Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Эффективные массы вдоль осей OX и OY одинаковы:mx = m y = m1 , вдоль оси OZ эффективная масса равна m3.Решение. В массивном проводнике объем квантового состоя-ния в импульсном пространстве равен (2π= / L)3 , где L3 – объемкристалла (см. задачу 6.3). Свободно перемещающиеся вырожденные электроны занимают в импульсном пространстве квантовыесостояния внутри объема, ограниченного поверхностью Ферми. Вчастности в изотропном веществе поверхность Ферми может бытьсферической.В пленке квантование импульса в направлениях px , p y происходит так же, как и в массивном образце. Квант импульса равен2π= / L1 .В рамках предложенной модели потенциала в направлении OZ,квант импульса равен π= / L (см. совместно (4.60) и (4.63)).
Поскольку L1 >> L , то квант импульса вдоль оси z значительно превосходит кванты импульса в поперечных направлениях —π= / L >> 2π= / L1 . В этом случае квантовое состояние представляетсобой не кубик объемом (2π= / L)3 , как в массивном проводнике, авытянутый прямоугольный параллелепипед с квадратным основа-Гл. 11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке309нием в плоскости px , p y . Увеличение размера квантового состояния в размерно-квантованной пленке вдоль оси рz означает, что извсех квантовых состояний в объеме сферы Ферми для массивногопроводника электроны могут занимать только состояния с импульπ=сами pzn =n , т. е. состояния в эллипсах, получающихся при пеLπ=ресечении поверхности Ферми и плоскостей pzn =n (см.Lрис.
11.6).Используя результаты задачи ((4.62), (4.65)), для кинетическойэнергии движения вдоль оси OZ имеемEn == 2 π222 mz Ln2 ,где n = 1, 2, 3, … – квантовое числоПоскольку π= / L >> 2π= / L1 , то при записи кинетической энергии можно не учитывать дискретность состояний в плоскости рx –рy, считая спектр в этой плоскости квазинепрерывным.Тогда для полной энергии можно записать2 2= 2 k x2 = k y= 2 k⊥2π2 = 2 2E=n ,++ En =+2 mx2m y2m1 2m3 L2(11.35)где k⊥2 = k x2 + k y2 .Рис. 11.6. Для вычисления плотности состояний в подзоне (при n=const) изображены половины изоэнергетических сферических поверхностей E ( p) = const иE ( p) + dE ( p) = const .
Состояния в подзонах в заданном интервале энергии dE ( p)заштрихованы.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ310Площадь кольца, заключенного между двумя изоэнергетическими поверхностями E ( p) = const и E ( p) + dE ( p) = const:dSk = π( p⊥ + dp⊥ )2 − πp⊥2 = 2πp⊥ dp⊥ ,где p⊥ – импульс в поперечном к оси z направлении.С учетом вырождения по спину, число квантовых состояний вданном кольце равно:dN = 2dSk(2π= / L1 )2=22πp⊥ dp⊥(2π= / L1 )2=dp⊥22π=L2 .2 1(11.36)Из закона дисперсии (11.35) имеемp⊥2 = 2m1 [ E ( p ) − En ] .(11.37)Для фиксированной подзоны (то есть зоны с заданным номером n), дифференцируя (11.37), находимdp⊥2 = 2m1dE ( p) .Теперь число квантовых состояний (11.36) в подзоне можнопереписать в видеdp 2 2 m1dE 2dN =L1 =L1 .2π= 2π= 2Из полученного соотношения находим плотность состояний водной подзоне:mdN= 12 L12 .dE π=Для одной подзоны плотность состояний в единице объема( L12 L = 1 )ρ1 =mdn= 12 .dE Lπ=(11.38)Заметим, что в этом случае плотность состояний не зависит отэнергии и номера подзоны.Для массивного проводника плотность состояний при m1 = m3была получена в гл.6 (6.26):Гл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке311dn2m3/ 2= 2 3E.(11.39)dEπ =Проанализируем зависимость плотности состояний от энергиидля двумерной пленки.Пусть в импульсном пространстве подзона с номером n касается сферы, соответствующей Ес = const. Тогда состояния с энергиейE < Ec находятся в (n – 1) подзонах с меньшими квантовыми номерами. Поскольку плотность состояний одинакова во всех подзонах, то суммарная для всех подзон плотность состояний равнаρ( E ) =ρ = ρ1 (n − 1) =m1Lπ= 2(n − 1) .Касание дна подзоны с номером n и сферы Ес = const соответствует энергии (11.35) при условии рx = рy = 0, то естьEc = En =π2= 222m3 Ln2 .(11.40)При этом значении энергии плотность состояний испытываетскачок, равный вкладу ρ1 n-й подзоны, и становится равнойρ = ρ1n.
Выражая из (11.40) n через энергию Еn, находим значение,которое принимает плотность состояний при подключении n-йподзоны:mmLρ( En ) = ρ1 ⋅ n = 1 2 ⋅2m3 En = 2 1 3 2m3 En .(11.41)=πLπ=π =Рис. 12.7. Зависимость плотности состояний от энергии для двумерной пленки312ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХВыражение (11.41) совпадает с плотностью состояний (11.39) втрехмерном случае при m1 = m3.Таким образом, с ростом энергии плотность состояний испытывает скачкообразные изменения, как только энергия совпадает сдном очередной подзоны, то есть при значениях E = En (рис.
11.7).В этих точках плотность состояний в пленке совпадает со значением плотности электронных состояний в массивном образце (пунктирная линия на рис. 11.7). Отсутствие состояний при E < E1 связано с принципом неопределенности.Примечания. 1. Впервые эффекты размерного квантования наблюдались в пленках полупроводника InSb и полуметалла Bi.2.
В настоящее время на основе полупроводниковых пленокизготавливаются квантовые структуры с потенциальными барьерами различной формы, в том числе и рассмотренные в главах 4 и 5.Если привести в контакт два полупроводника (рис. 11.8 а) сразличными запрещенными зонами (широкозонный и узкозонный),то для электронов, движущихся в зоне проводимости узкозонногополупроводника с энергией меньше ЕC2, граница с широкозоннымполупроводником играет роль потенциального барьера (см. задачу 4.2).бавРис.
11.8. Энергетические схемы гетероструктур — контактов полупроводниковарсенида галлия GaAs (ширина запрещенной зоны Е1g = 1,5эВ) и твердого раствора AlхGa1-хAs, в котором часть х атомов галлия замещена атомами алюминия (ширина запрещенной зоны 1,5эВ ≤ E2 g ≤ 2, 2 эВ ).Гл. 11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке313Если же тонкий слой полупроводника с узкой запрещенной зоной поместить между широкозонными полупроводниками, то получится одномерная квантовая яма (см. задачу 4.5) конечной глубины. На рис. 11.8 б изображен один дискретный уровень (штриховая линия) в яме и волновая функция электрона в этом состоянии.Структура, содержащая прямоугольный одномерный барьер(задача 4.3), получается, если тонкий слой широкозонного полупроводника расположен между двумя узкозонными полупроводниками (рис.
11.8 в).Одним из технических методов получения таких структур является метод молекулярно-лучевой эпитаксии, который позволяет получать гладкие и резкие (с точностью до моноатомного слоя)границы между соседними слоями.π2 = 2Ответ. См. рис. 11.7, где E1 =– энергия дна первой2m3 L2подзоны, ρ1 = m1 ( Lπ= 2 ) – плотность состояний в одной подзоне;пунктирная кривая описывается аналитической зависимостьюmρ( E ) = 2 1 3 2m3 E .π =Задачи для самостоятельного решенияЗадача D11.1. Сверхпроводник занимает полупространствоx > 0 (рис.11.1) и находится в магнитном поле.
Используя уравнения Максвелла и II закон Ньютона для сверхпроводящих электронов, найти глубину γ проникновения индукции магнитного полявнутрь сверхпроводника. Оценить глубину проникновения γ дляолова, полагая, что концентрация сверхпроводящих электроновравна n = 1022см–3, а масса сверхпроводящих электронов равна массе свободных электронов.Ответ. Решая систему уравнений:⎧ rotE = − dB dt ,⎪ rotB = μ j,0⎪⎪B=div0,⎨⎪ m dv dt =eE,⎪j = env⎪⎩ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ314dB ⎡ μ 0 e 2 n ⎤ dBdB, получаем уравнение ∇ 2.=⎢⎥dt ⎢⎣ m ⎥⎦ dtdtВ одномерном случае решение этого уравнения:⎡ x⎤dB ( x) dB=exp ⎢ − ⎥ ,dtdt x =0⎣ γ⎦относительногде γ =mμ0e2 n– глубина проникновения магнитного поля.Для олова γ =m=10,9 ⋅ 10−30≈ 530 Å.μ0e 2 n 1,6 ⋅ 10−19 4 π10−71028Экспериментальное значение лондоновской глубины проникновения для олова γ = 510 Å (для сравнения напомним, что длинаволны зеленого света 5000 Å).Задача D11.2.
На рис. 11.9 представлена зависимость сопротивления R двумерной пленки от индукции магнитного поля В.Оцените энергию Ферми в пленке, если эффективная масса электронов равна m = 0,01m0 , где m0 — масса свободного электрона.Рис.11.9. Зависимость сопротивления R двумерной пленки от индукции магнитного поля В.Ответ. Период осцилляций в обратном магнитном поле=qT1/ B ≈ 0,06Тл −1 , EF =≈ 170мэВ .0,01m0T1/ BГл. 11.
Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке315Задача D11.3. Изобразите схематически энергетическийспектр дырок в магнитном поле для однозонного дырочного полупроводника при ms > mc .Ответ. При ms > mc орбитальное расщепление =ωc = e=B / mcпревосходит спиновое e=B / ms (рис. 11.10).Рис.11.10. Энергетические уровни двумерной пленки в магнитном поле.Задача D11.4. Найдите энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в магнитном поле.
Энергия в зоне проводимости отсчитывается вверх от положения дна зоны при В = 0.Энергия в валентной зоне отсчитывается вниз от положения потолка зоны при В = 0. Как изменяется величина запрещенной щели сростом индукции магнитного поля, если спиновые массы большециклотронных, как в зоне проводимости, так и в валентной зоне:mcs > mcc и mvs > mvc ?Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
