Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 39
Текст из файла (страница 39)
9.12).E ⎡qEa (t − t0 ) ⎤Ответ: x (t ) = x0 + 0 ⎢1 − cos⎥⎦ .qE ⎣= x0 +Приложение 9.1. Формула ЛифшицаКак уже рассматривалось выше (§9.6), в электрическом полеповерхность Ферми смещается на величину Δpх, зависящую от напряженности поля E и времени свободного пробега τ:Δp J ≡ Δp x = − eEτ (9.34).Вычислим плотность электрического тока, создаваемого электронами одного из полумесяцев, например полумесяц 1 (см.рис. 9.13). Для вычисления количества электронов разобьем объемполумесяца на кольца, оси которых совпадают с осью OX.
Радиуспроизвольно выбранного кольца равен pF sin ϑ , ширина – pF dϑ ,площадь – dS = 2πpF2 sin ϑd ϑ , а толщина соответствует составляющей Δpх, перпендикулярной dS: Δpx ⊥ = Δpx cos ϑ (ϑ — угол междуосью ОХ и направлением импульса электронов pF). Объем кольцаd Ω = dS ⋅ Δpx ⊥ . Число электронов в кольце (удвоенное с учетомВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ274разных направлений спина) равно числу элементарных квантовыхсостояний в объеме dΩ:dn = 2dΩ( 2π )3=4πpF2 ⋅ Δpx( 2π )3sin ϑ cos ϑd ϑ =S F ⋅ Δp x( 2π )3sin ϑ cos ϑd ϑ ,где SF = 4πpF2 – площадь поверхности Ферми в р-пространстве.Полное число электронов, занимающих состояния в полумесяцах 1 и 2 и принимающих участие в создании электрического тока,равноΔn J = 2 ∫ dn =2 S F Δp x( 2ππ2∫)3 0sin ϑ ⋅ cos ϑd ϑ =S F Δp J( 2 π )3.(9.39)Учитывая, что полное число коллективизированных электро(4 3) πpF3 2 SF pFнов в сфере Ферми равно n0 = 2, выражение=( 2π )3 3 ( 2π )3(9.39) можно записать в видеS Δp3 n0Δn J = F J3 =Δp J .( 2 π ) 2 pF(9.40)Вклад в плотность электрического тока электронов кольца равенdj ( ϑ ) = e ⋅ dn ⋅ v x .(9.41)Поскольку в случае сферической поверхности Ферми скоростьи импульс электронов направлены одинаково, то х-компонентаскорости vF электронов равнаv x = vF cos ϑ .(9.42)Заметим, что среднее значение компоненты vx для электронов в объемах 1 и 2 составляет 2/3 от скорости Ферми:vx =2Δn Jπ2∫02v x dn = vF .3С учетом (9.39) и (9.42) выражение (9.41) принимает видdj = e ⋅ dn ⋅ v x = eS F ⋅ Δp x( 2 π )3⋅ vF sin ϑ ⋅ cos2 ϑd ϑ .(9.43)Гл.
9. Электроны в металле275Суммируя плотность тока от всех колец и учитывая наличиевторого полумесяца, получаем выражение для полной плотноститока:j = 2 ∫ dj =2eS FvF Δp Jπ2∫sin ϑ⋅ cos2 ϑd ϑ =2eS FvF ΔpJ. (9.44)3π32()0Используя (9.39) или (9.40), можно придать иной вид формуле(9.44) для плотности тока:( 2π )3⎡ S Δp ⎤ 22j = e ⎢ F J3 ⎥ ⋅ vF = eΔnJ ⋅ vF ,3⎢⎣ ( 2π ) ⎥⎦ 3(9.45)j = en0 ⋅ (ΔpJ m) .(9.46)илиФормула (9.46) совпадает с (9.36), полученной в модели Друде–Лоренца.С учетом = vF τ (9.35) выражение (9.44) для плотности электрического тока запишется в виде:j=2 e2 S FE.3 ( 2 π )3(9.47)Соотношение (9.47) впервые было получено И.М.
Лифшицем исправедливо для изотропного закона дисперсии, когда Е = f(p2).Квадратичный закон дисперсии представляет собой частный случай закона Е = f(p2), так же как и линейный закон дисперсии, который можно представить в виде E = ±α( p 2 )1 2 .Задачи для самостоятельного решенияЗадача D9.1. Зависимость химического потенциала от температурывыражаетсяприближеннойформулой:2⎡ π2 ⎛ k T ⎞ ⎤Bμ ≅ EF ⎢1 −⎜⎟ ⎥ . Найти для серебра отношение теплоемко⎢ 12 ⎝ EF ⎠ ⎥⎣⎦сти электронного газа к теплоемкости решетки при температуре300 К. Температура Дебая для серебра TD = 210 К. Учесть, что вВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ276формулу для среднего значения энергии электрона E = 3 EF / 5при температуре T ≠ 0K входит не энергия Ферми, а химическийпотенциал. Энергия Ферми у серебра EF = 5,5 эВ.Ответ.Cэ π2 k BT=≈ 8 ⋅ 10−3 .Ср6 EFЗадача D9.2.
Полагая электронный газ в металле идеальным,определить давление электронного газа при Т = 0 К.Ответ. P =22n E = nEF =352(3π2 )2/3 5/3n .5mЗадача D9.3. Используя значения коэффициентов электропро-водностидлямедиσ1 = 5,88 ⋅ 107 (ом ⋅ м) −1идлянатрияσ2 = 2,11 ⋅ 107 (ом ⋅ м) −1 и энергий Ферми электронов EF1 = 7,00эВи EF2 = 3,23эВ , найдите отношение длин свободного пробегаэлектронов в этих металлах.σEОтвет. 1 = 1 F2 ≈ 1,3 .σ2 EF12Задача D9.4. Какая доля свободных электронов в металле притемпературе Т = 0 К имеет энергию, отличающуюся от энергииФерми не более чем на α = 3%.Δn3α= 1 − (1 − α /100)3/ 2 ≅= 0,045 .Ответ.n200Гл.
10. Электроны и дырки в полупроводниках277Глава 10ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ§10.1. Зонная структура полупроводников и диэлектриковВалентная зона — наивысшая из разрешенных энергетических зон электронов твердого тела, в которой при температуре 0 Квсе энергетические состояния заняты. Зона проводимости — самая нижняя энергетическая зона в твердом теле, которая содержитсвободные уровни в основном состоянии (не заполнена или содержит некоторое число носителей при Т = 0 К).Рассмотрим случай, когда зона проводимости отделена от валентной зоны энергетической щелью шириной Еg (рис.
10.1).Рис. 10.1. Энергетический спектр изоляторов и полупроводников с полностьюзаполненной валентной зоной (затемнена) и полностью свободной зоной проводимости. Область запрещенных энергетических состояний (энергетическая щельшириной Еg) находится между потолком валентной зоны Еv и дном зоны проводимости Ес: E g = Ec − Ev .Пусть при Т = 0 К в зоне проводимости все состояния свободны, а в валентной зоне – полностью заполнены электронами. Электроны валентной зоны не участвуют в электропроводности, так каквсе состояния в ней заполнены и электроны не могут изменить278ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХсвою энергию. В таком кристалле требуется конечная энергия возбуждения, не меньше ширины запрещенной зоны Еg, для переводаэлектронов вверх по энергии через энергетическую щель в зонупроводимости.
Если ширина запрещенной зоны Еg велика, так чтони температура, ни постоянное электрическое поле (и другие воздействия, которые не разрушают твердое тело) не могут сообщитьэлектронам достаточную энергию для перехода в зону проводимости, то такое твердое тело не проводит электрический ток и является изолятором.Если ширина запрещенной щели Еg невелика, то при конечнойтемпературе T в результате тепловых флуктуаций некоторое числоэлектронов переходит из валентной зоны в зону проводимости. Какэлектроны в зоне проводимости, так и дырки (свободные, незаполненные состояния), образовавшиеся в результате ухода электронов из валентной зоны, будут являться носителями тока и будутдавать свой вклад в проводимость. С ростом температуры числоперешедших в зону проводимости электронов (как и число дырок ввалентной зоне) растет экспоненциально (по закону Больцмана).Вещества с таким энергетическим спектром, обладающие конечнойэлектропроводностью, быстро возрастающей с ростом температуры, называются полупроводниками.Удельное электрическое сопротивление полупроводников прикомнатной температуре лежит в интервале от 10 –6 Ом ⋅м до108 Ом ⋅ м.
По величине сопротивления они находятся между хорошими проводниками ∼ (10 –8 ÷ 10 –6) Ом ⋅м и изоляторами(>108 Ом ⋅м).Если зона проводимости заполнена не полностью и электроновдостаточно много, то концентрация носителей тока не будет зависеть от температуры. Такие вещества являются металлами.В середине ХХ века были открыты так называемые бесщелевые полупроводники, занимающие промежуточное положениемежду металлами, у которых энергетические зоны перекрываются,и полупроводниками, у которых зоны разделены энергетическойщелью.
Бесщелевой полупроводник можно рассматривать как предельный случай металлического состояния с вырожденной в точкуповерхностью Ферми, или как полупроводник с нулевой ширинойзапрещенной зоны. Бесщелевые полупроводники обладают целымрядом необычных свойств, в частности, аномально (рекордно) малыми эффективными массами носителей тока и огромными подвижностями носителей заряда.Гл. 10. Электроны и дырки в полупроводниках279Число электронов в кристалле определяется валентностьюатомов. Валентность и электропроводящие свойства веществасвязаны между собой.1) Одновалентные щелочные металлы (Li, Na, K, Rb, Cs) и благородные металлы (Cu, Ag, Au) являются хорошими проводниками,так как N электронов заполняют половину зоны Бриллюэна, в которой может находиться 2N электронов с противоположными спинами (N – число атомов).
Зона проводимости указанных металловзаполнена наполовину.2) Двухвалентные вещества не являются изоляторами благодаря перекрытию энергетических зон. Перекрытие зон создает условия хорошей металлической проводимости всех двухвалентныхвеществ, за исключением Sr и Br, которые являются плохими проводниками из-за слабого перекрытия зон.3) В трехвалентных веществах, таких как Al, Ga, In, Tl, электроны (3N) полностью заполняют одну зону (валентную энергетическую зону) и половину второй зоны — зоны проводимости. Поэтому эти вещества относятся к металлам.4) Перекрытие зон приводит к тому, что среди четырехвалентных веществ встречаются все типы проводимости: изоляторы,полупроводники, полуметаллы и металлы. Четырехвалентный углерод существует или в виде алмаза (со столь широкой запрещенной зоной, что его практически можно считать изолятором), или ввиде графита, являющегося полуметаллом (с малым перекрытиемвалентной зоны и зоны проводимости).
Кремний и германий – типичные полупроводники. Олово в одной фазе представляет собойметалл, а в другой – полупроводник. Свинец – типичный металл.5) Пятивалентные элементы As, Sb, Bi должны бы быть хорошими проводниками с двумя полностью и одной наполовину заполненными зонами. Однако кубическая решетка этих элементовоказывается неустойчивой относительно ромбоэдрической деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
