Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 31
Текст из файла (страница 31)
8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы219Введенные бегущие волны, как и нормальные колебания всплошных средах, характеризуются дискретным набором волновыхчисел :2π 2 πqi =i , (i = ±1, ±2, ..., ±N/2).=(8.4)LλiКроме того, учет дискретности кристаллических структур (вотличие от сплошных сред указывает на наличие максимальногозначения волнового числа q, соответствующего минимальной длине волны (i = N/2). В одномерном случае максимальное значениеволнового числа равно ± π a .
Таким образом, в одномерном случаевсе возможные значения волнового числа находятся в интервалеππ− ≤q≤ ,(8.5)aaто есть на отрезке значений волновых векторов 2π/a.Теперь, в соответствии с принципом корпускулярно-волновогодуализма, можно бегущую волну с волновым вектором q и частотой ω представить как совокупность частиц — квантов, каждый изкоторых имеет энергию(8.6)E = =ωи обладает импульсомp = =q .(8.7)Соотношения (8.6) и (8.7) аналогичны уравнениям Эйнштейна,определяющим элементарную частицу — фотон как квант электромагнитных волн. По аналогии с фотонами для элементарныхвозбуждений решетки Я.Б.
Френкелем было предложено названиефонон. Фононы — квазичастицы, описывающие коллективныевозбуждения кристаллической решетки. Они введены теоретическидля упругих сред, поэтому их не может быть вне такой среды.Поскольку волновой вектор (и импульс) фонона может принимать только дискретные значения qi с интервалом Δq0 = 2π L , топринято говорить, что фонон находится в состоянии с волновымвектором q, а Δq0 = 2π L — объем этого состояния (в одномерном случае). В трехмерном случае объем одного состояния в qпространстве равенΔq03 = ( 2π L ) .3(8.8)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ220В одномерной цепочке атомов разрешенные значения волнового вектора эквидистантны (8.4), и число различных значений волнового вектора равно отношению длины интервала (8.5) к минимально возможному значению qmin = 2π/L (8.4):(2π/a)/(2π/L) = N.Полное число физически различных значений волновогочисла всегда равно полному числу мод нормальных колебаний,которое, в свою очередь, определяется числом N атомов в решетке.
Это обстоятельство позволяет определить предельное значение волнового числа в трехмерном случае (одинаковое для продольных и поперечных волн).Полное число возможных нормальных колебаний одинаковойполяризации в трехмерном случае равно:(4 3) πq3max=N,(8.9)( 2 π / L )3где (4 3) πq 3max— объем сферы в пространстве волновых векторовс предельным значением волнового вектора, ( 2π / L ) (8.8) – объемквантового состояния в пространстве волновых векторов.Отсюда получаем предельное значение волнового числа дляфононов в трехмерном случае31/ 3N⎤⎡qmax = ⎢6π2 ⎥ .(8.10)3⎦L⎣Фононы являются бозе-частицами: число фононов в одномсостоянии (с заданной частотой и волновым вектором) не ограничено принципом запрета Паули и может быть сколь угодно большим.Для фононов qmax (8.10) вычисляется подобно pF (6.23) дляэлектронов металла. Однако максимальное значение импульсаэлектронов в металле равно pF только при Т = 0 К. При Т ≠ 0 Кэлектроны могут переходить в состояния с p > pF .
У фононов жесостояний с q > qmax не существует. С ростом температуры растетчисло фононов n в каждом возбужденном состоянии с q ≤ qmax (иувеличивается энергия этих мод (8.1)).Гл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы221Среднее число фононов в каждом состоянии зависит только оттемпературы и от энергии фонона, то есть его частоты (распределение Бозе–Эйнштейна ((7.18), задача 7.7):1.(8.11).n =⎛ =ω ⎞exp ⎜⎟ −1⎝ k BT ⎠Замечания.
1. Область значений волнового числа (8.5) называется первой зоной Бриллюэна в одномерном случае (более подробно см. §9.4). Напомним, что волны с волновыми числамиq = ±π / a , соответствующими границам зоны Бриллюэна, испытывают брэгговское отражение.2. Поскольку L >> a, то объем q-состояния (8.8), характеризующий дискретность спектра, мал, и спектр можно считать квазинепрерывным, а минимально возможное значение по модулю волнового вектора – равным нулю. В этих условиях можно говорить озаконе дисперсии фононов (зависимости частоты от волновоговектора ω(q) (например, (8.3))), как о некоторой непрерывнойфункции волнового вектора q.3. При введении фононов использовалась следующая схемарассмотрения: нормальные колебания сплошной среды → квантовый осциллятор → система квазичастиц (фононов), описываемыхуравнениями (8.6), (8.7), связывающими волновые и корпускулярные характеристики.4.
В уравнениях (8.1) и (8.11) n – это• номер энергетического уровня возбуждения квантового осциллятора;• число квантов возбуждения квантового осциллятора;• число квазичастиц (фононов), обладающих энергией =ω иимпульсом p = =q (результат сопоставления нормальныеколебания ↔ квантовый осциллятор).Задача 8.1. Учитывая независимость амплитуды нулевых колебаний от частоты, оцените абсолютное значение этой амплитуды, рассматривая колебания решетки с максимально возможнойчастотой ωmax (λmin = 2a). При этом энергию нулевых колебанийможно положить равной классической механической энергии колебаний одного атома решетки.
Масса атома решетки m.222ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение. В приближении задачи энергия нулевых колебанийравна классической механической энергии колебаний одного атомарешетки2=ωmax mωmaxx02=,(8.12)22где m – масса атома.Полагая ωmax ≈ 2β m = ωpar , где ωpar – парциальная частота,равная собственной частоте колебаний атома при закрепленных(неподвижных) соседях, β – упругая постоянная решетки, из формулы (8.2) находим амплитуду нулевых колебаний:14⎛ =2 ⎞=x0 ==⎜⎟ .mωmax ⎝ 2mβ ⎠Для большинства металлов максимальная частота по порядку величины равна ωmax ~ 1013 c −1 .M64 ⋅ 10−3=≈ 10−25 кг , амплитуда колебанийNA6 ⋅ 1023приблизительно равнаДля меди m =x0 =10−34=≈= 10−11 ì = 0,1Å .mωmax10−25 ⋅ 1013Межатомные расстояния составляют несколько ангстрем.Амплитуда нулевых колебаний атомов возрастает при уменьшении их массы и уменьшении упругой постоянной β.
При малыхm и β она может быть порядка межатомных расстояний a. Такимобразом, свойства кристаллической структуры должны зависеть отвеличины отношения x0/a. При x0/a << 1 вероятность перескоковатомов из занимаемых ими положений, то есть вероятность делокализации, мала. Это условие выполняется практически для всехкристаллических решеток элементов периодической системы и ихсплавов, за исключением гелия. Поэтому во всех веществах приТ = 0 К каждый атом можно считать локализованным в областипространства, значительно меньшей объема элементарной ячейки∼а3.Жидкий гелий, для которого x0 a ~ 1 , является единственной вприроде квантовой жидкостью, не замерзающей при нормальныхдавлениях вплоть до абсолютного нуля температур.
АналогичнымиГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы223свойствами обладает его изотоп 3Не (задача 7.4). При повышениидавления β возрастает. При давлении ~25 атмосфер жидкий гелийзамерзает при T = 1 К, образуя квантовый кристалл с гексагональной плотноупакованной решеткой. Квантовый кристалл сочетаетсвойства кристалла (имеет определенную кристаллическую структуру) и жидкости: если на пластинку кристаллического гелия положить металлический шарик, то через некоторое время шарикпройдет насквозь через пластинку, структура которой после этоговосстановится до первоначальной.Таким образом, в основном состоянии (при Т = 0 К) атомыкристалла совершают сложные периодические движения, спектркоторых определяется спектром частот всех мод нормальных колебаний.14⎛ =2 ⎞=Ответ.
x0 ==⎜mωmax ⎝ 2mβ ⎟⎠.Задача 8.2. Оцените вероятность возбуждения одного, двухи трех квантов с максимальной частотой ωmax при температуре, равной температуре Дебая ТD, положив ее равной комнатной ≈ 300К,что справедливо для большинства металлов.Решение. Максимальная частота фононов определяется температурой Дебая: =ωmax = k BTD (8.2).Используя соотношение (7.17) для вероятности возбуждения nфононов при температуре Т:wω, n = ⎡⎣1 − exp ( − =ω (k BT ) )⎤⎦ ⋅ exp ( − n ⋅ =ω (k BT ) ) ,находим вероятность возбуждения при температуре Дебая n фононов (квантов) с максимальной частотой ωmax = k BTD / = :w1 = (1 – e–1) e–1 = 0,232 (n = 1);w2 = (1 – e–1) e–2 = 0,086 (n = 2);w3 = (1 – e–1) e–3 = 0,032 (n = 3).Таким образом, вблизи комнатной температуры, в среднемоколо 20% (точнее — 23,2%) атомов находятся на первом уровневозбуждения, соответствующем максимальной частоте ωmах, а около 80% атомов на этой частоте совершают только нулевые колебания.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ224При температуре ТD/2 доля возбужденных атомов на максимальной частоте еще меньше и составляет ≈ 12%, при ТD/3 – ≈ 5%.Только при температуре 1,4ТD вероятность возбуждения 1 квантана частоте ωmах приближается к единице.Ответ.
w1 = 0,232; w2 = 0,086; w3 = 0,032.Задача 8.3. Найдите среднюю энергию одной моды колебаний,(волны, распространяющейся в определенном направлении с определенной поляризацией и частотой ω) при температуре Т. Рассмотрите предельные случаи низких и высоких температур.Решение. Используя выражение для среднего равновесногочисла возбужденных квантов на частоте ω при температуре Т (распределение Бозе–Эйнштейна (8.11)), можно вычислить среднююэнергию колебательной моды (осциллятора) на частоте ω:⎛⎛ =ω=ω1= =ω + n ⋅ =ω =+ =ω ⎜ exp ⎜22⎝ k BT⎝−1⎞ ⎞(8.13)⎟ − 1⎟ .⎠ ⎠Первое слагаемое в (8.13) – энергия нулевых колебаний, второеслагаемое – средняя энергия тепловых колебаний на данной частотеω при температуре Т:Eωfull−1⎛⎛ =ω ⎞ ⎞(8.14)Eω = n ⋅ =ω = =ω ⎜ exp ⎜⎟ − 1⎟ .⎝ k BT ⎠ ⎠⎝В приближении низких температур ( T << hω k B для моды счастотой ω) среднее число возбужденных квантов n и их средняятепловая энергия Eω экспоненциально малы:⎛ =ω ⎞⎛ =ω ⎞n ≈ exp ⎜ −E = n =ω ≈ =ω ⋅ exp ⎜ −⎟ .
(8.15)⎟;⎝ k BT ⎠⎝ kBT ⎠При высоких температурах ( T >> =ω k B , классическое приближение) среднее число возбужденных квантов и средняя энергияосциллятора пропорциональны температуре:k Tn ≈ B ,Eω = n ⋅ =ω ≈ kBT .(9816)=ωТаким образом, при низких температурах (когда kBT меньшеэнергии кванта =ω ) волны на частотах =ω > kBT практически неГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела.
Фононы225возбуждаются (осцилляторы находятся на нулевом уровне возбуждения). При kBT > =ω энергия моды колебаний (квантового осциллятора на частоте ω) приблизительно равна k BT .−1⎛⎛ =ω ⎞ ⎞приT << =ω kBEω = =ω ⎜ exp ⎜⎟ − 1⎟ ;kTB⎝⎠⎝⎠⎛ =ω ⎞E = n =ω ≈ =ω ⋅ exp ⎜ −⎟ , при T >> =ω kB E = n ⋅ =ω ≈ kBT .⎝ kBT ⎠Ответ.§8.5. Закон дисперсии фононовЗадача 8.4. (Закон дисперсии фононов в одномерной цепочкеидентичных атомов.) Получите аналитическое выражение законадисперсии фононов для простейшей модели одномерного кристалла: цепочки длиной L, составленной из периодически (с периодома) расположенных атомов массой М, связанных упругими пружинками с коэффициентом жесткости β (рис.
8.2). Определите групповую скорость фононов.Решение. Для определения закона дисперсии фононов ω(q) искорости их движения d ω dq рассмотрим динамику распространения возбуждений.a(n–1)anаa(n+1)x.........ξn–1ξnξξn+1Рис. 8.2. Модель одномерного кристалла. На верхней оси штрихами показаныположения равновесия атомов; на нижней оси изображены атомы при ихотклонении от положений равновесия: ξn — смещение n-го атома из положения равновесия хn = аn.Запишем уравнение движения для n-го атома, учитывая действие на него в первом приближении только ближайших соседей:M ξn = β ξn + 1 − ξn − β ξn − ξn -1 ,(или) ()226ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ()M ξn = β ∑ ξn − i − ξn ,i =±1(8.17)где ξn — смещение n-го атома из положения равновесия хn = аn.Будем искать решение в виде бегущей волны:ξn = A exp ⎡⎣i ( ωt + qna ) ⎤⎦ .(8.18)Функция ξn должна удовлетворять условию цикличности (условию Борна–Кармана (6.1):ξ( x) = ξ( x + L) ,(8.19)в соответствии с которым волновой вектор принимает дискретныйнабор значений2π2πqi =i=i (i = ±1, ±2, ..., ±N/2), (8.20)NaLкоторый совпадает с набором волновых чисел (8.4), описывающихвсевозможные возбуждения в одномерном кристалле.Подставляя (9.18) в (9.17), для частоты колебаний атомов получаемω = ±2βqaβ± qa± qasinsin=2= ωmax sin,M2M22(8.21)где ωmax = 2 β M .Частота колебаний атома не зависит от его порядкового номера,а следовательно, все атомы колеблются с одной и той же частотой иамплитудой А (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
