Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(8.18)), что соответствует распространению бегущих волн. Поскольку частота не может быть отрицательной, тознак ± перенесен к волновому вектору и соответствует двум волнам,распространяющимся в противоположных направлениях. Зависимость ω(q) (8.21) выражает закон дисперсии акустической ветвипродольных фононов (рис. 8.3).При низкочастотных колебаниях (λ >> a или qa << 1) закондисперсии можно линеаризовать, разлагая (8.21) в ряд Тейлора по qдо первого порядка:⎛β ⎞(8.22)ω ≈ ⎜⎜ a⎟⎟ q ,⎝ M ⎠что характерно для звуковых волн, распространяющихся в непрерывной упругой среде . Таким образом, при λ >> a цепочка ведет себяГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела.
Фононы227как непрерывная упругая нить, в которой звуковые волны распространяются со скоростьюdωβVgr ==a.(8.23)dqMРис. 8.3. Закон дисперсии ω(q) акустической ветви продольных фононов для одномерной цепочки атомов (сплошная кривая) и линейный закон дисперсии звуковых волн в непрерывной среде (штриховая прямая).Групповая скорость фононов равна градиенту частоты в пространстве волновых векторов: Vgr = d ω dq .
Используя (9.21), дляакустических фононов имеемVgr( ak ) = ± aβqacos .M2(8.24)Равенство нулю групповой скорости при q = ± π a , т. е. на границе зоны Бриллюэна (8.5), имеет наглядную интерпретацию, еслирассматривать фононы как независимые и несвязанные с кристаллической структурой квазичастицы.На первый взгляд такое предположение кажется некорректным, поскольку фононы не являются внешними частицами по отношению к решетке. Они «рождены» решеткой, являются результатом ее возбуждения. Однако описание колебательного движения(возбуждений системы) с помощью квазичастиц имеет то преимущество, что квазичастицы (фононы), после их введения (определения закона дисперсии), можно рассматривать как ансамбль само-ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ228стоятельных частиц, движущихся в неподвижной кристаллическойструктуре, т.
е. находящейся в основном, невозбужденном состоянии. Тогда фононы, как и другие микроскопические частицы,испытывают брэгговское отражение на границе зоны Бриллюэнапри условии Вульфа–Брэггов q = ± π a . Условию q = ± π a (тоРис. 8.4. Зависимость групповой скорости акустических фононов от волновоговектора в линейной цепочке атомов.есть λ = 2а) соответствуют колебания соседних атомов в противофазе: Δϕ = qa = (π a ) a = π . Такие колебания представляют собой стоячую волну, которая не переносит энергии, ее групповаяскорость равна нулю. Узел стоячей волны всегда находится посредине между атомами, а изменение амплитуды происходит покосинусоиде (рис. 8.5).Рис.
8.5. Смещение атомов (б) в линейной цепочке (а) при возбуждении фононов сволновыми векторами q = ± π a (λ = 2а).Ответ.ωmax = 2 β M .ω = ωmax sin± qa,2aqaVgr( ak ) = ± ωmax cos ,22гдеГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы229Задача 8.5. (Фононы в одномерной цепочке, состоящей изатомов двух сортов). В одномерной цепочке атомов (рис. 8.6)масса четных по порядку номеров атомов (черные кружки) больше, чем масса нечетных (белые кружки): М1 > М2.
Определите закон дисперсии и групповую скорость фононов в приближениидлинных и коротких волн.Рис. 8.6. а — одномерная цепочка из атомов двух сортов: масса атомов, отмеченных черными кружками больше массы атомов, отмечены светлыми кружкамиМ1 > М2; б — акустическая волна в цепочке с длиной волны λ = 8аРешение. Как и при решении задачи 8.4, запишем уравнениядвижения двух соседних атомов с разными массами:M 1ξ2n = β ξ2n + 1 + ξ2n -1 − 2ξ2n ,(8.25)()()M 2ξ2n + 1 = β ξ2n + 2 + ξ2n − 2ξ2n + 1 .(8.26)Решение уравнений будем искать в виде (8.18), то есть в видеколебаний атомов в среде, в которой распространяется волнаi ωt + qx )e(:ξ2 n = ζ e (i ωt + 2 nqa ),ξ2n +1 = ηe (i ωt + ( 2 n +1) qa )(8.27),(8.28)где координаты четных атомов равны x = 2na, нечетных –x=(2n+1)a, а ζ и η — соответствующие амплитуды колебаний.Подставляя (8.27) и (8.28) в уравнения движения (8.25) и (8.26),получаем систему уравнений:()−ω2 M1ζ = βη eiqa + e−iqa − 2βζ ,(8.29)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ230()−ω2 M 2 η = βζ eiqa + e −iqa − 2βη .(8.30)Система имеет нетривиальное решение, если детерминант коэффициентов этой системы равен нулю:2β − ω2 M1−2β cos qa−2β cos qa2β − ω2 M 2= 0.Полученное уравнение имеет два решения — две различныхсобственных частоты колебаний неоднородной цепочки атомов:2⎛ 1⎛ 11 ⎞1 ⎞4sin 2 qa.ω2± = β ⎜++⎟±β ⎜⎟ −M 1M 2⎝ M1 M 2 ⎠⎝ M1 M 2 ⎠(8.31)Как и в случае цепочки, состоящей из одинаковых атомов, дискретный набор волновых чисел находится из условий цикличностиБорна–Кармана (8.19) ξ2 n = ξ2 n+ N и ξ2 n+1 = ξ2n +1+ N :qi =2π2πi=i,NaLi = ±1, ± 2,...
±N.4(8.32)В приближении qa << 1, что соответствует длинноволновойобласти спектра, частоты можно записать в виде:⎛ 11 ⎞ω+ ≈ 2β ⎜+⎟,⎝ M2 M2 ⎠⎛2βω− ≈ ⎜ a⎜ M +M12⎝⎞⎟⎟ q .⎠(8.33)(8.34)Зависимость (8.34) аналогична (8.22) и описывает закон дисперсии длинноволновых продольных акустических фононов, групповая скорость которыхVgrak = a2βM1 + M 2(8.35)при М1 = M2 переходит в выражение для скорости длинноволновыхколебаний (8.23) в моноатомной цепочке.Гл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы231В том же приближении qa << 1, подставляя (8.33) и (8.34) в одно из уравнений (8.29) или (8.30), находим отношение амплитудколебаний при частотах ω– и ω+:ω–: (ζ η)− = 1 ;(8.36)ω+: (ζ η) + = − M 2 M1 .(8.37)В соответствие с (8.36) колебания соседних атомов для акустической ветви ω– происходят с одинаковой амплитудой и практически синфазно при больших λ (рис.
8.6 б).Из (8.37) следует, что во второй ветви колебаний ω+ соседниеатомы колеблются в противофазе и с разными амплитудами. Записывая выражение (8.37) в видеM1ζ + M 2 η=0,(8.38)M1 + M 2приходим к выводу, что колебания соседних атомов происходяттак, что амплитуда смещения центра масс атомов в элементарнойячейке равна нулю. Эта ветвь колебаний называется оптической(см.
ниже рис. 8.9).Общий вид дисперсионных кривых ω–(q) и ω+(q) (8.31) для акустической и оптической ветвей фононного спектра представлен нарис. 8.7. Все энергетически различные состояния фононов находятся в интервале значений волнового вектора − π 2a ≤ q ≤ + π 2a , который представляет собой I зону Бриллюэна для двухатомной цепочки, период которой равен 2а.Рис. 8.7. Дисперсионные кривые для акустической ω– и оптической ω+ ветвей фононного спектраВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ232Максимальной частоте ω− max = 2β M1 фононов акустической ветви соответствуют значения волнового вектора q = ± π (2a ) .Частотаоптическихколебанийω+(q)изменяетсяотω+ min = 2β M 2 при q = ± π 2a до ω+ max = 2β (1 M1 + 1 M 2 )при q = 0.Характерно, что в длинноволновой области частота оптических фононов практически не зависит от значений волновоговектора. Кроме того, при значительном различии в массах соседних атомов M1 >> М2 оптические колебания происходят приблизительно с одной частотой во всей области значений q:⎛ 11 ⎞ωmax = 2β ⎜+⎟≈⎝ M1 M 2 ⎠M2 ⎞2β ⎛(8.39)⎜1 +⎟.M 2 ⎝ 2 M1 ⎠Групповаяскорость∂ω ∂q оптических фононовкак в максимуме, так и в минимуме дисперсионной кривой равна нулю: ∂ω+ ∂q = 0(рис.
8.8).Между акустической иоптической ветвями спектра(рис. 8.8) расположена обРис. 8.8. Зависимость от волнового векласть запрещенных значенийтора групповой скорости акустическихчастот (и соответственно,и оптических фононов для линейнойцепочки атомов двух сортов.энергий фононов) — энергетическая щель в законе дисперсии фононов. Фононов с частотами, находящими в областиэнергетической щели, не существует.Проанализируем основные особенности колебаний атомов прираспространении акустических и оптических волн. Найдем отношения амплитуд колебаний тяжелых и легких атомов для оптической и акустической ветвей в общем случае (аналогичные (8.36) и(8.37)), подставляя (8.31), например, в уравнение (8.30). Получаем(ζ η)− =1 − M 2 / M1 +(1 + M 2 / M1 )2 − 4(M 2 / M1 )sin 2 qaдля акустической ветви и2cos qa(8.40)Гл. 8.
Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы(ζ η)+ =1 − M 2 / M1 −(1 + M 2 / M1 )2 − 4( M 2 / M1 )sin 2 qa2cos qa233.(8.41)для оптической ветви.Как следует из (8.40), в области коротких волн λ → 4a(q → qlim = π/(2a)) для акустической ветви:(ζ η)−qa →π / 2→ −∞ ,т. е. по мере приближения к границе зоны Бриллюэна ( q → π /(2a) )происходит уменьшение амплитуды колебаний легких атомов. Фононы акустической ветви с q = ± π (2а ) имеют частоту 2β M1(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
