Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 41
Текст из файла (страница 41)
λ = 2π=c / E g = 1,6 ⋅ 10−6 м .Задача 10.2. Во сколько раз изменится концентрация электронов в собственном невырожденном полупроводнике при изменениитемпературы от Т1 = 200 К до Т2 = 300 К, если ширина запрещеннойзоны изменяется по закону E g = ( Δ − αT ) , где Δ = 0,785 эВ – ши-Гл. 10. Электроны и дырки в полупроводникахриназапрещеннойзоны287притемпературеТ = 0 К,α = 4 ⋅ 10−4 эВ / К ?Решение.
Используя соотношение (10.8) и условие задачи, находим выражение для концентрации электронов (и дырок):⎛ k T ⎞nc = nv = 2 ⎜ B 2 ⎟⎝ 2π= ⎠32⎛Eg ⎞⎟=⎝ 2k BT ⎠( mc mv )3 4 exp ⎜ −1/2 k BT ⎤⎡= 2 ⎢( mc mv )2 π= 2 ⎥⎦⎣3/2⎡ Δ − αT ⎤⋅ exp ⎢ −⎥,⎣ 2k BT ⎦(10.11)и отношение концентраций при изменении температуры отТ1 = 300 К до Т2 = 200 К:n2 ⎛ T2 ⎞=⎜ ⎟n1 ⎝ T1 ⎠⎛ 300 ⎞=⎜⎟⎝ 200 ⎠Ответ.3/23/2n2 ⎛ T2 ⎞=⎜ ⎟n1 ⎝ T1 ⎠⎡ Δ ⎛ 1 1 ⎞⎤exp ⎢ −⎜ − ⎟⎥ =⎣ 2k B ⎝ T2 T1 ⎠ ⎦(10.12)⎡ Δ ⎛ 11 ⎞⎤3−exp ⎢ −⎜⎟ ⎥ = 3,6 ⋅ 10 .2k300200⎠⎦B⎝⎣3/2⎡ Δ ⎛ 1 1 ⎞⎤3exp ⎢ −⎜ − ⎟ ⎥ = 3,6 ⋅ 10 .⎣ 2k B ⎝ T2 T1 ⎠ ⎦Задача 10.3.
При изменении температуры от Т1 до Т2 проводимость чистого (беспримесного) полупроводника возрастает в αраз. Определите ширину запрещенной зоны.Решение. Для плотности тока j в беспримесном полупроводнике можно использовать то же соотношение, что и для металла(§9.6, (9.36)):ee2j = enΔVJ = nΔp J = nEτ ,mmгде ΔVJ , ΔpJ – приобретаемые в электрическом поле с напряженностью E скорость и импульс направленного движения, τ – времясвободного пробега, n – полная концентрация электронов и дырок.Зависимость проводимостиВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ288e2(10.13)nτmот температуры у беспримесного полупроводника, в отличие отметалла, связана, главным образом, не с временем τ, а с концентрацией n:σ=⎛ k T ⎞n = 2nc,v = 4 ⎜ B 2 ⎟⎝ 2 π= ⎠32⎛Eg ⎞⎛ Eg ⎞⎟ = n0 exp ⎜ −⎟,⎝ 2k BT ⎠⎝ 2k BT ⎠(10.14)( mc mv )3 4 exp ⎜ −3234⎛ k T ⎞где n0 = 4 ⎜ B 2 ⎟ ( mc mv ) .
Зависимостью коэффициента n0 от⎝ 2 π= ⎠температуры можно пренебречь по сравнению с экспоненциальнойзависимостью n(T ) . Тогда для проводимости беспримесного полупроводника получаемσ=⎛ Ege2 τe2 τn=n0 exp ⎜ −mm⎝ 2k BT⎞⎛ Eg⎟ = σ0 exp ⎜ −⎠⎝ 2k BT⎞⎟.⎠(10.15)σ2= α , поэтомуσ1TTE g = 2kB 1 2 ln α .T2 − T1TTОтвет. E g = 2kB 1 2 ln α .T2 − T1По условию задачиЗадача 10.4. По данным измерения эффекта Холла, концентрация электронов в полупроводнике при температуре Т1 = 400 К рав-наn1 = 1,3 ⋅ 1016 см –3,апритемпературеТ2 = 350 Кравнаn2 = 6, 2 ⋅ 1015 см –3.
Определить ширину запрещенной зоны полупроводника при температуре T = 0 К, считая, что она изменяется стемпературой по линейному закону.Решение. Используя линейную зависимость ширины запрещенной зоны от температуры E g = E g 0 − αT при температурах Т1и Т2, получаем систему двух уравнений:E g1 = E g 0 − αT1 ,Гл. 10. Электроны и дырки в полупроводниках289E g 2 = E g 0 − αT2 ,из которых находимEg 0 =T2 E g1 − T1E g 2T2 − T1.(10.16)Для определения ширин запрещенных зон при температурах Т1и Т2 используем (10.8):⎡⎤n1 (2 π= 2 )3/2,E g1 = 2kT1 ln ⎢3/23/4 ⎥⎢⎣ 2( k BT1 ) ( mc mv ) ⎥⎦⎡⎤n2 (2 π= 2 )3/2.E g 2 = 2kT2 ln ⎢3/23/4 ⎥⎢⎣ 2( k BT2 ) ( mc mv ) ⎥⎦Подставляя полученные значения в (10.16), находим3/2 ⎞−1 ⎛ n TE g 0 = 2k BT1T2 ( T1 − T2 ) ln ⎜ 1 23/2 ⎟ =⎜n T⎟⎝ 2 1 ⎠3/2 ⎞−1 ⎛ 13 ⋅ (350 / 400)= 2k B 400 ⋅ 350 ( 400 − 350 ) ln ⎜⎟⎟ = 0,26 эВ.⎜6,2⎝⎠3/2⎞−1 ⎛ n TОтвет. E g 0 = 2k BT1T2 ( T1 − T2 ) ln ⎜ 1 23/2 ⎟ = 0,26 эВ .⎜n T⎟⎝ 2 1 ⎠Задача 10.5.
На рисунке 10.6 приведен график зависимости логарифма удельной проводимости от обратной температуры 1/Т дляполупроводника, слабо легированного донорными примесями (полупроводника n-типа). Оцените ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации.Примечание. Легированный полупроводник n-типа содержитпримесные атомы — доноры, у которых число валентных электронов на единицу больше, чем у атомов основной матрицы. «Лишний» электрон примесного атома не участвует в образовании ковалентных связей. Энергетический уровень, на котором при Т = 0 Кнаходится этот электрон, расположен в запрещенной зоне полупроводника, под дном зоны проводимости (рис. 10.7) и называется донорным уровнем.
Этот уровень энергии «привязан» только к местурасположения примеси и поэтому называется локализованным.290ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 10.6. Зависимость логарифма удельнойпроводимости от обратной температуры дляполупроводника, слабо легированного донорными примесями (полупроводника nтипа).полупроводника.аПри слабом легирования,когда донорные примесине взаимодействуют другс другом, все донорныеэлектроны имеют одну иту же энергию (см.рис. 10.7). При температурах, отличных от нуля(Т ≠ 0 К), электроны слокальныхпримесныхуровней могут перемещаться в зону проводимости.
Для этого требуется энергия Еa, называемая энергией активации,которая в десятки разменьше, чем ширина запрещеннойзоныЕgбРис. 10.7. а — зонная структура чистого полупроводника. Уровень Ферми EFрасположен в середине запрещенной зоны Eg. При Т ≠ 0 К осуществляется собственная проводимость за счет перехода (указан стрелкой) электронов из валентной зоны (заштрихована) в зону проводимости.
б — зонная структура полупроводника слабо легированного донорными примесями. Донорные уровнирасположены ниже дна зоны проводимости на энергию Еа. Примесная проводимость осуществляется за счет переходов (указаны стрелкой) электронов сдонорных уровней в зону проводимости.Гл.
10. Электроны и дырки в полупроводниках291При наличии примесей электропроводность выражается формулой:⎛ Eg ⎞⎛ E ⎞σ = σ0 a exp ⎜ − a ⎟ + σ0 exp ⎜ −(10.17)⎟.⎝ 2kBT ⎠⎝ 2kBT ⎠Первое слагаемое отражает переходы с примесных уровней взону проводимости — примесная проводимость (рис. 10.7б ), которая наблюдается при низких температурах. Второе слагаемоеописывает собственную проводимость (рис. 10.7 а), которая имеет место при более высоких температурах, когда электроны в зонупроводимости переходят из валентной зоны полупроводника.Решение. На графике (рис. 10.6) можно выделить две линейные зависимости. Низкотемпературная линейная зависимость связана с активацией электронов с донорных уровней, высокотемпературная – с собственной проводимостью.Высокотемпературный участок графика (10.17) можно запиEgсать в виде ln σ = ln σ0 −или в десятичных логарифмах2kBTlg σ = lg σ0 − 0, 43Eg2kBT.(10.18)По наклону прямой зависимости lg σ от 1/Т к оси абсцисс определяется tgϕ ≈ −4 ⋅ 103 .
И по формуле tgϕ = − 0,43 (2k B ) E g , следующей из (10.18), вычисляется Еg: E g = − 2k B tgϕ 0,43 ≈ 1,6 эВ .Аналогично, определяя тангенс угла наклона tgϕa ≈ 32,5 длянизкотемпературного участка зависимости lg σ от 1/Т, получаем2k tgϕзначение энергии активации: Ea = − B a ≈ 0,013эВ .0,43Ответ. E g ≈ 1,6 эВ , Ea ≈ 0,013эВ .Задачи для самостоятельного решенияЗадача D10.1. Вычислить собственные концентрации электронов n в германии Ge и в кремнии Si при T = 300 K . Эффективнуюмассу электронов в валентной зоне для Ge считать равнойmv (Ge) = 0,36m0 , а в зоне проводимости mc (Ge) = 0,55m0 , а для SiВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ292– mv (Si) = 0,59m0 , mc (Si) = 1,10m0 .
Ширина запрещенной зоны приT = 300 K в Ge составляет Eg (Ge) = 0,66 эВ, а в Si –E g (Si) = 1,11 эВ.Ответ.⎛ k T ⎞nc (Ge) = 2 ⎜ B 2 ⎟⎝ 2π= ⎠32⎛Eg ⎞19 −3⎟ = 2,2 ⋅ 10 м ,2kTB ⎠⎝( mc mv )3 4 exp ⎜ −⎛ k T ⎞nc (Si) = 2 ⎜ B 2 ⎟⎝ 2π= ⎠32⎛Eg ⎞19 −3⎟ = 1,05 ⋅ 10 м .⎝ 2k BT ⎠( mc mv )3 4 exp ⎜ −Задача D10.2. В некотором чистом полупроводнике эффективная масса дырок значительно превосходит эффективную массуэлектронов. Где располагается величина химического потенциалаотносительно середины запрещенной зоны при температуре Т?Ответ.: Химический потенциал будет ближе к дну зоны проE + Ev 3mводимости, так как μ = c+ k BT ln v .mc24Задача D10.3.
Получить формулу для концентрации электронов проводимости в невырожденном полупроводнике с заданнымзначением химического потенциала μ при температуре Т.⎛m k T ⎞Ответ. nc = 2 ⎜ c B2 ⎟⎝ 2 π= ⎠3/2⎛ μ − Ec ⎞exp ⎜⎟.⎝ k BT ⎠Задача D10.4. Концентрация электронов в собственном полу-проводнике при температуре T=400 К равна n = 1,38 ⋅ 1015 см –3.Найти произведение эффективных масс электрона и дырки, еслиширина запрещенной зоны изменяется с температурой по законуEg = (Δ − αT ) , где Δ = 0,785 эВ, α = 4 ⋅ 10−4 эВ/К.Ответ.mn m pm022⎛ 2 π= 2 ⎞ ⎛ n ⎞4/3 1⎛ 2( Δ − αT ) ⎞exp ⎜=⎜⎟ = 0,21 .⎜ k BT ⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ m 2⎝ 3k BT ⎠0⎝⎠Гл. 11.
Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке293Глава 11КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕИ В ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ§11.1. Квантование магнитного потока11.1.1. Канонический импульсВ квантовой механике различаются две импульсные величины.1) Кинетический импульс: mv, определяющий кинетическую( mv)2, где m – масса частицы.2m2) Канонический импульс, который определяет длину волныде Бройля частицы (2.1)2π=λ=.(11.1)pэнергию E =По условию квантования Бора (см. §3.1) на длине боровскойорбиты укладывается целое число длин волн. Для круговой орбитырадиуса r2πr = nλ ,где n — целое число.
Подставляя выражение для λ (11.1), находим2πr p = 2π= ⋅ n . Для орбиты произвольной формы это соотношениезаписывается в виде (постулата Бора–Зоммерфельда (3.3))v∫ pd A = 2π= ⋅ n .(11.2)В квантовой механике квантуется канонический импульс, таккак его величина не зависит от наличия магнитного поля.Найдем, как связаны канонический (р) и кинетический (mv)импульсы частицы. Рассмотрим частицу с зарядом q, движущуюсяв отсутствие магнитного поля со скоростью v.Пусть магнитное поле с индукцией В вводится за время τ. Согласно уравнению Максвелла, изменение магнитного поля приводит к появлению вихревого электрического поля:(11.3)rotE = −dB / dt .Выражая индукцию магнитного поля через векторный потенциал А:294ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХB = rot A ,(11.4)получаем уравнение rotE = − rot [ dA / dt ] , интегрируя которое получаемE = −dA / dt + C ,(11.5)где константа С равна нулю, так как Е = 0, если dA / dt = 0 .Под действием электрического поля с напряженностью (11.5)частица ускоряется, ее кинетический импульс изменяется и черезвремя τ становится равнымττdAdt = mv1 − qA ,dt0mv 2 = mv1 + ∫ qEdt = mv1 − q ∫0(11.6)где А — векторный потенциал, соответствующий величине введенного за время τ магнитного поля.Из (12.6) следует, что величинаp = mv + qA(11.7)равна значению кинетического импульса до введения магнитногополя mv1 = mv 2 + qA , то есть не зависит от В.
Эта величина (11.7)и называется каноническим импульсом.11.1.2. Магнитный поток внутри сверхпроводящей трубкиВ 1933 г. Мейснером и Оксенфельдом было открыто удивительное свойство сверхпроводников. При охлаждении массивныхсверхпроводников от Т > Тс (Тс – температура перехода в сверхпроводящее состояние, критическая температура) в постоянном магнитном поле обнаружено, что при температуре Тс магнитное полевыталкивается из объема образца, а по его поверхности начинаеттечь сверхпроводящий ток. Поверхностный сверхпроводящий токтечет в слое толщиной γ, которая называется глубиной проникновения магнитного поля.
Сверхпроводящий ток своим полем полностью экранирует проникновение в образец внешнего магнитногополя, так что внутри сверхпроводника индукция магнитного поля Ввсегда равна нулю. Величина γ варьируется в пределах от 400 донескольких тысяч ангстрем. Таким образом, формально сверхпроводники в сверхпроводящем состоянии ведут себя как идеальныеГл.
11. Квантование энергии в магнитном поле и в тонкой пленке295диамагнетики с магнитной восприимчивостью χ = −1 (индукция В и напряженность Н магнитного поля в магнетиках связаны соотношениемВ=(1+χ)μ0Н).В первом приближении индукция магнитного поля экспоненциально затухает при удалении от поверхности х = 0вглубь образца (х > 0) (см.рис. 11.1).Для удобства расчетов экспоненциальная функция В(х)заменяется ступенькой, ширинаγ которой удовлетворяет соотношению∞∫ B ( x ) dx = γB ( 0 ) ,(11.8)0где х — координата вдоль нормали к поверхности, В(0) —магнитная индукция на поверхностисверхпроводника(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
