Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это означает, что если две идентичные частицы находятся в одном и том же состоянии, то они могут описываться только симметричной полной волновой функцией.Это бозе-частицы. Ферми-частицы описываются антисимметричными волновыми функциями, поэтому две ферми-частицы не могут находиться в одном и том же состоянии. В этом заключаетсясущность принципа Паули.Принцип Паули (принцип запрета), сформулированный дляферми-частиц, запрещает двум (и более) тождественным частицам с полуцелым спином одновременно находиться в одном состоянии.Для свободного электрона состояние задается значением волнового вектора k и проекцией спина sz .
Поэтому в состоянии с за-196ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХданным вектором k могут находиться только два электрона со спиновыми числами противоположных знаков. Таким образом, принцип Паули объясняет корреляцию между частицами. Вероятностьтого, какая-либо частица займет то или иное состояние зависит отстепени заполнения состояний остальными частицами.Следует отметить, что квантовые свойства и статистическиезакономерности ансамблей тождественных частиц начинают проявляться ниже определенной температуры Т0, называемой температурой вырождения. При этой температуре длина волны деБройля, соответствующая энергии теплового движения частиц,становится сравнимой со средним расстоянием между частицами.При Т >> Т0 длина волны де Бройля частиц значительно меньшесреднего расстояния между ними и квантовые свойства частиц непроявляются.§7.2.
Ферми-частицы.Функция распределения Ферми–ДиракаЗадача 7.1. Пусть ферми-частицы могут находиться на одномиз двух уровней энергии: Е1 со степенью вырождения g1 (g1 — число различных состояний частиц с одной и той же энергией Е1) и Е2со степенью вырождения g2. Число ферми-частиц великоn = n1 + n2>>1, где n1 — число частиц в состояниях с энергией Е1, аn2 — число частиц в состояниях с энергией Е2. Ферми-частицы находятся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Напомним, что абсолютная температура, как параметр термодинамического равновесия, в статистической термодинамике определяетсясоотношениемd ln Γ1=,(7.5)dEkBTгде Γ – термодинамическая вероятность состояния системы с энергией Е.Определите наиболее вероятное распределение n частиц подвум энергетическим уровням.
Получите функцию распределенияферми-частиц – вероятность, с которой частица может находитьсяв состоянии с энергией Е.Решение. Термодинамическая вероятность Γ1 заполненияуровня энергии Е1, то есть число различных вариантов заполнения,Гл. 7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны197при которых из g1 состояний n1 заняты, а p1 = g1 – n1 состояний свободны, равно числу сочетаний C gn1 :1Γ1 = Cng1 =1g1 !g != 1 .( g1 − n1 )!n1 ! p1 !n1 !Аналогично, число Γ 2 возможных состояний системы, когдаиз g2 состояний с энергией Е2 частицами занято n2 состояний, аp2 = g2 – n2 состояний свободны, равноΓ 2 = C gn2 =2g2 !g2 !=.( g 2 − n2 )!n2 ! p2 !n2 !При этом учитывается, что в каждом состоянии может находиться только одна ферми-частица с заданным направлением спина.Число способов, которыми осуществляется такое распределение всей системы частиц по состояниям (термодинамическая вероятность данного распределения частиц), когда одновременно из g1и g2 состояний с энергиями Е1 и Е2 заполнено частицами соответственно n1 и n2 состояний, определяется как произведение термодинамических вероятностей Г1 и Г2:Γ = Γ1Γ2 =g1! g 2 !.n1! p1!n2 ! p2 !(7.6)Термодинамическое равновесное состояние соответствует наиболее вероятному распределению n1 и n2, при котором функция Γ(7.6) имеет максимум.
Считая заданной температуру Т, для определения равновесного распределения n1 и n2 воспользуемся соотношением (7.5). Для этого зададим изменение энергии системы dЕ, тоесть рассмотрим некоторое возмущение, которое вызывает переходчастиц с одного уровня энергии на другой. При этом увеличениечисла заполненных состояний на уровне Е1 происходит за счетуменьшения такого же числа состояний на уровне Е2, то естьdn1 = –dn2, так как полное число заполненных состояний (полноечисло частиц) остается постоянным.
В результате энергия системыЕ = n1Е1 + n2Е2 изменится на величинуdЕ = (Е1 – Е2) dn1..(7.7)198ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПри таком переходе становится другой и величина термодинамической вероятности Γ распределения энергии.
Найдем изменение ее логарифма d(lnГ), учитывая, что1) для больших чисел n справедлива формула Стирлинга:ln n! = n lnn – n;2) степени вырождения g1 и g2 в результате перехода не изменяются, и потому dg1=dg2 = 0;3) полное число электронов в системе постоянно, т.е.dn1 = −dn2 .Логарифмируя и дифференцируя соотношение (7.6) и используя записанные выше условия, получаем:d ( ln Γ ) = d ( ln ( g1 !) + ln ( g 2 !) ) −⎛n p ⎞− d ( ln ( n2 !) + ln ( n2 !) ) − d ( ln ( p1 !) + ln ( p2 !) ) = ln ⎜ 2 1 ⎟ dn1.⎝ n1 p2 ⎠Это выражение с учетом (8.8) можно переписать в виде:n pd ln Γ1=ln 2 1 .dEE1 − E2 n1 p2(7.8)Учитывая (7.5) и разделяя параметры первого и второго энергетических уровней, запишем (7.8) в виде:E1 + kBT lnn1n= E2 + kBT ln 2 .p1p2Отсюда следует, что для системы, находящейся в термодинамическомравновесиипритемпературеТ,выражение( E + kBT ln(n p) ) , определяющее степень занятости n p любогоэнергетического уровня Е, для данного ферми-газа является величиной постоянной.Обозначая эту константу как μ, имеем:nE + kBT ln = μ .(7.9)pТеперь учтем, что по определению функции распределениячастиц по энергиям (плотность заполнения данных состояний частицами) f(Е) число заполненных состояний n и число свободныхсостояний p можно представить в виде: n = g f(Е);p=g – gf(Е) = g (1 – f(Е)).Гл.
7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоныТогда (7.9) принимает вид:E + kBT lnf (E)1− f (E)=μ.199(7.10)Из (7.10) следует выражение для функции f(Е) распределенияферми-частиц по энергии при температуре Т, которое носит наименование функции Ферми–Дирака:1.(7.11)f (E) =⎡E −μ⎤exp ⎢⎥ +1⎣ kBT ⎦Функция f(Е) равна вероятности того, что в системе идеальногогаза ферми-частиц, находящихся в тепловом равновесии при температуре Т, одно из состояний с энергией Е занято частицей. Видфункции (7.11) представлен на рис. 7.1 а.−1⎛⎛ E −μ⎞ ⎞Ответ.
f ( E ) = ⎜ exp ⎜⎟ + 1⎟⎟ .⎜⎝ kBT ⎠ ⎠⎝Замечания1. Величина μ в (7.9) называется химическим потенциалом.Вероятность f(Е) заполнения электроном состояния с энергиейЕ = μ при любых температурах (рис. 7.1 б) равна f(Е=μ) = 1/2. Введенное определение химического потенциала совпадает с термодинамическим определением химического потенциала, равного изменению любого термодинамического потенциала (внутренней энергии, энтальпии, свободных энергий Гиббса и Гельмгольца) при изменении числа частиц системы на единицу.2.
При Т = 0 К функция распределения Ферми–Дирака имеетвид ступеньки. Значение химического потенциала при Т = 0 К носит специальное название – энергия Ферми ЕF (§6.3). Все состояния с Е < ЕF при Т = 0 К заняты, а с Е > ЕF – свободны.При Т > 0 К, благодаря хаотическому тепловому движениючастиц, функция распределения Ферми–Дирака размывается в окрестности энергии Ферми.При низких температурах (kВT << μ) функцию f(Е) в областизначений Е, близких к μ, можно аппроксимировать линейной зави-200ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХсимостью, если разложить f(Е) в ряд Тейлора и ограничиться нуле∂fвым и первым членами разложения: f lin ( E ) = f ( μ ) +( E − μ) .∂E μРис. 7.1.
Функция распределения Ферми–Дирака для различных температур приусловии, что полное число частиц постоянно и не зависит от температуры:kВT << μ = ЕF (а); Т4 > T3 > T2 > T1 > T0 = 0 К (б), линейная экстраполяция (7.12)при низких температурах (в).Линейная зависимость flin(E) для Е вблизи μ (рис. 7.1 в) совпадает с касательной к f(E) в точке Е = μ:⎤1⎡1f lin ( E ) = ⎢1 −(7.12)( E − μ )⎥ .2 ⎣ 2kBT⎦При линейной аппроксимации функция распределения достигает единицы при Е1 = μ – 2kВT и нуля — при Е2 = μ + 2kВT. Такимобразом, можно считать, что «размытие» распределения Ферми–Дирака при низких температурах составляет ≈ 4kВT.Гл.
7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны201С ростом температуры ступенька Ферми размывается ещебольше (рис. 7.1 б). Значение химического потенциала уменьшается и может стать отрицательным.Значение ЕF (μ при Т = 0) определяет температуру вырождения ферми-газа:T0 = E F / k B .(7.13)При T < T0 газ является вырожденным, так как подчиняетсястатистике Ферми – Дирака. При T > T0 газ не вырожден и подчиняется классической статистике.Задача 7.2. Доказать, что для системы вырожденного газа ферми-частиц вероятность того, что состояние с энергией EF + δ занято, равна вероятности того, что состояние с энергией EF − δ свободно.Решение.Запишемдоказываемоесоотношениеf ( EF + δ) = 1 − f ( EF − δ), используя явный вид функции распределения Ферми–Дирака:11.= 1−⎛ EF + δ − μ ⎞⎛ EF − δ − μ ⎞exp ⎜exp ⎜⎟ +1⎟ +1⎝ k BT⎠⎝ k BT ⎠Поскольку газ вырожденный, то химический потенциал можносчитать равным энергии Ферми: μ = EF , тогда EF − μ = 0 :−1−1⎡⎡⎛ δ ⎞ ⎤⎛ δ ⎞ ⎤⎢ exp ⎜⎟ + 1⎥ = 1 − ⎢ exp ⎜ −⎟ + 1⎥ .⎝ k BT ⎠ ⎦⎝ k BT ⎠ ⎦⎣⎣Приведем правую часть последнего выражения к общему знаменателю:−1−1⎡⎛ δ ⎞ ⎤⎛ δ ⎞⎡⎛ δ ⎞ ⎤⎢ exp ⎜⎟ + 1⎥ = exp ⎜ −⎟ ⎢exp ⎜ −⎟ + 1⎥ .⎝ k BT ⎠ ⎦⎝ k BT ⎠ ⎣⎝ k BT ⎠ ⎦⎣Умножив числитель и знаменатель правой частиexp[δ ( k BT )] , получим верное тождество:⎡⎛ δ⎢ exp ⎜⎝ k BT⎣⎞ ⎤⎟ + 1⎥⎠ ⎦−1⎡⎛ δ ⎞⎤≡ ⎢1 + exp ⎜⎟⎥⎝ k BT ⎠ ⎦⎣−1.на202ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 7.3.
Найти значения функции распределения Ферми–Дирака f ( E ) для вырожденного ферми-газа при E = EF + δi , еслиδ1 = k BT , δ2 = 2k BT , δ3 = 4k BT , δ4 = 10k BT . Для δ1 оценить погрешность, допускаемую при линеаризации ступеньки в виде1⎛ E −μ⎞f lin ( E ) = ⎜ 1 −⎟ (7.12).2 ⎝ 2kBT ⎠Решение. Учитывая, что для вырожденного Ферми-газаμ = EF , функцию распределения Ферми–Дирака можно представить в виде:11.f (E) ==⎛ E −μ⎞⎛ δi ⎞exp ⎜⎟ + 1 exp ⎜⎟ +1⎝ kBT ⎠⎝ kBT ⎠Получаем следующие численные значений функций Ферми–Дирака :f1= (1 + e) −1≈ 0,27 ; f 2 = (1 + e2 ) −1≈ 0,12 ; f 3= (1 + e4 ) −1≈ 0,018 ;f 4 = (1 + e10 )−1 ≈ 4,5 ⋅ 10−5 .Относительная погрешность, допускаемая при линеаризации:[ f (δ1 ) − f lin (δ1 )]/ f (δ1 ) ≈ 0,074 = 7, 4% ,δ1⎛где f lin (δ1 ) = ⎜1 − 12 ⎝ 2kBT⎞ 1⎛kBT⎟ = ⎜1 −kBT22⎠⎝⎞⎟ = 0, 25 .⎠Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
