ) ,соответствующую этому элементу фазового пространства.2. Вычисление термодинамической вероятности позволяетнайти термодинамические параметры для системы «идеальныйгаз».
Например, из соотношения (6.17) можно получить выражениедля энтропии идеального газа:3S = k B ln Γ( E ,V , N ) = S0 + Nk B lnV + Nk B ln E .2Для одного моля идеального газа ( N = N A )CV = 3k B N A/ 2 = 3R / 2 и S = k B ln Γ = S0 + R lnV + CV ln E ,где S0 – часть энтропии, не зависящая от энергии и объема.2π(2m)3/ 2Ответ.
Γ1 =V EdE , Γ( E ,V , N ) ~ V N E 3 N / 2 dE .3(2π= )§6.3. Импульс и энергия ФермиЗадача 6.3. (Электроны в металле.) Найдите объем квантового состояния (в импульсном пространстве) для валентного электрона в металле, имеющем форму куба со стороной L. Определитеимпульс и максимально возможную энергию электронов при абсолютном нуле температур, а также плотность электронных состояний ρ( E ) .
Концентрация свободных электронов в металле n.Решение. Благодаря кулоновскому полю положительно заряженных ионов полная энергия электронов в кристалле меньше, чемГл. 6. Объем квантового состояния. Плотность состояний189в вакууме на величину, определяющую работу выхода электронов,например, при внешнем фотоэффекте (§1.2, 1.3). Поэтому кристаллможно рассматривать как потенциальный ящик для электронов,ограниченный поверхностью кристалла, с некоторым постояннымзначением потенциала внутри объема кристалла (см. задачу 5.6).Таким образом, решение данной задачи аналогично решениюзадачи 6.1 и дискретные допустимые значения компонент волнового вектора (а следовательно, и импульса p = =k ) в потенциальной яме равны2π2π2πn y , k zn =nz ,(6.18)k xn =nx , k yn =LLLpxn =2π=2π=2π=nx , p yn =n y , pzn =nz ,LxLyLz(6.19)где nx, ny, nz = ±1, ±2,…Каждое разрешенное состояние занимает элементарныйквантовый объем в пространстве волновых векторов k:(2π)3(2π)3Δk x ⋅ Δk y ⋅ Δk z ==,Lx Ly LzVи импульсов p:(2π= )3 h3=,(6.20)VVгде V = LxLyLz – объем кристалла.Квантование волнового вектора (импульса) приводит к квантованию кинетической энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
