Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда добавление еще одной волны приводит к интенсивности (N + 1)2 I0. Если бы рассматриваемые волны были некогерентны, то интенсивность была бы (N + 1)I0. Таким образом, как и вГл. 7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны209случае с бозе-частицами, добавление одной волны к уже имеющимся N когерентным волнам приводит к росту интенсивности в(N + 1) раз в отличие от сложения некогерентных волн.Этот эффект лежит в основе явления бозе-конденсации.При Т = 0 К среднее число возбужденных квантов осциллятораn = 0 (7.17) и все бозе-частицы скапливаются на наиболее низкомэнергетическом уровне (рис.
7.3 а). Для системы квантовых осцилляторов этот уровень соответствует нулевым колебаниям осциллятора (n = 0, энергия E0 = =ω 2 (7.14)). Заметим, что для других систем бозе-частиц расположение энергетических уровней может бытьнеэквидистантным, но это не меняет характера распределения частиц при Т = 0 К. В любом случае частицы находятся на самом низком уровне и образуют так называемый бозе-конденсат.Рис. 7.3. Заполнение энергетических уровней в газе бозе-частиц (квантовых осцилляторов): а — все частицы находятся на самом низком энергетическом уровнепри температуре Т = 0 К; б — при температурах ниже температуры вырождения Т0заполняются возбужденные состояния, хотя большая часть частиц все еще находится в низшем энергетическом состоянии; в — истощение конденсата при Т = 0 Кс переходом частиц на виртуальные уровни энергии.С ростом температуры начинают заполняться более высокиеэнергетические состояния системы.
Однако при температурах нижетемпературы вырождения (0 < Т < Т0) бóльшая часть частиц остается на низшем энергетическом уровне. Это связано с тем, что покачастиц в основном состоянии много больше, чем в возбужденныхсостояниях, вероятность перехода частиц в основное состояние намного превышает вероятность их перехода в возбужденное состоя-210ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХние, и большинство частиц продолжает оставаться на низшемуровне, образуя бозе-конденсат.
В отличие от конденсации паровпри сжижении газа, бозе-конденсация происходит в импульсномпространстве. При этом переход в самое низкое энергетическоесостояние (конденсацию) можно рассматривать как переход отбеспорядка к порядку в импульсном пространстве. На рис. 7.3 бсхематически показано заполнение энергетических уровней бозечастицами при температурах ниже температуры вырождения(0 < Т < Т0).Выше температуры вырождения число частиц на низшем энергетическом уровне мало и частицы описываются классической статистикой Максвелла–Больцмана.Для идеального бозе-газа температура вырождения может бытьоценена по формуле233,31 = 2 ⎛ n ⎞(7.19)⎜⎟ ,m kB ⎝ 2s + 1 ⎠где m – масса бозе-частицы, s – ее спин, а n – концентрация бозечастиц.Наличие взаимодействия (сил отталкивания) в бозе-системахприводит к тому, что конденсация всех частиц на низшем энергетическом уровне может стать не выгодной даже при температуреТ = 0 К.
Большая плотность частиц в одном состоянии приводит кувеличению потенциальной энергии взаимодействия. В результатеустанавливается равновесное распределение, когда часть частицпереходит в более высокие виртуальные энергетические состояния, происходит “истощение конденсата” (рис. 7.3 в). При этомувеличение кинетической энергии компенсируется выигрышем впотенциальной энергии.T0 ≈Задачи для самостоятельного решенияЗадачаD7.1.Используяприближеннуюформулу2μ ≅ EF ⎡⎢1 − ( π2 12) ( k BT EF ) ⎤⎥ , описывающую зависимость хими⎣⎦ческого потенциала от температуры, получите выражение дляфункции распределения Ферми–Дирака f(E) для заданной температуры и оцените, во сколько раз изменится вероятность какого-либоГл.
7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны211состояния с энергией EF = 0,2 эВ при уменьшении температуры отТ1 = 400 К до Т2 = 200 К.2 ⎫⎤⎡⎧EF ⎛⎜ π2 ⎛ kBT ⎞ ⎞⎟ ⎪⎥⎪ E⎢−Ответ. f ( E ) = 1 + exp ⎨1−⎜⎟ ⎬⎢kBT kBT ⎜ 12 ⎝ EF ⎠ ⎟ ⎪⎥⎪⎝⎠ ⎭⎦⎩⎣−1,f (T2 ) 1 + exp(π2 /140)≈≈ 0,96 .f (T1 ) 1 + exp(π2 / 70)Задача D7.2. Оценить, при какой концентрации электронныйгаз в полупроводнике можно считать невырожденным? Температура Т0 = 300 К.Ответ.
Считая температуру вырождения равной Т0, для энергии Ферми имеем EF = kBT0 = 4,14⋅10–21Дж = 2,6⋅10–2 эВ. Концентрацию оценим по формуле (10.3) для вырожденного газа:1 ⎡ 2m E ( 0 ) ⎤n = 2 ⎢ 0 2F⎥=3π ⎣⎦32= 2,4 ⋅ 1025 м −3 .Примечание. В полупроводниках как электронный, так и дырочный газ не вырождены при температурах значительно меньших,чем ширина энергетической щели: kBT << Еg = Еc – Еv.Задача D7.3. Сравните среднее значение E в расчете на одинэлектрон, для вырожденного и невырожденного электронного газапри температуре Т, полагая плотность состояний равнойρ( E ) = E ( 2 m 3 2 ) ( π 2 = 3 ) . Химический потенциал μ.
В случаевырожденного газа воспользоваться линейной аппроксимациейступеньки Ферми и приближением k BT << μ .Ответ. Для вырожденного ферми-газа∞1E ρ ( E ) f ( E ) dE =n ∫0=μ− 2 k B Tμ+ 2 k BT⎤ 33 ⎡1⎢ ∫ EdE +⎥≈(2)μ+−μ;EkTEdEB2μ3/2 ⎢ 04k BT μ− 2∫k T⎥ 4B⎣⎦ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ212для невырожденного электронного газа∞∞⎡μ − E ⎤133( k BT ) 2,E ρ ( E ) f ( E ) dE =E exp ⎢dE =⎥∫∫n02μ3 2 02μ3/2⎣ k BT ⎦гдеn=1 ⎡ 2m0μ ⎤⎢⎥3π2 ⎣ = 2 ⎦3/ 2.Задача D7.4.
Вырожденный электронный газ с энергией Ферми E F находится при температуре Т = 0 К. Какие длины волн деБройля соответствуют значениям плотности вероятности f(λ) распределения электронов по длинам волн де Бройля, которые большеполовины от максимального значения fm. Сравните функции распределения по длинам волн де Бройля для вырожденного и невырожденного газов (задача D2.2).Ответ. f(λ) = 8π/λ4. Вероятности >fm/2 соответствуют длины22до λ1/2 = 2 π=волн от λ EF = π=≈ 1,2λ EF .mEFmE FГл.
8. Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы213Глава 8ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.ФОНОНЫ§8.1. Колебательные движения атомов в кристаллеКристалл, представляющий собой ансамбль сильно связанныхатомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, является сложной колебательной системой. Характерно, что спектр колебаний кристалла и каждого атома определяется всей системой связанных атомов.1.
По аналогии с непрерывной упругой средой спектр колебаний можно представить в виде дискретного набора стоячих волн(нормальных колебаний).2. При рассмотрении высокочастотных колебания в кристаллеследует учесть, что кристалл уже нельзя аппроксимировать сплошной средой. Следует учесть, что он состоит из атомов, расположенных на определенных расстояниях. Если а — межатомное расстояние в одномерной цепочке атомов, то минимальная длина волнывозбуждений такого кристалла λ min = 2a .
Более коротких волн вцепочке атомов возбуждаться не может. Максимальная длина волны нормальных колебаний определяется размером кристалла L иравна λ max = 2L , где L — длина кристалла. Таким образом, одномерная цепочка одинаковых атомов характеризуется следующимнабором длин волн нормальных колебаний: λ = 2L, 2 L 2 ,2 L 3 , 2 L 4 ….2a.Волна с λ max = 2L называется основной модой. Мода — этонормальное колебание в распределенной колебательной системе,характеризующееся определенной частотой, направлением волнового вектора и поляризацией.3. Каждое нормальное колебание характеризуется определенной частотой, с которой осциллируют все элементы системы. Набору длин волн от λ max = 2L до λ min = 2a соответствует дискретный набор частот от минимальной ωmin до максимальной ωmaxчастоты: ωmin, 2ωmin, 3ωmin,….ωmax.4.
В системах, состоящих из N связанных атомов, число нормальных колебаний равно числу атомов в системе. Так для одно-214ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХмерной цепочки атомов: 2 L (2a ) = Na a = N . Совокупность нормальных колебаний обладает свойством полноты: произвольноесвободное движение колебательной системы может быть представлено в виде суперпозиции колебаний с нормальными частотами(задача 1.6). При этом полная энергия движения элементов системы является суммой энергий нормальных колебаний.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
