Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 37
Текст из файла (страница 37)
9.9).Так как групповая скорость v gr = ∂E ∂p направлена перпендикулярно изоэнергетическим поверхностям, то пересекать границызон Бриллюэна изоэнергетические поверхности (в том числе и по-Гл. 9. Электроны в металле261верхность Ферми) могут только под прямыми углами. Это означает что с увеличением радиуса pF → π / a сферическая поверхность Ферми (рис. 9.10) будет деформироваться.Обратим внимание на то, что наличие эффективного потенциала и трансляция отрезка кривой Е(p), расположенного в первой зоне Бриллюэна, приводят к образованию первой энергетической зоны (см. рис.
9.9). Аналогичная трансляция отрезков кривых Е(p),расположенных во 2-й, 3-й и т.д. зонах Бриллюэна, приводит, соответственно, к образованию II, III и т.д. энергетических зон в спектре электронов.Подчеркнем еще раз, что образование «полосатого» энергетического спектра, состоящего из областей разрешенных и запрещенных значений энергий, — фундаментальное свойство, причинойкоторого является брэгговское отражение электронных волн периодическими структурами.Задача 9.1.
Для одновалентного металла с простой кубическойрешеткой с периодом a = 3,3Å определить фермиевский импульсpF и минимальное расстояние Δp от поверхности Ферми до границы зоны Бриллюэна. Какая часть зоны Бриллюэна заполненаэлектронами? Найти отношение Δp / pF .Решение: Фермиевский импульс определяется соотношением(9.2):(3π2 ⋅ zN / V )13pF =,где V – объем кристалла, z – валентность металла, N – число атомовв кристалле. Учитывая, что z = 1 , N = V / a3 , выражение для импульса Ферми приводим к виду:pF =(3π2 )a13≈ 9,9 ⋅ 10−25 кг ⋅ м/с .Как и в одномерном, так и в данном трехмерном случае компоненты приведенных значений волновых векторов (9.19) и импульсов лежат в интервале значений −π / a ≤ k x, y , z ≤ π / a и−π / a ≤ px, y , z ≤ π / a соответственно.
Таким образом, первая зонаБриллюэна представляет собой в импульсном пространстве куб состороной 2π / a . Центр куба совпадает с началом системы координат р = 0 (рис. 9.10).262ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПоскольку центр сферы Ферми и центр кубической зоны Бриллюэна совпадают, то наиболее близко сфера Ферми подходит кграницам зоны вдоль осей ex, ey, ez и максимально удалена в направлении пространственных диагоналей куба. Следовательно, минимальное расстояние Δp от поверхности Ферми до границы зоныБриллюэна равно:1/3ππ ⎛ ⎛ 3⎞ ⎞Δp =− pF =⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ ≈ 1,5 ⋅ 10−26 кг ⋅ м/с .aa ⎜ ⎝π⎠ ⎟⎝⎠Рис. 9.10. У одновалентного металла с простойкубической решеткой сферическая поверхностьФерми отстоит от ближайшей грани квадратнойзоны Бриллюэна со стороной 2π / a на расстояние Δр ~ 0,015рF (изображено без соблюдениямасштаба).Сфера Ферми близко подходит к грани кубической зоны Бриллюэна:()1 − (3/ π)1/ 3 π / aΔp1/ 3== ( π / 3) − 1 ≈ 0,015 = 1,5% ;213pF(3π )/aРазделив объем сферы Ферми 4πpF3 / 3 на объем зоны Бриллюэна ( 2π / a ) , получаем34 πpF3 / 3( 2π3=1.2/ a)Следовательно, когда на элементарную ячейку приходитсяодин электрон, то электронами заполняется половина зоныБриллюэна.Ответ.pF ≈ 9,9 ⋅ 10−25 кг ⋅ м/с ,Δp ≈ 1,5 ⋅ 10−26 кг ⋅ м/с ,Δp / pF ≈ 0,015 .
Заполнена половина зоны Бриллюэна.Задача 9.2. Энергия Ферми у кобальта ЕF = 1,1 эВ, температураплавления Тпл = 1 492 С. Оценить, какая доля электронов проводимости кобальта при температуре плавления находится в возбужденных состояниях. Воспользуйтесь следующими приближениями:Гл. 9. Электроны в металле2631) Для температур вблизи температуры плавления значениехимического потенциала приблизительно равно значению энергииФерми μ ≅ ЕF.2) Плотность состояний ρ(Е) вблизи уровня Ферми слабо изменяется, то есть ρ(Е) ≅ ρ(ЕF).3) При отличных от нуля температурах размытие ступенькираспределения Ферми–Дирака можно аппроксимировать линейнойзависимостью.Решение.
Энергия Ферми (9.3) определяется полным числомвалентных электронов, находящихся в зоне проводимости кобальта. Из (9.3) следуетn0 =( 2mEF )3/2.(9.23)3π2 3Но если при Т = 0 К все электроны занимали состояния с энергиями Е ≤ ЕF, то при T ≠ 0 K заполняется часть состояний с энергиями Е ≥ ЕF с вероятностью, описываемой распределением Ферми–Дирака ((7.12), рис. 9.11).Рис. 9.11. «Размытие» сферы Ферми: в слоетолщиной Δр (без соблюдения масштаба)имеются как свободные, так и занятые электронами состояния. Толщина этого слоясоответствует «размытию» по энергии~4kBT.Концентрация электронов Δn, находящихся в возбужденныхсостояниях, то есть с энергиями E F < E < EF + 2k BT , может бытьвычислена по формулеΔn =μ+ 2 k BT∫ρ( E ) f ( E )dE ,(9.24)μгде ρ( E ) — плотность состояний с энергией Е, f ( E ) — вероятность их заполнения (распределение Ферми–Дирака).
Используязаданное в условии задачи приближение (3), функцию Ферми–ДираказаменяемеелинейнойаппроксимациейВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ264f lin ( E ) =1 ⎡ E −μ⎤(7.13). Учитывая приближение (2) для плот1−2 ⎢⎣ 2k BT ⎥⎦ности состояний (6.26), записываем выражениеρ ( E ) ≈ ρ ( EF ) =2m03 2(9.25)EF .π2 3В данных приближениях вычисляем концентрацию электроновΔn, находящихся в возбужденных состояниях:Δn =μ+ 2 k B T∫μρ( E ) f ( E )dE ≈ρ( E F )2μ+ 2 k B T∫μ⎛ E −μ ⎞1⎜1 −⎟ dE = ρ( EF )k BT .2⎝ 2k BT ⎠(9.26)С учетом (9.23), (9.26) и (9.25) доля возбужденных электроновравна:Δn 3 k BT 3 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 (1492 + 273)==≈ 0,104 = 10,4% .n0 4 EF4 ⋅ 1,1 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19Таким образом, оценки показывают, что даже при температурах вблизи температуры плавления доля электронов, находящихсяв возбужденных состояниях, невелика.Δn 3kBT≈≈ 10% .Ответ.:n04 EFЗадача 9.3.
Оценить молярную теплоемкость электронногогаза в металле с известной энергией Ферми. Показать, что теплоемкость электронов пропорциональна температуре. Размытие ступеньки распределения Ферми–Дирака при отличных от нуля температурах можно аппроксимировать линейной зависимостью(7.13). Считать, что плотность состояний ρ(Е) вблизи уровня Ферми слабо изменяется, т. е. ρ(Е) ≅ ρ(ЕF), и значение химического потенциала совпадает с энергией Ферми μ ≅ ЕF.Решение. Для вычисления теплоемкости dU/dT необходимознать тепловую энергию U всех электронов.
Рассмотрим кристаллединичного объема.1-й способ оценки. Для оценки внутренней энергии U будемсчитать, во-первых, что тепловой энергией обладают электроны,чья энергия Е ≥ ЕF, и, во-вторых, их тепловая энергия – этоГл. 9. Электроны в металле265uT = E − EF ≡ E − μ . Тогда тепловая энергия электронов в этомобъеме вычисляется аналогично (9.24) – (9.26):μ+ 2 k BTU=∫μ( E − μ)ρ( E ) f ( E )dE ≈μ+ 2 k BTρ( E F )2∫μ⎛ E −μ ⎞⎜1 −⎟ ( E− μ)dE =⎝ 2k BT ⎠12= ρ( EF ) ( k BT ) .3В выделенном нами единичном объеме находится n0 (9.23)электронов, то есть n0/NA молей.
Поэтому внутренняя энергия моляN2электронов U1 = A ρ( EF ) ( kBT ) . С учетом (9.23) и (9.25) находим3n0оценочные выражения для внутренней энергии:NN (k T )2U1 = A ρ( EF ) ( kBT ) = A B3n02EFи для молярной теплоемкости:dU1k TC==R B .dTEF2(9.27)2-й способ оценки. Электроны в металле вырождены. Это значит, что к ним не применимы распределение Максвелла–Больцманаи теорема о равномерном распределении энергии по кинетическимстепеням свободы, которая позволяет легко рассчитать теплоемкость идеального газа. Однако в тепловых явлениях, так же как и вэлектропроводности, принимает участие только небольшая (посравнению с полным числом валентных электронов) часть электронов – фермиевские электроны, которые можно рассматривать какидеальный газ и к которым можно применять теорему о равномерном распределении тепловой энергии.Тепловой энергией 3kBT/2 обладают только электроны, находящиеся в возбужденных состояниях (фермиевские электроны).Число таких электронов (9.26) определено в задаче 9.2.
Таким образом, находим тепловую энергию фермиевских электронов:3⎡3⎤2U = ⎢ kBT ⎥ Δn = ρ( EF ) ( kBT ) .4⎣2⎦266ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХИспользуя (9.25) и (9.23), находим тепловую энергию одного9 N A ( k BT )Nмоля фермиевских электронов U1 = U A =n0EF8ную теплоемкостьdU1 9 kBTC==R.dT4 EF2и моляр-(9.28)Точные расчеты молярной электронной теплоемкости даютзначениеC=π2 kBTR.2 EF(9.29)Замечание.
При нормальных условиях решеточная молярнаятеплоемкость металлов близка к 3R по закону Дюлонга и Пти (задача 8.7). Поскольку в этих условиях k BT << EF (см. (9.29)), электронная теплоемкость пренебрежимо мала по сравнению с решеточной теплоемкостью. Однако при низких температурах, когдатеплоемкость решетки подчиняется закону Дебая (8.45) и изменя-ется с температурой пропорционально ~ T 3 , электронная теплоемкость может превышать решеточную.Ответ.: C =π2 k BTR~T .2 EFЗадача 9.4. Найти зависимость коэффициента теплопроводности электронного газа в металле от импульса Ферми, температуры и длины свободно пробега.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
