Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В теплопроводности, как и в электропроводности,принимают участие только фермиевские электроны. Рассматриваягаз фермиевских электронов как идеальный, можно воспользоваться известным выражением для коэффициента теплопроводностиидеального газа:χ = (1 3) CVFχ,(9.30)где C = ( n N A ) CV — теплоемкость единицы объема, Cv – молярная теплоемкость, NA — число Авогадро, n — полная концентрацияколлективизированных электронов, χ = vF τχ — длина свободногоГл.
9. Электроны в металле267пробега, τχ – время свободного пробега (время релаксации) при переносе электронами тепла. Подставляя в (9.30) выражение для CV(9.29) и учитывая, что n = 2(4 3) π pF3и EF =mvF2, находим зави2(2π )3симость коэффициента теплопроводности от импульса Ферми,длины свободного пробега электронов (времени релаксации) итемпературы:1χ = CvF3Ответ. χ =k B293χ1 ⎛ n π2 k BT ⎞R ⎟ vF= ⎜3 ⎜⎝ N A 2 EF ⎟⎠pF2Tχ=k B239pF2Tχ.χ.Задача 9.5. Определить фермиевскую скорость электронов водномерном металле с одним электроном на элементарную ячейкуи законом дисперсии E = E0 ⎡⎣1 − cos ( k x a ) ⎤⎦ , где Е0 = 0,5 эВ иa = 3Å (рис.
9.12).Решение. Так как по определению скорость электронаv = dE / dp , а k = p / , то фермиевская скорость при законе дис-персии E = E0 ⎡⎣1 − cos ( k x a ) ⎤⎦ запишется в виде:vF =Рис. 9.12. Закон дисперсии электрона.в трехмерномслучае24πpF3 / 3= n,( 2π )3∂E∂p=p = pF1⎛ a⎞E0a sin ⎜ pF ⎟ .⎝⎠В зависимости от топологическойразмерностифермиевский импульс pFсвязан с концентрациейэлектронов n следующимисоотношениями:pF =( 3π2n )13,(9.31)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ268в двумерном2в одномерном2πpF2( 2π )2= n,pF =2 pF= n,( 2π )pF =( 2πn )1 2 ,πn2(9.32)(9.33)(формулы (9.31)–(9.33) получите самостоятельно, аналогично (6.22)и (6.23)).Поскольку по условию задачи на элементарную ячейку приходится один электрон (энергетическая зона заполнена наполовину(задача 9.1)), то концентрация равна n = 1/ a .
Используя (9.33) дляодномерного случая, находим скорость фермиевских электронов:11⎛ a⎞ 1⎛π a⎞vF = E0a sin ⎜ pF ⎟ = E0a sin ⎜ ⋅ ⎟ vF = E0a ≈ 2,3 ⋅ 105 м/с .⎝⎠⎝ 2a ⎠Ответ. vF = E0a / = 2,3 ⋅ 105 м/с .Задача 9.6. Определить скорость электронов в двумерном металле с квадратной решеткой, если закон дисперсии электронов(имеет вид E ( p ) = px2 + p 2y)2m . Площадь элементарной ячейки вплоскости решетки равна S = 0,85a 2 , a = 3 Å. Считать, что на элементарную ячейку приходится один валентный электрон, а массаэлектрона в зоне проводимости равна массе свободного электрона.Решение. Учитывая, что для одновалентного металла концентрация равна n = 1/ S , а также используя (9.32) из предыдущей задачи, получаем модуль скорости электронов на поверхности Ферми:2p2π2vF = ( ∂E / ∂p x ) + ∂E / ∂p y= F=≈ 1,0 ⋅ 106 м/с .m m Sp()FФермиевский импульс можно найти иначе, определив сначалаплощадь зоны Бриллюэна, так как она связана с площадью элементарной ячейки в двумерном случаем соотношениемS Бр = (2 π )2 S .
По условию задачи на элементарную ячейку приходится один электрон. Энергетическая зона заполнена наполовину, и фермиевский импульс определяется из условия S Бр / 2 = πpF2 .Гл. 9. Электроны в металлеОтвет: vF =2692π≈ 1,0 ⋅ 106 м/с .m S§9.6. Электропроводность металлов.Квазиклассическое описаниеРассмотрим металл единичного объема со сферической поверхностью Ферми (подобные поверхности имеют металлы первойгруппы периодической системы элементов Менделеева) и квадратичным законом дисперсииp2E=.2m∗Пусть τ – время релаксации (время свободного пробега)процессов рассеяния электронов на тепловых колебаниях решетки.Пусть металл находится во внешнем электрическом поле с напряженностью Е, направленной по оси ОХ. Из уравнения движениядля электрона dp dt = −eE , где (–е) – заряд электрона, следует, чтовсе электроны за время τ приобретают дополнительный среднийимпульсΔp J ≡ Δp x = − eEτ .(9.34)Таким образом, поверхность Ферми целиком, как жесткий каркас, сдвигается на величину Δpх (рис.
9.13 а). В результате сдвигаэлектроны уходят из состояний в полумесяце 3, а заполняют состояния в полумесяце 1.Выделим объем средней части ферми-шара (заштрихованнаяобласть на рис. 9.13), электроны которого не дают вклада в электропроводность, так как их суммарный импульс равен нулю. Приэтом остается еще один полумесяц 2, заполненный электронами, играничащий с полумесяцем 1. Полумесяцы 1 и 2 имеют примерноодинаковые объемы вследствие малости смещения Δpх по сравнению с pF (см. §9.3, п.3). Электроны, заполняющие состояния в объемах 1 и 2, имеют нескомпенсированные импульсы и ответственныза электропроводность металлов.
Таким образом, электроны, создающие электрический ток, двигаются со скоростями, близкими к фермиевской скорости vF (на рис. 9.13 — влево).270ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 9.13. а — сдвиг поверхности Ферми на –Δpх в электрическом поле, направленном вдоль оси ОХ. В результате сдвига электроны уходят из состояний в полумесяце 3, а заполняют состояния в полумесяце 1. Электроны средней части фермишара (заштрихованная область) не дают вклада в электропроводность, так как длякаждого электрона в этой области существует парный электрон с противоположным импульсом. б — модель Друде–Лоренца: смещение поверхности Ферми вэлектрическом поле с напряженностью E на величину Δp = Δp J = eEτ .Поэтому длина свободного пробега определяется скоростьюФерми vF и временем свободного пробега τ:= vF τ .(9.35)На основании изложенной модели в приложении 9.1 выведенаформула Лифшица (9.46) для плотности электрического тока:j=2 e2 SFE,3 ( 2 π )3Учитывая, что площадь поверхности Ферми в р-пространствеSF = 4πpF2 , формулу Лифшица можно записать в видеj=8e 2 πpF3 τE = σE ,33 ( 2π ) m∗где коэффициент электропроводности8e 2 πpF3 τσ=.(9.36)33 ( 2π ) m∗В модели Друде–Лоренца электроны описываются как газсвободных частиц и предполагается, что в электропроводностиучаствуют все электроны (рис.
9.13 б), и каждый электрон приобретает в электрическом поле с напряженностью E среднюю дрей-Гл. 9. Электроны в металле271фовую скорость Δv J = ΔpJ m = eEτ m . Однако длина свободногопробега = vF τ рассчитывается исходя из того, что проводящиеэлектроны движутся с фермиевскими скоростями, как и в модели Лифшица (τ — время свободного пробега).Тогда плотность тока запишется в видеee2E .
(9.37)j = en0 Δv J = n0 Δp J = n0 τE = e 2n0mmpFПолученное соотношение (9.37) соответствует дифференциальному закону Ома j = σE с коэффициентом электропроводностиσ = e 2 n0pF= e 2 n08e 2 πpF3 ττ=.m∗ 3 ( 2π )3 m∗(9.38)В формуле (9.38) концентрация электронов n0 выражена черезимпульс Ферми pF (9.31).Сравнивая (10.36) и (10.38), можно сделать вывод, что в указанных приближениях обе модели приводят к одинаковым результатам.Задача 9.7. Проводимость меди σ = 5,88 ⋅ 107 (ом ⋅ м) −1 , концентрация электронов n = 8,45 ⋅ 1028 м −3. Вычислить длину свободного пробегаи время свободного пробега τ электронов проводимости в меди.
Сравнить полученное значение длины свободногопробега с межатомным расстоянием a = 3,61 Å, а время свободногопробега сравнить с периодом колебаний (τ0 ~ 10–13 c) ионов в узлахкристаллической решетки меди. Считать массу электрона проводимости равной массе свободного электрона.Решение. Определив по формуле (6.24) энергию Ферми длямедиEF =2(2m3π2n)2/3=(1,05 ⋅ 10−34 )22 ⋅ 0,9 ⋅ 10−30(3π2 ⋅ 8,45 ⋅1028 )2/3== 11 ⋅ 10−19 Дж ≈ 7 эВ,находим импульс Ферми (6.23):pF = 2mEF =(3π2n )1/3= 1,4 ⋅ 10−24 кг ⋅ м/с .ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ272Используя (9.38) и полученное значение pF, находим длинувремя τ свободного пробега:=σpFe2n=σ (3π2 )1/3e2 n 2/3τ=σm2e n==5,88 ⋅ 107 ⋅ 1,05 ⋅ 10−34 (3π2 )1/3(1,6 ⋅ 10−19 )2 (8,45 ⋅ 1028 )2/35,88 ⋅ 107 ⋅ 0,9 ⋅ 10−30(1,6 ⋅ 10−19 2) ⋅ 8, 45 ⋅ 1028и≈ 39 нм ,≈ 2, 4 ⋅ 10−14 c .Таким образом, электроны в меди между актами рассеянияпролетают десятки межатомных расстояний39≈≈ 100 .a 0,36А время свободного пробега на порядок меньше характерногопериода колебаний атомов в узлах кристаллической решетки:τ 2, 4 ⋅ 10−14≈≈ 0,1 .τ010−13Ответ:=σ (3π2 )1/32 2/3e n≈ 39 нм , τ =σm2e n≈ 2, 4 ⋅ 10−14 c .Задача 9.8.
Для электронов в одномерном металле закон дисперсии: E = E0 [1 − cos( k x a )] (рис. 9.12), где k x – волновой векторэлектронов, а Е0 и a – положительные константы. Металл находится в постоянном однородном электрическом поле с напряженностью Е = E ех, направленной вдоль оси металла ОХ. Найти закондвижения электрона, импульс которого в момент времени t0 равеннулю. Процессы рассеяния электронов не учитывать.Решение. Уравнение движения электрона в постоянном электрическом поле:dp x= qE .dtРазделяя переменные и интегрируя, с учетом начальных условий получаем зависимости импульса и волнового вектора электрона от времени:p x = qE (t − t 0 ) ,k x = qE (t − t 0 ) / .Гл.
9. Электроны в металле273Зная закон дисперсии, находим зависимости от времени энергии:qEa ( t − t 0 ) ⎤⎡E = E0 [1 − cos( k x a )] = E0 ⎢1 − cos⎥⎦ ,⎣скорости электронаE aqEa (t − t 0 )1 dE E0avx ==sin(k x a ) = 0 sindk xи координаты х(t) (закон движения):ttx (t ) = x0 + ∫ v x (t )dt = x0 + ∫t0E0asinqEa (t − t 0 )dt =t0E0 ⎡qEa (t − t0 ) ⎤1 − cos⎥⎦ .qE ⎢⎣Электрон совершает колебательное движение, частота которого qEa / определяется напряженностью электрического поля E , аамплитуда E0 /(qE ) зависит также и от ширины энергетическойзоны 2Е0 (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
