Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 43
Текст из файла (страница 43)
А для полупроводников циклотроннаямасса отличается и по знаку: для электронов mc > 0 , для дырокmc < 0 .Таким образом, для энергии электронов в магнитном полеможно записать (используя (11.18))P 2 e=B ⎛1⎞1 ⎞ e=B Pz2⎛.(11.28)E = =ωc ⎜ n + ⎟ − (μ s B) + z =n++⎜⎟±2⎠2mz mc ⎝2 ⎠ 2ms 2mz⎝Дно зоны проводимости Ec в магнитном поле определяетсяположением нижнего энергетического уровня n = 0–, соответствующего направлению магнитного момента электрона вдоль В:Ec = =ωcc / 2 − μ sc B .Энергия дырок отсчитывается от потолка валентной зонывниз. Потолок валентной зоны 0– соответствует минимальной энергии — уровню Ландау с номером n = 0 и магнитным моментом,направленным вдоль индукции магнитного поля:Гл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке303Ev = =ωcv / 2 − μ sv B .dN SmeBОтвет..= 2 , N n, B = Sπ=dE π=Задача 11.4. Оцените, с какой частотой изменяется плотностьсостояний на уровне Ферми у двумерного металла при увеличениииндукции магнитного поля. Считать, что магнитное поле невелико,так что, во-первых, под уровнем Ферми насчитывается большоеколичество уровней Ландау (ситуация далека от квантового предела, при котором =ωс / 2 = EF ) и, во-вторых, положение уровняФерми не изменяется при изменении индукции магнитного поля.Определите период осцилляций электронной плотности на уровнеФерми.Решение. При увеличении магнитного поля расстояние междууровнями Ландау увеличивается, и все уровни поднимаются вверхпо энергии. Если верхний заполненный электронами уровень расположен ниже уровня Ферми на расстоянии =ωc / 2 , его степеньзаполнения такая же, как и всех уровней Ландау, расположенныхниже по энергии. При дальнейшем увеличении магнитного полязаселенность верхнего уровня уменьшается (см.
рис. 11.3) и обращается в нуль, когда он поднимается выше уровня Ферми на расстояние =ωc / 2 . Расположенный ниже уровень Ландау в этот момент полностью заполнен. Таким образом, заселенность верхнегоуровня при увеличении магнитного поля периодически изменяетсяот максимального значения до нуля.Поскольку число уровней Ландау велико, то можно пренебречь1/2 в (11.19). Запишем условие совпадения уровня Ферми EF иуровня Ландау с номером n1 в магнитном поле с индукцией В1 ввиде EF = =ωc1n1 , или, используя выражение для циклотроннойчастоты,=qEF =B1n1 .(11.29)mПоследующее совпадение уровня Ферми с уровнем Ландау сномером n2 = n1 – 1 произойдет в магнитном поле В2:=qEF =B2 ( n1 − 1) .(11.30)mСравниваяуравнения(11.29)и(11.30),находимB2 ( n1 − 1) = B1n1 .
Выражая из (11.29) n1, получаемВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ30411=q−=.B1 B2 mEFТаким образом, в магнитном поле заселенность верхнегоуровня в зависимости от (1/B) меняется с постоянным периодомT1/ B :=q.(11.31)T1/ B =mEFОпределяя экспериментально период осцилляций заселенности(11.31), можно вычислить энергию Ферми.=qОтвет. T1/ B =.mEFЗадача 11.5.
В двумерном металле в магнитном поле электроны совершают вращательное движение по квантовым орбитам, каждая из которых соответствует определенному уровню Ландау.Вычислите, на сколько отличаются магнитные потоки через орбиты, квантовые номера которых отличаются на единицу.Решение. Радиус орбиты с квантовым номером n для электро-на rn =2= ⎛1⎞⎜ n + ⎟ , магнитный поток через площадь круговой2⎠e B⎝орбиты Φ n = B ⋅ πrn2 =2 π= ⎛1⎞⎜n + ⎟ .2⎠e ⎝Магнитный поток через соседние орбиты отличается на удвоенный квант магнитного потока:2 π=ΔΦ = Φ n +1 − Φ n == 2Φ 0 = 4,12 ⋅ 10−15 Вб .eОтвет.
ΔΦ = 2π= / e = 2Φ 0 .§11.3. Квантовый размерный эффектКвантовый размерный эффект представляет собой еще однопроявление квантовых свойств частиц на макроскопическомуровне.Как только размеры кристалла или толщина кристаллическойпленки становятся сравнимыми с длиной волны де-Бройля части-Гл. 11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке305цы, включается механизм квантования энергии в узких потенциальных ямах. Возникает ряд качественно новых эффектов, называемых квантовыми размерными эффектами.Задача 11.6. Полупроводниковая пленка из InSb имеет толщину L = 10 нм. Плоскость пленки перпендикулярна направлению осиOZ.
У массивного полупроводника InSb имеется прямая энергетическая щель между потолком валентной зоны и дном зоны проводимости, равная E g = 0,18 эВ . Определить сдвиг края полосы по-глощения в пленке по отношению к положению края для массивных образцов из InSb. В качестве модели потенциала вдоль оси ОZдля пленки используйте прямоугольный потенциальный «желоб сплоским дном» и бесконечно высокими стенками. Эффективныемассы электронов у дна зоны проводимости и дырок у потолка валентной зоны равны соответственно m3C = 0,013m0 и m3V = 0, 4m0 .Решение.
Потенциальная энергия электронов в пленке⎧ ∞, при z < 0,⎪U ( z ) = ⎨0, при 0 ≤ z ≤ L,⎪ ∞, при z > L.⎩(11.32)Кинетическая энергия вдоль оси OZ квантуется (см. задачу 3.4):En == 2 π222 mz Ln2 .(11.33)Пусть в направлениях OX и OY эффективные массы одинаковыи равны mx = my = m1, тогда для полной энергии можно записатьE=2 2= 2 k x2 = k y= 2 k 2 π2= 2 2++ En =+n ,2 mx2m y2m1 2m3 L2(11.34)где k 2 = k x2 + k y2 .Квазидискретный спектр электронов (11.34) в зоне проводимости для размерно-квантованной полупроводниковой пленки изображен на рис. 11.4.306ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХДну зоны проводимости ( k x = k y = k z = 0 ) в массивном полу2 2= 2 k x2 = k y = 2 k z2++, равнаяпроводнике соответствует энергия E =2m12m12m3нулю, если энергия отсчитывается от дна зоны проводимости(рис.
11.4).Рис. 11.4. Зависимости кинетическойэнергии электрона, находящегося взоне проводимости в полупроводниковой пленке, от компонент импульсарх, рy при разных значениях квантовых чисел n. Энергии Е1 соответствуют состояния с квантовыми номерами n = 1 и n = 2 и импульсами, отмеченными на рисунке штрихпунктирными линиями. С ростом энергиичисло состояний с заданной энергиейрастет, то есть растет плотность состояний. Точке рх = 0, рy = 0 соответствует энергия дна зоны проводимости в массивном полупроводнике.Рис. 11.5. Зависимости энергии от импульса для разных квантовых чисел n уэлектронов в зоне проводимости и валентной зоне.
Для массивного полупроводника Еc – дно зоны проводимости, Еv– потолок валентной зоны, Еg – энергетическая щель. Для пленки энергетическая щель Еgf.Гл. 11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке307В пленке дну зоны проводимости соответствуют k x = k y = 0 иn = 1, и таким образом, энергияπ2 = 2ΔEc =2m3c L2,где m3c – эффективная масса электронов у дна зоны проводимости.Таким образом, дно зоны проводимости в пленке сдвинутовверх на величинуΔEc =π2= 2210−68 π2=−30−16≈ 3,8 ⋅ 10−20 Дж = 0,24 эВ .2m3c L2 ⋅ 0,013 ⋅ 10 10Отсчитывая энергию дырок вниз от потолка валентной зоны Еvв массивном полупроводнике (рис.
11.5), получаем, что в пленкепотолок валентной зоны сдвинут вниз по энергии на величинуπ2= 210−68 π2≈ 0,12 ⋅ 10−20 Дж = 0,0077эВ.2m3v L2 2 ⋅ 0,4 ⋅ 10−3010−16Если в массивном полупроводнике энергетическая щель междупотолком валентной зоны и дном зоны проводимости равнаEg = Ec − Ev , то для пленки ширина энергетической щели отличаΔEv ==ется на величинуΔE gf == 2 π222m3c L+= 2 π222m3v L≈ 3,92 ⋅ 10−20 Дж ≈ 0,25эВи равнаE gf = E g + ΔE gf = E g += 2 π22m3c L2+= 2 π22m3v L2≈ 0,18 + 0,25 = 0,43 эВ(рис. 11.5).Поглощение электромагнитных волн в массивном полупроводнике начинается с частот10,18 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19ω = Eg ==2,9 ⋅ 1014 c−1 ,−34=10соответствующих длинам волн2 πc 2 πc=λ=== 6,5 ⋅ 10−6 м = 6500 нм .ωEgВ пленке край полосы поглощения сдвинут в коротковолновуюобласть:ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ308ωf =Ответ.10, 42 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19E gf ==6,8 ⋅ 1014 c−1 ,−34=102 πcλf == 2770нм .ωfΔω = ω f − ω =ΔE gf===π2 ⎡ 11 ⎤14 −1+⎥ ≈ 3,9 ⋅ 10 c ,2 ⎢mm2 L ⎣ 3c3v ⎦λ f − λ = 2770 − 6500= − 3730 нм .Задача 11.7.
Квадратная пленка изготовлена из полупроводника InSb. Длина стороны пленки L1, толщина L. В качестве моделипотенциала вдоль оси ОZ, перпендикулярной плоскости пленки,используйте прямоугольный потенциальный «желоб с плоскимдном» и бесконечно высокими стенками. Определите зависимостьплотности электронных состояний от энергии в размерноквантованной полупроводниковой пленке. Электронный газ считать вырожденным, то есть подчиняющимся статистике Ферми–Дирака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
