Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Таким образом, химический потенциал совпадает с энергией Ферми μ = ЕF.§9.3. Элементарные возбуждения в системеколлективизированных электронов. Фермиевские электроны1. Энергия кулоновского взаимодействия двух коллективизированных электронов в металле (1 4 πε0 )( e2 r ) при среднем расстоянии между электронами r = n –1/3, где n — концентрация элек-248ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХтронов, по порядку величины близка к кинетической энергии~ pF2 (2m0 ) (m0 — масса свободного электрона). Поэтому, строгоговоря, коллективизированные электроны в металле нельзя рассматривать как идеальный газ.У идеального газа энергия складывается из энергий образующих его частиц, и при изменении числа частиц энергетические состояния (уровни энергии) других частиц не изменяются.В жидкостной модели, в результате сильного взаимодействиямежду частицами, при добавлении или уменьшении числа частицизменяется энергия не только всей системы, но и энергетическиесостояния всех частиц.В основном состоянии (при Т = 0 К) электронный газ заполняетвсе состояния в сфере радиусом рF , причем в каждом элементар-ном состоянии объемом (2π ) (для кристалла единичного объема) находятся два электрона.
Основное же состояние электроннойжидкости, вообще говоря, бесструктурное.В теории Ландау постулируется, что включение взаимодействия при переходе от ферми-газа к ферми-жидкости не меняет состояний электронов, т. е. состояния по-прежнему можно описыватьпосредством задания квазиимпульса. При этом в основном состоянии (при Т = 0 К) ферми-жидкость занимает в р-пространстветот же объем, что и ферми-газ.Состояние системы электронов при T ≠ 0 K (возбужденное состояние) в теории Ландау описывается введением квазичастиц –элементарных возбуждений.
На низких уровнях возбуждения ансамбль квазичастиц можно считать почти идеальным газом и использовать хорошо развитую теорию идеального газа.2. Одной из моделей, используемых для описания возбужденных состояний электронной ферми-жидкости, является модельфермиевских электроновПусть при возбуждении электронной системы один электронпереходит из заполненного состояния с |p| ≤ |pF| в свободное состояние с |p| > |pF| и энергией Е > ЕF (рис. 9.2). Тогда над поверхностью Ферми появляется электрон, а освободившееся состояние заполняется одним из электронов с большей энергией. При этом, вопервых, поверхность, ограничивающая полностью заполненныесостояния, сокращается, и энергия системы электронов с импульсами |p| ≤ |pF| уменьшается. Во-вторых, выделяющаяся при запол3Гл. 9.
Электроны в металле249нении вакансии энергия расходуется на новое возбуждение фермижидкости и появление еще одного или нескольких возбужденныхэлектронов. В результате таких переходов вблизи поверхностиФерми образуется тонкий слой возбужденных электронов (фермиевских электронов).
Поскольку фермиевских электронов (элементарных возбуждений) мало, то они образуют почти идеальный газквазичастиц, обладающих энергией, близкой к энергии Ферми. Приэтом полагается, что все остальные электроны остаются в тех жесостояниях, в каких они были при Т = 0 К.Каждая квазичастица (элементарное возбуждение) характеризуется импульсом р, зарядом –е, спином 1/2, некоторой эффективной массой m*, скоростьюp(9.13)v = ∗ ∼ vFmи квадратичным законом дисперсии E = p 2 (2m∗ ) . За начало отсчета энергии принимается энергия состояния, соответствующегоцентру сферы Ферми (Е = 0) в импульсном пространстве (р = 0).Рис. 9.2. Иллюстрация модели фермиевских электронов, используемой дляописания возбужденного состоянияэлектронной ферми-жидкости. Состояния фермиевских электронов занимают узкий (заштрихованный) слойвблизи поверхности Ферми.Отличие эффективной массы m∗ фермиевского электрона отмассы свободного электрона m0 учитывает взаимодействие междучастицами, в результате которого каждая частица движется в некотором самосогласованном поле других частиц.
При этом энергияквазичастицы зависит от состояния других частиц, то есть являетсяфункцией от их функции распределения. Введение эффективноймассы позволяет учесть это взаимодействие. Из теоретического250ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХрасчета и эксперимента следует, что для большинства металловотличие m* от m не превышает (10 ÷ 15)%.В дальнейшем фермиевские электроны будем называть простоэлектронами.3. Оценим, насколько тонкий слой образуют фермиевскиеэлектроны при различных механизмах возбуждения.При взаимодействии с фононами энергия электронов изменяется на величину ~kBT. При комнатной температуре kВТ ~ 0,03 эВ.Во всей области температур Т < 2 000К, пока металл остается втвердом состоянии, отношение kBT EF не превышает 0,02.Приращение энергии электрона ΔЕ в электрическом поле с напряженностью E на длине свободного пробега ℓ равно |е|Eℓ и, дажев сильных электрических полях, не превышает значений:ΔЕ ≤ (10–4 ÷ 10–6) эВ, т.
е.ΔE EF ≤ 2 ⋅ 10−5 .В сильных магнитных полях изменение энергии, связанное сквантовыми эффектами, равно ω (см. ниже §11.2), где циклотронная частота ω определяется индукцией магнитного поля В:ω = eB m (11.22). В магнитных полях (≈10 2 Тл) относительное изменение энергии ω / EF ≤ 10−3 .Заметим, что в классическом приближении при движенииэлектрона в постоянном магнитном поле его энергия не меняется.Полученные оценки показывают, что при тепловом воздействии или во внешних полях (электрическом, магнитном) возбужденные электроны действительно образуют очень тонкий слой вблизиповерхности Ферми.
Поэтому модель фермиевских электронов является хорошим приближением для описания возбужденных состояний. Она используется при вычислении электронной теплоемкости, электронной теплопроводности и электропроводности металлов.Описание энергетического спектра электронов в металлах припомощи квазичастиц существенно упрощает задачу. Вместо того,чтобы определять закон дисперсии Е = Е(p) в общем виде во всемпространстве импульсов, достаточно определить связь между энергией и импульсом вблизи постоянного значения энергии, равногоэнергии Ферми ЕF.Гл.
9. Электроны в металле251§9.4. Эффективная потенциальная энергия и волноваяфункция электронов в кристаллической решетке. Волна БлохаФермиевские электроны в металле находятся в кулоновскомпотенциальном поле ионов, образующих кристаллическую решетку. В то же время наличие отрицательно заряженной электроннойжидкости в металле (образованной коллективизированными валентными электронами) приводит к ослаблению электрическогополя (в результате экранировки), создаваемого положительно заряженными ионами. Благодаря этому область, в которой потенциальная энергия электрона вблизи выделенного иона имеет глубокийминимум, значительно сужается: ϕ → ϕscr (рис. 9.3 а). В остальнойчасти пространства внутри решетки потенциальная энергия электрона остается практически постоянной.Рис. 9.3.
Потенциальная энергия электрона: а – в кулоновском поле с потенциалами изолированного иона ϕ и иона, экранированного коллективизированнымиэлектронами ϕscr; б – в эффективном поле.В области постоянного потенциала движение фермиевскогоэлектрона можно рассматривать как движение свободной частицы,волновая функция которой представляет собой плоскую волну.Попадая в потенциальную яму, электрон захватывается иономи описывается быстро осциллирующими волновыми функциямисвязанных электронных состояний, характерных для валентныхэлектронов изолированных атомов (рис.
9.4 а). Область действияионных потенциалов на рис. 9.4 условно показана в виде заштрихованных кружков.Вид волновой функции электрона в кристалле (рис. 9.4 а) достаточно сложен, и такую волновую функцию практически невозможно использовать для точных расчетов.252ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХИспользуем следующую простейшую модель, когда вблизииона эффективный потенциал ϕeff можно считать постоянным.Вид потенциальной энергии электрона Ueff = е⋅ ϕeff в поле эффективного потенциала ϕeff изображен на рис. 9.3 б. По величине эффективный потенциал мал, так что связанные состояния у фермиевских электронов не возникают и электрон в объеме всей решеткиможно рассматривать как свободную частицу, движущуюся в слабом эффективном потенциальном поле.
В этом случае движениеэлектрона в кристалле можно описывать волновыми функциями ввиде плоских волн, распространяющихся в поле малого периодического потенциала (рис. 9.4 б).В теории параметры эффективного потенциала решеткиϕeff = U eff e подбираются таким образом, чтобы энергетическийспектр электронов, описываемых плоскими волнами (рис. 9.4 б),совпадал с энергетическим спектром электронов, описываемыхсложными волновыми функциями (типа рис. 9.4 а) в истинном потенциале решетки ϕ ( r ) = U ( r ) e .Рис.
9.4. Схематическое изображение волновых функций в кристалле. а – радиальная часть волновой функции электрона в кристалле в поле истинного потенциала, которую можно представить как комбинацию плоской волны б и осциллирующих волновых функций связанных состояний в; б – плоская волна свободногоэлектрона в слабом эффективном поле решетки (приближение свободных электронов); в – быстро осциллирующая вблизи ионных сердцевин волновая функциясвязанных электронных состояний (радиальная часть функций типа Ψ3s) (приближение сильно связанных электронов).Гл.
9. Электроны в металле253Из периодичности эффективного потенциала вытекают два основных следствия: (1) периодичность амплитуды волновой функции и (2) неоднозначность волнового вектора.1) Периодичность амплитуды волновой функции. Пусть а1ex,,a2ey, a3ez – основные трансляционные периоды решетки вдоль осейОХ, OY и OZ с единичными направляющими векторами ex, ey и ezсоответственно. ВекторS = j1a1e x + j2 a2e y + j3a3e z ,(9.14)где j1,2,3 = 0, ±1, ±2,..., называется вектором трансляции.Потенциал в точках r и r + S одинаков.
Точки r и r+S в периодической структуре физически эквивалентны (трансляционнаяинвариантность).Периодичность потенциала идеальной решетки накладываетусловие на электронные волновые функции Ψk(r), которые, имеявид волновых функций свободных электронов Ψ ( r ) = C exp ( −ikr )(рис. 9.4 б), теперь содержат модулирующий амплитудный множитель Ck(r):Ψ k ( r ) = Ck ( r ) e −ikr .(9.15)Так как плотность вероятности нахождения электрона в точках, отличающихся на вектор трансляции S, должна быть одинаковая, то и амплитуда электронной волны (9.15) также должнабыть периодической функцией с периодом решетки:Ck ≡ Ck ( r ) = Ck ( r + S ) .(9.16)2) Неоднозначность определения импульса в периодическойструктуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
