Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 33
Текст из файла (страница 33)
8.8), которая соответствует колебаниям тяжелых атомов М1при неподвижных легких.В оптической ветви (см. (8.41)):( ζ η) +qa →π /2M 2 / M1 sin 2qa→− sin qa2(1 + M 2 / M1 ) − 4( M 2 / M1 )sin 2 qa→ −0,то есть амплитуда колебаний тяжелых атомов уменьшается приприближении к границам зоны Бриллюэна. Фононы оптическойветви с волновым вектором q = π /(2a ) имеют частоту2β M 2 ,соответствующую колебаниям легких атомов М2 при неподвижныхтяжелых. При этом соседние легкие атомы колеблются в противофазе (рис.
8.9 а).При увеличении длины волны λ в оптической ветви начинаютколебаться тяжелые атомы, а разность фаз колебаний соседнихидентичных атомов уменьшается (рис. 8.9 б, в). В пределе q → 0,когда разность фаз обращается в нуль, атомы одного сорта можносчитать неподвижными друг относительно друга. В этом случае(λ → ∞, q → 0) оптические колебания представляют собой колебания в противофазе двух жестких подрешеток (легких и тяжелыхатомов) друг относительно друга, при этом центр масс остаетсянеподвижным ((8.38), рис.
8.9 г).234ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 8.9. Смещение атомов в линейной цепочке при возбуждениях, соответствующих оптическим фононам с длинами волн: а–в — λ = 4а, 8а и 12а соответственно;г —λ → ∞, колебания атомов одного сорта происходят синфазно, но в противофазе с атомами второго сорта.Оптические колебания с волновыми векторами qlim=π/(2a) иq = 0 соответствуют стоячим волнам, имеющим разные энергии.Предположим, что все атомы в цепочке становятся одинаковыми.Тогда оптическим колебаниям с q = 0 будут соответствовать акустические колебания с λ = 2а, то есть с волновым вектором q = π/a,в два раза превышающим значение qlim = π/(2a).
Учитывая закондисперсии, можно сделать вывод, что частота оптических колебаний при q = 0 больше частоты колебаний при q = qlim .Заметим, что для появления оптических колебаний не обязательно, чтобы решетка состояла из атомов разной массы. Существенно лишь, чтобы положение всех атомов в решетке не было одинаковым и можно было бы выделить две или более подрешеток.Например, в структурах с двумя атомами, приходящимися на элементарную ячейку, можно выделить две подрешетки с различнымиГл.
8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы235упругими постоянными, независимо от того, одинаковые по массеэти атомы или нет.2⎛ 1⎛ 11 ⎞1 ⎞4sin 2 qaОтвет. ω±2 = β ⎜++.⎟±β ⎜⎟ −M 1M 2⎝ M1 M 2 ⎠⎝ M1 M 2 ⎠Задача 8.6. (Температура Дебая.) Оценить температуру Дебаядля железа, полагая скорости распространения продольных и поперечных волн одинаковыми и равными vs = 5км/с. Плотность железаρ = 7,8 г/см3.Решение.
По определению, температура Дебая (8.2) связана смаксимальной частотой фононов: k BTD = =ωmax .Максимальноезначениеволновоговектора1/ 3(8.10) связано с концентрацией атомовqmax = ⎡⎣6π2 N / L3 ⎤⎦n = N / L3 , которая, в свою очередь, определяется плотностью ρρ ρN A, где m — масса одного атома железа, М —вещества: n = =mMмолярная масса железа. Таким образом,1/3ρN A ⎤⎡.= ⎢ 6π 2M ⎥⎦⎣Используя линейный закон дисперсии ω = vq , получаем выражение для оценки температуры Дебая1/3qmax = ⎡⎣ 6π 2 N / L3 ⎤⎦1/3= ⎡⎣ 6π2n ⎤⎦1/3ρN A ⎤===1/3⎡vs qmax =vs ⎡⎣ 6π2n ⎤⎦ =vs ⎢ 6π 2.kBkBkB ⎣M ⎥⎦vs = 5км/с=5⋅103 м/с,Подставляячисловыеданные333ρ = 7,8 г/см = 7,8⋅10 кг/м , М = 55,8 г/моль, находимTD =1/3TD =ρN A ⎤=⎡vs ⎢ 6π 2kB ⎣M ⎥⎦=1/310−347,8 ⋅ 1036 ⋅ 1023 ⎤⎡5 ⋅ 103 ⎢6π2=1,38 ⋅ 10−2355,8 ⋅ 10−3 ⎥⎦⎣1/ 3Ответ. TD == ⎡ 2 ρN A ⎤vs 6πkB ⎢⎣M ⎥⎦≈ 615K .≈ 615 K .236ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ§8.6.
Решеточная теплоемкостьЗадача 8.7. Определить качественную зависимость молярнойизохорической теплоемкости от температуры для моноатомнойтрехмерной кубической решетки. Рассмотреть предельные случаинизких и высоких температур. Период решетки а. Закон дисперсиилинейный: ω = vgr q .Решение. Чтобы найти решеточную теплоемкость, т. е. теплоёмкость, связанную с колебаниями атомов кристалла, нужно знатьтемпературную зависимость средней тепловой энергии колебанийатомов.ТеплоемкостьтелаопределяетсясоотношениемC0 = δQ dT , а теплоемкость при постоянном объемеC0V =d E (T ),(8.42)dTгде δQ — элементарное количество теплоты, E (T ) — средняятепловая энергия решетки.В фононной модели E (T ) является суммой средних тепловых энергий фононов в каждой моде колебаний. Мода колебанийхарактеризуется частотой, волновым вектором (или импульсом) иполяризацией.
В каждом квантовом состоянии с определеннойэнергией и импульсом в трехмерном случае находятся фононы трехмод колебаний, соответствующие трем поляризациям волн: двумпоперечным и одной продольной.Приближение низких температур T << TD .Учитывая, что число фононов с энергиями =ω > k BT экспоненциально мало (8.15), то можно считать, что при температуре Твозбуждаются только фононы, энергия которых =ω ≤ kBT . Состояния этих фононов в пространстве волновых векторов находятсявнутри сферической поверхности постоянной частоты ωT ~ k BT = .Энергия каждой возбужденной моды, чьи квантовые состояния находятся внутри объема, ограниченного данной поверхностью, пропорциональна ~ k BT (8.16).
Учитывая, что различных поляризацийтри, получаем, что энергия фононов, находящихся в каждом квантовом состоянии равна 3k BT . Число возбужденных квантовых состояний равно числу квантовых состояний в объеме, ограниченномГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы237сферой. Для линейного закона дисперсии ω = vgr q радиус сферыqT определим из соотношения k BT = =ωT = =vgr qT :qT =k BT.=vgr(8.43)Число состояний N Tak в объеме, ограниченной сферой:NT =4 / 3( πqT3 )( k BT )3 L3=.(2 π / L)3 6 ⋅ π2 ( =vgr )3Энергия всех возбужденных фононов (тепловая энергия решетки):E (T ) = 3N T ⋅ k BT =( k BT )4 L33 ⋅ π2 ( =vgr )3.Теплоемкость решетки объемом L3:C0 =dE (T )4k 4 L3= 2 BT3.3dT3π ( =vgr )Число атомов в узлах кубическойрешетки: L3 / a3 , число молей в объемеL3 : ν0 =L3.
Тогда для молярной теa 3N Aплоемкости имеемРис. 8.10.C=C0 ⎛ 4 ⎞ k B4 a 3 N A 3=⋅T .ν0 ⎜⎝ 3π2 ⎟⎠ ( =vgr )3(8.44)Температурнаязависимость молярной теплоемкости трехмерной кристаллической решетки.Полученная зависимость C ~ T 3 (9.44) носит название законаДебая. Закон хорошо выполняется практически для всех кристаллических веществ при T ≤ TD 10 (рис. 8.10).Точные расчеты дают для теплоемкости формулу, отличающуюся от (8.44) только коэффициентом:238ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ⎛ 2 π2 ⎞ k B4 a 3 N A 3C =⎜⋅T .(8.45)⎜ 5 ⎟⎟ ( =v )3gr⎝⎠С учетом полученного в задаче 8.6 выражения для температуры Дебая, формула для молярной теплоемкости (8.45) приобретаетпростой вид:3⎛T ⎞12C = π4 R ⎜ ⎟ ,5⎝ TD ⎠(8.46)где R — универсальная газовая постоянная.Приближение высоких температур T >> TD .При высоких температурах T > TD возбуждаются все моды акустических колебаний, число которых равно утроенному (за счеттрех разных поляризаций) числу атомов в решетке NT = 3( L / a )3 .Энергия всех возбужденных фононов (тепловая энергия решетки):E (T ) = N T k BT = 3теплоемкость решетки объемом L3C0 =L3k BTa3;dE (T ) 3k B L3=.dTa3Учитывая, что число молей в объеме L3 равно ν0 =L3, дляa 3N Aмолярной теплоемкости при высоких температурах получаем закон Дюлонга и Пти:C = 3k B N A = 3R .Температурная зависимость молярной теплоемкости трехмерной кристаллической решетки представлена на рис.
9.10.⎛ 4k 4 a 3 N ⎞A ⎟ T 3 , при T >> T C = 3R .Ответ. При T << TD C = ⎜ 2BD⎜ 3π ( =vgr )3 ⎟⎝⎠Задача 8.8. (Модель Эйнштейна). В модели Эйнштейна кристалл рассматривается как совокупность независимых идентичныхГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы239квантовых осцилляторов с одинаковой частотой ω0. Вообще говоря, применение модели Эйнштейна к кристаллам не вполне корректно, так как спектр колебаний сужается до одной частоты. Однако модель может быть использована для описания оптическихколебаний, так как частотный интервал оптических фононов достаточно узкий и позволяет аппроксимировать его одной частотой.Оцените в рамках модели Эйнштейна колебательную энергиюи теплоемкость решетки.Решение. Средняя тепловая энергия одного моля вещества вмодели Эйнштейна (с учетом трех возможных поляризаций):−1E = 3N A =ω0 nω0⎡⎛ =ω ⎞ ⎤= 3N A =ω0 ⋅ ⎢exp ⎜ 0 ⎟ − 1⎥ ,⎝ k BT ⎠ ⎦⎣(8.47)где =ω0 — энергия одного фонона, nω0 — среднее число фононов при температуре Т.Молярная теплоемкость решетки:2∂ E⎛ =ω ⎞⎛ =ω ⎞ ⎡⎛ =ω ⎞ ⎤= 3R ⎜ 0 ⎟ exp ⎜ 0 ⎟ ⎢ exp ⎜ 0 ⎟ − 1⎥C=∂T⎝ k BT ⎠⎝ k BT ⎠ ⎣⎝ k BT ⎠ ⎦−2.
(8.48)При низких температурах ( k BT << =ω0 ) энергия (8.47) и теплоемкость (8.48) характеризуются экспоненциальной зависимостьюот =ω0 /(kBT ) :⎛ =ω ⎞E = 3N A =ω0 exp ⎜ − 0 ⎟ ,⎝ k BT ⎠(8.49)2⎛ =ω ⎞⎛ =ω ⎞C = 3R ⎜ 0 ⎟ exp ⎜ − 0 ⎟ .(8.50)⎝ k BT ⎠⎝ k BT ⎠При высоких температурах k BT >> =ω0 , когда возбужденывсе три ветви оптических фононов, получаемE = 3RT ,(8.51)C = 3R .(8.52)В рамках модели Эйнштейна теплоемкость при низких температурах экспоненциально зависит от Т, а в модели Дебая (8.44)С ~T 3. В пределе высоких температур модели Эйнштейна и Дебаядают одинаковые значения теплоемкости: С = 3R.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ240−1⎡⎛ =ω ⎞ ⎤E = 3 N A =ω0 ⎢ exp ⎜ 0 ⎟ − 1⎥ ,⎝ kBT ⎠ ⎦⎥⎣⎢Ответ.2⎛ =ω ⎞⎛ =ω ⎞ ⎡⎛ =ω ⎞ ⎤C = 3R ⎜ 0 ⎟ exp ⎜ 0 ⎟ ⎢ exp ⎜ 0 ⎟ − 1⎥⎝ k BT ⎠⎝ k BT ⎠ ⎣⎝ k BT ⎠ ⎦−2.Задачи для самостоятельного решенияЗадача 8.1.
Получить температурную зависимость для тепловой энергии и молярной теплоемкости двумерных слоистых квадратных решеток. Скорость звука VS. Покажите, что теплоемкостьлинейных цепочек пропорциональна температуре.k B3 a 2 N A 2πq 2( k BT )3Ответ. E (T ) = 2k BT,C=T .=(2π / L)2 2 π= 2Vs22π= 2Vs2Задача D8.2. Определить дебаевскую температуру для двумерных слоистых квадратных решеток. Скорость продольных и поперечных волн считать одинаковой и равной VS.
Число атомов,приходящихся на единицу площади равно n.=Ответ. TD = Vs 4πn .kBЗадача D8.3. Найти скорость звука в линейной цепочке идентичных атомов с дебаевской температурой 300 К и межатомнымрасстоянием 0,25 нм.k T aОтвет: Vs = B D ≈ 3,1км/с .π=Задача D8.4. Оцените скорость распространения продольныхакустических колебаний в алюминии ( TD = 400 K ).T k ⎡ρN A ⎤Ответ: Vs = D B ⎢ 6π2= ⎣M ⎥⎦−1/3= 3,4 км/с .Задача D8.5. Оцените максимальную частоту колебаний атомов меди, если при температуре Т = 125К молярная теплоемкостьГл. 8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы241меди отличается от классического значения при высоких температурах на α = 25%.Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
