Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Рассмотрим одно из направлений, например ex, основных трансляций в решетке с периодом a. При переходе из точки x вэквивалентную точку с координатой, например, x ± aj (j – целоечисло) фаза (kx) волновой функции электрона (9.15) изменяется навеличину ±kaj. Учитывая условие (9.16), волновую функцию в точке x ± aj можно записать в виде:Ψ k ( x ± aj ) = Ck ( x ± aj ) e−ik ( x ± aj )= Ψ k ( x)e ∓ ikaj .Видно, что при трансляции на период ±aj волновая функцияэлектрона умножается на фазовый множитель exp(±ikaj).254ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХВолновая функция (9.15) стационарного состояния электрона впериодическом поле кристалла, которая при трансляции на векторрешетки S (9.14) приобретает фазовый множитель eikS и удовлетворяет условию периодичности (9.16), называется волной илифункцией Блоха.3.
Обратим внимание на то, что при трансляции фазовый сдвигдля волн с волновыми векторами k и k' = k ± j 2π/а (j – целое число)один и тот же, поскольку exp(i2πj) = 1. Это означает, что электроныс волновыми векторами k и k' (или импульсами p и p' = p ± j 2πћ/а)движутся в кристалле одинаково, то есть решетка как бы “не различает” электроны, волновые векторы у которых различаются навеличину ±(2π a) j .
Следовательно, состояния (с учетом четнойзависимости энергии от импульса Е(–p) = Е(p)), соответствующиевекторам2πk и k′ = ±k ±je x ,(9.17)a2πje x ,(9.18)p и p′ = ± p ±aфизически неразличимы, эквивалентны, то есть соответствуютодному и тому же физическому состоянию электрона в кристалле, аследовательно, одной и той же энергии.На рис. 9.5 изображены две волновые функции, соответствующие двум значениям k: k1 = π (4a) – функция 1 и k2 = 7 π (4a) –функция 2, для свободного электрона в линейной цепочке атомов,расположенных вдоль оси х. Вертикальные черточки у каждогоатома соответствуют вещественной части волновой функции.Рис.
9.5. Волновые функции фермиевского электрона с волновыми векторамиk1 = π (4a ) (функция 1) и k2 = 7 π (4a ) (функция 2) в линейной цепочке атомов(точки на оси ОХ) имеют одинаковое значение, обозначенное вертикальными черточками вблизи каждого атома.Гл. 9. Электроны в металле255Видно, что «с точки зрения атомов решетки» электронные волновые функции с k1 = π (4a ) и k2 = − k1 + 2π a = 7 π (4a ) эквивалентны, то есть имеют одно и то же значение в узлах решетки. Таким образом, любой волновой функции в одномерной цепочке атомов можно сопоставить приведенный волновой вектор – векторс наименьшим абсолютным значением k :ππ− ≤k≤ .(9.19)aaОбласть значений волнового вектора (9.19) является приведенной (или первой) зоной Бриллюэна (см.
также (8.5)). Втораязона Бриллюэна – область значений волновых векторовπ a ≤ k ≤ 2 π a , −2 π a ≤ k ≤ − π a , равная по объему первой зоне иприлегающая к ней (рис. 9.6). Все последующие зоны Бриллюэна,границы которых соответствуют значениям волнового числаk=±πj , (j — целое число),a(9.20)определяются аналогично.Рис. 9.6. Первая и вторая зоны Бриллюэна для одномерной цепочки атомов.4.
Поскольку все зоны Бриллюэна содержат физически эквивалентные наборы волновых векторов, то волновым векторам, отличающимся на (2π a ) j , должны соответствовать одни и те же значения энергииЕсли эффективный потенциал равен нулю, электрон движетсяв решетке как свободная частица с энергией E = ( k )2 (2m0 )(штриховая кривая на рис. 9.7, где k может меняться от нуля досколь угодно большой величины. При наличии даже сколь угодномалого периодического потенциала ситуация качественно изменяется: пространство значений волнового вектора разделяется на об-256ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХласти физически эквивалентных значений (зон Бриллюэна) и одновременно возникает периодичность в зависимости энергии от импульса (рис. 9.7).
Закон дисперсии в приведенной зоне, то естьзависимость энергии электрона от его импульса, получается сдвигом всех частей параболической зависимости E = ( k )2 (2m0 ) длясвободного электрона на векторы G = j (2π a) e x (j = ±1, ±2,..) вобласть (9.19) приведенных значений k.Результат таких трансляций показан на рис. 9.7 сплошнымилиниями. Ветви закона дисперсии в приведенной зоне (кривые А'В'и АС) получаются путем сдвига частей параболического законадисперсии АВ (на вектор G = − (2π a) e x ) и С'А' (на векторG = + (2π a) e x ). В результате получаем, что различным энергетическим состояниям электрона соответствует одно и тоже значениеприведенного вектора.Рис.
9.7. Изменение квадратичного закона дисперсии электрона (штриховая кривая) под влиянием периодического потенциала решетки: эквивалентный сдвиг навекторы обратной решетки всех участков закона дисперсии в область приведенных значений волнового вектора. Результирующий закон дисперсии электронаизображен сплошными линиями.Следовательно, не только разным k′ соответствует один и тотже приведенный волновой вектор k, но, как видно на рис.
9.7, может существовать много электронных состояний с одним и тем жезначением приведенного волнового вектора k, но соответствующихразличным энергиям.Таким образом, трансляционная инвариантность решеткиприводит к многозначности импульса и энергии электрона врешетке.Гл. 9. Электроны в металле257§9.5. Энергетические зоныОсобенности движения электрона в металле непосредственносвязаны с распространением в периодической структуре кристаллаэлектронных волн – волн Блоха.
Выше (задача 1.16) были рассмотрены условия отражения периодическими структурами электромагнитных волн. Электронные волны можно рассматривать аналогично электромагнитным, так как атомы, расположенные в узлахкристаллической структуры металла, являются рассеивающимицентрами для коллективизированных электронов, то есть электронных волн. Будем рассматривать только упругое рассеяние,при котором длина электронной волны не изменяется.Для большинства валентных электронов, свободно перемещающихся по кристаллу, рассеяние на атомах решетки слабое.
Условия рассеяния электронных волн рассматриваются аналогичноусловиям отражения электромагнитных волн. При этом кристаллпредставляется в виде семейств эквидистантных плоскостей, образованных атомами решетки и проведенных таким образом, что каждый атом решетки обязательно находится на какой-либо из плоскостей данного семейства.
Тогда, благодаря интерференции рассеянных атомными плоскостями волн, эффективно отражаются только электронные волны, длины волн которых удовлетворяют условию (или закону) Брэгга–Вульфа дифракции рентгеновских лучей вкристаллах: 2d = jλ или k = πj d (j = 1, 2, 3…, d – расстояниемежду атомными плоскостями), когда разность фаз δ между отраженными от соседних атомных плоскостей волнами составляет целое число 2π. Сравнивая (9.20) и условие Брэгга–Вульфа,можно заключить, что электроны с волновыми векторами, соответствующими границам зон Бриллюэна, испытывают брэгговскоеотражение, так же как и фононы, с такими же волновыми векторами (см.
§8.4).При наложении падающей и отраженной волн, удовлетворяющих условию Брэгга–Вульфа, образуются стоячие волны. Стоячаяволна не переносит энергии и соответствует электрону с групповойскоростью vgr = ∂E ∂p = 0 , в отличие от бегущих волн, для которых vgr = ∂E ∂p = p / m ≠ 0 . Существует только два типа стоячихволн, одни из которых на отражающих плоскостях имеют пучности, другие – узлы.258ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХДля рассмотренной ранее одномерной цепочки атомов, расположенных вдоль оси ОХ с межатомным расстоянием а, условиеБрэгга–Вульфа принимает видπk = j , (j = ±1, ±2, ...).aТогда, например, для электронов с импульсом p = π a (волновым вектором k = π a ) суперпозиция падающей Ψ ~ e i ( πa) xи−i ( π a ) xотраженной Ψ ~ eволн приводит к образованию двух стационарных состояний, описываемых стоячими волнами:−Ψ ~eiπxa+eπxa−e-iπxaπxaπ~ cos x ,a(9.21)πx.(9.22)aНа рис.
9.8 под графиком потенциальной энергии электронов влинейной цепочке атомов схематически изображено распределениеплотности заряда q|Ψ(x)|2 (q – заряд электрона, |Ψ(x)|2 – плотностьвероятности обнаружения электрона в точке с координатой x), длятрех волновых функций: плоской бегущей волны Ψ(x) (9.15), Ψ−(x)(9.21) и Ψ+(x) (9.22). Для свободного электрона, волновая функциякоторого представляет собой плоскую бегущую волну Ψ(x) ~ eikx,распределение электронного заряда однородно, электрон равновероятно может находиться в любой точке кристалла.Для функции Ψ–(x) плотность вероятности вблизи точки х = 0,а также вблизи любого другого узла рассматриваемой линейнойцепочки, больше, чем между узлами. Так как потенциальная энергия электронов вблизи ионов отрицательна, то состоянию с функцией Ψ–(x) соответствует значение энергии меньше, чем при равномерной плотности распределения заряда, на величину, пропорциональную потенциальной энергии электрона в поле эффективного решеточного потенциала Ueff.По той же причине энергия состояния, описываемого функцией Ψ + , будет на величину, пропорциональную Ueff, больше, чемдля состояния, описываемого плоской бегущей волной Ψ(x), таккак для Ψ + плотность заряда сосредоточена в основном в межатомных областях.Ψ+ ~ ei-i~ sinГл.
9. Электроны в металле259Рис. 9.8. а — потенциальная энергия электрона в одномерной цепочке атомов; б— распределение электронной плотности q|Ψ(x)|2 для электрона, описываемогоплоской волной (9.15) (штрихпунктирная прямая) и стоячими волнами (9.21) и(9.22) (штриховая и сплошная кривые).На рис. 9.9 а для одномерного случая показано изменение параболического закона дисперсии электронов на границе первой ивторой зон Бриллюэна, связанное с брэгговским отражением и образованием двух энергетически различающихся состояний Ψ+ (точки В и В′) и Ψ − (точки А и А′).
На рис. 9.9 (б, в) в схеме приведённых (б) и в схеме расширенных зон (в) изображён результирующийзакон дисперсии с учетом как неоднозначности электронного импульса в периодической структуре, так и брэгговского отраженияэлектронных волн. Энергетический спектр электронов разделяетсяна зоны разрешенных значений и области запрещенных значенийэнергии — энергетические щели (значения энергий между точками А и В на рис. 9.9 а). Величина энергетических щелей в спектресвязана не с кинематикой, а с потенциальной энергией взаимодействия электронов с ионами. Она зависит от величины эффективного потенциала ионов решетки Ueff(r) для данного направления движения электрона.Возникновение разрывов в энергетическом спектре означает,что не возможны никакие электронные состояния с значениямиэнергии, соответствующими энергетической щели.Вдали от границ зон Бриллюэна достаточно слабый периодический потенциал Ueff(r) не может существенно изменить закондисперсии.
При малых импульсах электрон в решетке движется, в260ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХпервом приближении, как свободная частица с групповой скоростью vgr = ∂E ∂p = p m . С ростом k (и импульса p), приближаясь кграницам зоны Бриллюэна, электрон как бы тормозится решеткой.При значениях k = ± j (π a ) групповая скорость электроновvgr = ∂E ∂p с импульсами p = ± j ( π a ) равна нулю.Рис. 9.9. Изменения закона дисперсии электрона при учете величины эффективного потенциала (а). Закон дисперсии в приведенной зоне Бриллюэна (б) и в схемерасширенных зон (в) при учете как величины, так периодичности эффективногопотенциала.Условие vgr = ∂E ∂p = 0 на границе зоны Бриллюэна означает,что кривая Е(p) должна подходить к границам зон p = ± j (π a ) снулевым наклоном касательной (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
