Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 42
Текст из файла (страница 42)
11.1). Таким образом, наглубине γ внешнее магнитноеполе уменьшается в е раз.Рис. 11.1. Индукция В магнитногополя уменьшается от значенияВ(0) = В0 на поверхности при х = 0 донуля при переходе вглубь сверхпроводника х → ∞. На глубине проникновения γ индукция уменьшается в ераз.Задача 11.1. Длинная сверхпроводящая трубка (внутреннийрадиус Ri, внешний радиус Re, а толщина стенок значительнобольше γ: Re – Ri >> γ) находится при температуре выше Тс в однородном внешнем магнитном поле, индукция которого параллельнаоси трубки (рис. 11.2).
Затем температура понижается ниже Тс. Поповерхности трубки, в слое толщиной γ начинает течь круговойнезатухающий сверхпроводящий ток, экранирующий материал вобъеме трубки от проникновения внешнего магнитного поля. Определите магнитный поток, пронизывающий внутреннюю полостьтрубки (рис. 11.2).296ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 11.2. Внешнее магнитное поле экранируется сверхпроводящим током так, чтоиндукция магнитного поля в объеме сверхпроводящей трубки равна нулю. Вблизиповерхности магнитное поле проникает в трубку на глубину γ.Решение. Условие квантования Бора–Зоммерфельда (11.2), определяющее стационарные замкнутые орбиты в магнитном поле, сучетом (11.7) принимает видv∫ mv( r )d A + q v∫ A(r )d A = 2π= ⋅ n .(11.9)Скорость v входит в формулу для плотности сверхпроводящеготокаjs = qns vs .(11.10)Подставляя vs из (11.10) в (11.9), находимmqnsv∫ js (r )d A + q v∫ A( r )d A = 2π= ⋅ n .Преобразуем второе слагаемое в левой части (11.9):(11.11)Гл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленкеv∫ A( r )d A = ∫∫ rotAds = ∫∫ Bn ds = Φ n ,Σ297(11.12)Σт. е. циркуляция векторного потенциала по замкнутому контуруv∫ A( r )d Aравна магнитному потоку Φ n = ∫∫ Bn ds через площадь Σ,Σограниченную этим контуром.Условие квантования (11.11) приобретает видm2π=nΦn + 2 v,js d A =∫qq ns(11.13)где q – заряд частиц, квантование канонического импульса которыхприводит к квантованию магнитного потока в цилиндре. Как следует из эксперимента, этот заряд равен удвоенному заряду электрона q = 2e.Выберем контур G (рис. 11.2) внутри сверхпроводящего материала трубки, где В = 0 и js = 0. Тогда из (11.13) получаем, что магнитный поток через площадь круга с радиусом Ri + γ (отверстие срадиусом Ri плюс слой толщиной γ) квантован:π=Φn =n,(11.14)eгде квант магнитного потокаπ= 2 π ⋅ 1,05 ⋅ 10−34== 2,06 ⋅ 10−15 Вб .(11.15)−19e1,6 ⋅ 10Величина кванта магнитного потока (11.15) мала, и чтобы наΦ0 =блюдать заметные скачки магнитного потока Φ n = B ⋅ πRi2 при изменении индукции магнитного поля В, следует брать цилиндры смалым внутренним радиусом Ri.Ответ.
Φ n = π=n / e .§11.2. Квантование движения заряженной частицыв магнитном полеНа заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Пусть индукция магнитного поля направленавдоль оси OZ. Тогда частицы совершают вращательное движение вплоскости XY, перпендикулярной направлению индукции магнит-298ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХного поля.
Движение в этой плоскости периодическое и ограниченное. Энергия всякого периодического движения квантуется, иможно ожидать квантования той части кинетической энергии частицы, которая связана с компонентами скорости v x и v y .Уравнение Шредингера для частицы в магнитном поле получается заменой оператора −i=∇ кинетического импульса mv1 в нулевом магнитном поле на оператор р кинетического импульса mv2(11.6) в магнитном поле:p = −i=∇ − qA ,(11.16)( − i =∇ − qA ) 2ψ = Eψ ,(11.17)2mгде q – заряд частицы, A – векторный потенциал магнитного поля.Так как В = rotA, то вектор А можно выбрать в виде А=(–yB, 0, 0).В этом случае для компонент оператора р (11.16) справедливы выражения:∂p x = −i= − qyB ,∂x∂p y = −i= ,∂y∂p z = −i= .∂zРешение уравнения (11.17) можно получить в аналитическомвиде (см., например, учебники по квантовой механике), но здесьмы не будем останавливаться на ходе решения.
Скажем только, чтодля движения в плоскости XY разрешенные энергетические уровнитакие же, как для квантового осциллятора (задачи 3.11 и 4.7). Энергетический спектр заряженной частицы в магнитном поле представляется в виде1 ⎞ P2⎛E = E x, y + E z = =ωc ⎜ n + ⎟ + z ,2 ⎠ 2m⎝где энергия поперечного движения1⎞⎛E x, y = E⊥ = =ωc ⎜ n + ⎟ .2⎠⎝(11.18)(11.19)Циклотронная частота ωc — частота прецессионного движения частицы по замкнутой траектории в плоскости, перпендику-Гл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке299лярной направлению индукции магнитного поля, может быть найдена из классического уравнения движения заряженной частицы вмагнитном поле:mv⊥2= qv⊥ B ,(11.20)rгде m – масса, q – заряд частицы, r – радиус орбиты, v⊥ = ωc r . Из(11.20) находимqBr.v⊥ =(11.21)mТаким образом, все частицы прецессируют с одной и той жечастотойqBωc =.(11.22)mЭнергия продольного движения квантуется так же, как и в предыдущих задачах, например из-за ограничения движения вдоль осиOZ, обусловленного размером L кристалла:2p21 ⎛ 2π= ⎞E|| = z =nz ⎟ .⎜2m 2m ⎝ L⎠(11.23)Задача 11.2.
Определите радиус орбит электронов в двумерном металлическом кристалле, если магнитное поле с индукциейВ = Вez направлено перпендикулярно плоскости кристалла.Решение. Магнитное поле не совершает работы, так как силаЛоренца всегда перпендикулярна скорости движения электронов.Поэтому энергия движения в магнитном поле не изменяетсяp2E x, y = E⊥ = ⊥ . Используя (11.18), имеем:2mp⊥21⎞⎛= =ωc ⎜ n + ⎟ и p⊥n = 2m=ωc ( n + 1/ 2 ) .2m2⎠⎝(11.24)Так как p⊥ n = mωc r⊥ n , тоr⊥ n =2= ( n + 1/ 2 )mωc=2=( n + 1/ 2 ) .eB(11.25)300ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХИз (11.25) следует, что не любые радиусы орбит для электронов разрешены. Переход с одной орбиты на соседнюю с квантовымномером на единицу больше возможен только при получении электроном энергии, равной энергии циклотронного кванта =ωc .
Всеэлектроны, имеющие одинаковую энергию En = =ωc ( n + 1/ 2 ) , тоесть находящиеся на энергетическом уровне с одним квантовымчислом n, вращаются по орбитам одинакового радиуса.2=Ответ. r⊥ n =( n + 1/ 2 ) .eBЗадача 11.3. В рамках условия предыдущей задачи определите,как изменяется плотность электронных состояний при введениимагнитного поля. Площадь, занимаемая двумерным кристаллом,равна S = L2. Наличие спина и собственного магнитного момента уэлектронов не учитывать.Решение. В отсутствие магнитного поля, с учетом кванто2 π=2 π=nx и p y =ny ,вания импульса вдоль осей ОХ и ОY ( p x =LL)объем квантового состояния равен ( 2π= / L ) . Одну и ту же энергию из интервала значений (Е, Е + dЕ) имеют электронные состояния, находящиеся в импульсном пространстве в кольце с внутренним радиусом р = 2mE (6.14) и внешним p + dp , где2mdE (6.15).2EВ заданном интервале энергии dЕ число состояний в кольцеравно:2 πрdрSmdN = 2= 2 dE .(11.26)2π=(2 π= / L)dр =Коэффициент 2 в (11.26) учитывает возможность нахождения водном состоянии двух электронов с разными направлениями спинов.Из (11.26) находим плотность состояний:Гл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке301dN Sm=,(11.27)dE π= 2которая оказывается не зависящей от энергии. Чем больше энергияЕ, т. е. чем больше импульс р и радиус окружности, тем меньшеширина кольца dр (6.15). При одном и том же dЕ число состоянийdN в кольце оказывается одинаковым.В магнитном поле энергия квантована: E = =ωc ( n + 1/ 2 )(11.19). Так как электроны имеют одинаковую циклотронную частоту вращения, то энергетический спектр всей системы совпадает сэнергетическим спектром одного электрона.Рис.
11.3. В отсутствие магнитного поля(B = 0) плотность состояний для двумерной пленки постоянна и разрешенныезначения энергии образуют систему эквидистантных квазинепрерывных уровней энергии (левая часть рисунка). Вмагнитном поле полосы квазинепрерывного спектра шириной =ωc стягиваютсяв дискретные энергетические уровниЛандау.В отсутствие магнитного поля уровни энергии расположены спостоянной плотностью (11.27).
В магнитном поле эти уровни стягиваются в уровни, отстоящие друг от друга на =ωc (см. рис. 11.3).Эти уровни называются уровнями Ландау. Каждый уровень Ландау в магнитном поле объединяет все уровни квазинепрерывногоспектра в интервале энергии =ωc , поэтому степень его вырожденияравнаdNSmeB.N n, B = =ωc ⋅= =ωc 2 = SdEπ=π=Вырождение энергетических уровней Ландау в магнитном поле возрастает с ростом индукции магнитного поля.Таким образом, плотность состояний в магнитном поле описывается набором дельта-функций, расположенных на одинаковомэнергетическом расстоянии =ωc друг от друга.302ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПримечание.
Учтем теперь, что каждый электрон имеет собственный механический момент s (спин) и связанный с ним магнитный момент μ s . Магнитный момент свободного электрона равен магнетону Бора:e=e=μB = s=.m0 2m0Энергия магнитного момента в магнитном поле −(μ s B) зависит от ориентации магнитного момента, то есть от направленияспина. Каждый уровень Ландау расщепляется на два подуровня,один из которых соответствует направлению магнитного моментавдоль магнитной индукции поля (уровень с меньшей энергией),другой – противоположному направлению (уровень с большейэнергией). Энергетическое расстояние между подуровнями равно2(μ s B ) .Длясвободногоэлектронаэторасстояние2(μ B B ) = ( e= m0 ) B совпадает с расстоянием между уровнями Ландау.В реальных веществах (металлах, полупроводниках) значениямасс электрона mc и ms , определяющих величину расщепленияЛандау =ωc = ( e= mc ) B и величину спинового расщепления уровней 2(μ s B ) = ( e= ms ) B , могут значительно отличаться от массыm0 свободного электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
