Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ωmaxk T= B=1/3⎛⎞4 π4⎜⎜⎟⎟⎝ 5(1 − α / 100) ⎠≈ 8,1 ⋅ 1013 рад/с .Задача D8.6. Оцените энергию, которую необходимо сообщить27 г алюминия, чтобы нагреть его от TD/20 до TD/10 ( TD ≈ 400 K ).Ответ. ΔQ =TD /10∫CdT ≈ 2 ⋅ 10−5 π4 RTD ≈ 6,4Дж .TD /20Задача D8.7. Найдите число продольных мод колебаний в диапазоне частот (ω, ω+dω) для цепочки из N атомов, расположенныхс периодом а. Масса каждого атома m. Коэффициент жесткостисвязи между атомами равен β. Считайте, что на движение каждогоатома влияют лишь его ближайшие соседи.2 Nd ω.Ответ: dn =π 4β / m − ω2Задача D8.8. Определите молярную теплоемкость кристаллической решетки при температуре TD/20. На сколько процентов отличается молярная теплоемкость решетки при этой температуре отклассического значения при высоких температурах?Ответ:C = 3 ⋅ 10−4 π4 R ≈ 0,03R ;C0 − C = 3R − 0,03R == 3R ⋅ 0,99 , 99%.242ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХГлава 9ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ§9.1.
Плотность состояний и плотность заполненияэнергетических уровней1. Состояния электронов при Т = 0 К были рассмотрены в гл. 6(см. задачу 6.3). Напомним, что каждое состояние в импульсномпространстве объемом (2π )3 /V (V — объем металлического кристалла) может вместить два электрона с противоположно направленными спинами (принцип Паули). При Т = 0 К все заполненныесостояния (самые низкие энергетические состояния) распложенывнутри сферы, называемой поверхностью Ферми (см.
рис. 6.5),радиус которой pF = k F определяется числом zN свободных (валентных) электронов (N — число атомов, z — их валентность):2(4 3)π pF3= zN .(2π )3 / V(9.1)Концентрация коллективизированных электронов равнаn = zN/V.Из (9.1) находятся максимально возможные при T = 0 К значения импульса pF (импульса Ферми) (6.23):pF =(3π2 ⋅ zN / V )13=(3π2n )13,(9.2)и энергии Ферми (6.24), пропорциональной n2/3:EF ( 0 ) =2pF2=3π2n2m0 2m0()23.(9.3)Непрерывный энергетический спектр Е = р2/(2m), характерный для свободного электрона, становится дискретным.Плотность состояний ρ(Е) или число состояний электронов вединичном интервале энергии, равна (6.26)322mdnρ ( E ) ≡ s = 2 03E~ E,(9.4)dEπгде dns — число состояний в интервале энергии dЕ.
Плотностьсостояний для электронов — важнейшая характеристика. Она оп-Гл. 9. Электроны в металле243ределяет максимальное число электронов, которое может разместиться в данном интервале энергий, что, в конечном итоге, определяет все свойства вещества.Вид функции ρ(Е) (9.4) показан на рис. 9.1 б. Плотность состояний ρ(Е) растет с увеличениемэнергии пропорционально E .При Т=0 К состояния с Е < ЕFполностью заполнены, так какf(Е < ЕF) = 1, а состояния с Е > ЕF –пустые.
Очевидно, что при Т = 0 Кплощадь под кривой ρ ( E ) в пределах от 0 до ЕF дает полную концентрацию электронов (рис. 9.1 б):zNn==VEF∫ ρ ( E ) dE .(9.5)02. При температуре, отличнойот нуля, кроме квантованной кинетической энергии у электронов появляется тепловая энергия хаотическогодвижения (порядка kВT). Поэтомуэлектроны, находящиеся вблизи поверхности Ферми, могут перейти всвободные состояния вне поверхности Ферми. Возможность переходааналитически описывается распределением Ферми–Дирака:−1Рис. 9.1.
Зависимости от энер⎡⎡ E − μ ⎤⎤f ( E ) = ⎢1 + exp ⎢гии Е: а — вероятности запол⎥ .⎥⎣ k BT ⎦ ⎦нения электронами состояний⎣РаспределениеФерми–Дирака f(Е), б — плотности состоянийρ(Е) и в — плотности заполнепри отличных от нуля температурах ния уровня энергии dn/dЕ.размыто (рис. 9.1 а): имеется отличная от нуля вероятность обнаружения электронов с энергиямиEF < E < EF + 2k BT и свободных, незаполненных состояний сэнергиями EF − 2k BT < E < EF .Рассмотрим, как заполняются электронами состояния, плотность которых описывается формулой (9.4), при T ≠ 0 К.
Число244ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХэлектронов dn, обладающих энергиями в бесконечно узком интервале значений от Е до (Е + dЕ), будет равно произведению плотности состояний (числу состояний в этом интервале энергий) навероятность их заполнения:dN = ρ ( E ) f ( E ) dE .При этом функцияdn2 m3 2= ρ( E ) f ( E ) =dEπ2 3E(9.6)⎛ E −μ⎞1 + exp ⎜⎟⎝ kBT ⎠описывает плотность заполнения энергетических уровней притемпературе Т. На рис. 9.1 в представлены зависимости плотностизаполнения dn dE при Т = 0 К (пунктирная кривая) и при Т ≠ 0 К(сплошная кривая).
Величина размытости четкой (при Т = 0 К) границы заполнения энергетических уровней при низких температурах (так же как и для f(Е)) составляет величину порядка 4kВT (см.(7.13)).При Т ≠ 0 К концентрация электронов равна заштрихованнойплощади на рис. 9.1 в, то есть рассчитывается по формуле:∞dnn=∫dE =dE0∞∫ f ( E )ρ ( E ) dE .(9.7)0f L ( E ) = (1 n) dn( E ) dEЗамечание. Функцияназываетсяфункцией распределения электронов по энергетическим уровням.Знание функции заполнения dn( E ) dE энергетических уровней (или функции распределения по энергии fL(Е)) позволяет вычислять средние значения любых функций от энергии.Пусть необходимо вычислить среднее значение некоторойфункции от энергии ϕ ( Е ) при достаточно низких температурах,то есть для вырожденного электронного газа.По определению, среднее значение функции ϕ(Е) равноϕ( E )∞∞001= ∫ ϕ ( E ) f L ( E )dE = ∫ ϕ ( E ) f ( E )ρ ( E ) dE ,n(9.8)Гл.
9. Электроны в металле245где ρ(Е) определяется формулой (9.4), f ( E ) – функция распределения Ферми–Дирака (7.12).§9.2. Энергия Ферми и химический потенциалХимический потенциал μ в статистической физике равенэнергии состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2 (см.замечания к задаче 7.1).Энергия Ферми ЕF для металлов равна химическому потенциалу μ при Т = 0 K.При низких температурах (kBT << ЕF), граница заполненияэнергетических состояний размывается симметрично относительнозначения f(μ) = 1/2 на величину порядка ±2kBТ. При этом μ практически совпадает с ЕF и вероятность заполнения электроном состояния на уровне Ферми (т.е. с энергий ЕF) равна: f ( EF ) ≈ 1 2 .При дальнейшем повышении температуры размытие становится несимметричным и значение химического потенциала смещается в область низких энергий.
В этой области температур системахарактеризуется значением химического потенциала, а не энергиейФерми.В области низких температур смещение химического потенциала вырожденного электронного газа с ростом температурыможно вычислить с помощью изложенного выше метода для расчета средних значений (9.8). Опуская вычисления, приведем конечную формулу зависимости химического потенциала от температуры:⎡ π2 ⎛ k T ⎞ 2 ⎤B(9.9)μ ≅ EF ⎢1 −⎜⎟ ⎥.⎢ 12 ⎝ EF ⎠ ⎥⎣⎦Так как при низких температурах kВT << ЕF, то смещение химического потенциала μ с ростом температуры имеет второй порядок малости.При высоких температурах для электронов с энергиямиЕ – μ >> kВT,(9.10)находящимися на «хвосте» распределения Ферми–Дирака, распределение Ферми–Дирака (7.12) можно преобразовать.
Так как по246ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХусловию (9.10) значение экспоненты в знаменателе f ( E ) (9.12)значительно больше единицы, то, пренебрегая единицей, функциюраспределения для таких электронов можно представить в виде⎡ E −μ⎤⎡ E ⎤(9.11)f ( E ) = exp ⎢ −⎥ = C (T ) exp ⎢ −⎥.⎣ kBT ⎦⎣ kBT ⎦Она совпадает с функцией распределения Гиббса для частиц,статистикеМаксвелла–подчиняющихсяклассическойБольцмана, когда число доступных состояний значительно больше числа частиц, способных занять эти состояния.Химический потенциал понижается с ростом температуры Т(см. рис. 7.1 и (9.9)).
Число электронов, описываемых статистикойМаксвелла–Больцмана (9.11), растет. Чтобы условие (9.10) выполнялось для всех электронов, т. е., чтобы все электроны системыописывались статистикой Максвелла–Больцмана, энергия каждогоэлектрона должна превышать μ, то есть химический потенциалдолжен стать отрицательным μ < 0.Электронный газ, подчиняющийся статистике Максвелла–Больцмана, называется невырожденным, а подчиняющийся статистике Ферми–Дирака — вырожденным. Температура (7.14)ET∗ = F(9.12)kBназывается температурой вырождения электронов или температурой Ферми.При Т >> Т* ступенчатый характер распределения меняется наэкспоненциальный.Электроны проводимости практически всех металлов находятся в состоянии сильного вырождения. При этом электроны вблизиуровня Ферми имеют энергию, значительно превосходящую кинетическую энергию их теплового движения.В термодинамике химический потенциал определяет изменение энергии системы частиц при изменении числа частиц на единицу.
Он равен производной по числу частиц в системе от внут⎛ ∂U ⎞ренней энергии μ = ⎜при постоянном объеме V и энтропии⎟⎝ ∂N ⎠ S ,VS (или любого другого термодинамического потенциала – свободной энергии F, энтальпии H или потенциала Гиббса G:Гл. 9. Электроны в металле247⎛ ∂H ⎞⎛ ∂G ⎞⎛ ∂F ⎞μ=⎜=⎜=⎜⎟⎟ , где р – давление). Можно по⎟⎝ ∂N ⎠T ,V ⎝ ∂N ⎠ S , p ⎝ ∂N ⎠T , pказать, что статистическое и термодинамическое определения химического потенциала совпадают.Химический потенциал μ определялся статистически (при выводе распределения Ферми–Дирака — по формуле (7.10)) аналогично статистическому определению температуры (7.6). Как и температура, химический потенциал μ является функцией состоянияи одинаков во всех частях термодинамической системы, находящейся в состоянии равновесия.
Это относится и к случаю, когдатермодинамическая система неоднородна. Например, при наложении внешнего статического поля или при контакте двух проводников происходит перераспределение электронов таким образом,чтобы химический потенциал стал одинаковым во всех частях системы. Выравнивание уровней химических потенциалов следует изтермодинамического условия достижения максимума энтропииполной системы. Химический потенциал необходим для описанияоткрытых систем, когда число частиц в системе может изменяться.Термодинамическое определение химического потенциала μпозволяет наглядно описать положение и смещение μ при изменении температуры в металлах и полупроводниках.Величину химического потенциала для электронной системыможно оценить, как изменение энергии системы при внесении одной частицы, одного электрона. При этом вносимый электронприобретает возможность занимать те же свободные энергетические состояния, что и электроны системы.Для металлов вносимый электрон при Т = 0 К, занимая свободное состояние с минимально возможным значением энергии,помещается на сферу Ферми с энергией Е = ЕF.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
