Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 28
Текст из файла (страница 28)
f1 = (1 + e) −1 ≈ 0, 27 ; f 2 = (1 + e2 ) −1 ≈ 0,12 ;f3=(1+ e4 ) −1 ≈ 0,018 ; f 4 = (1+ e10 )−1≈ 4,5 ⋅ 10−5 ;[ f (δ1 )− flin (δ1 )] / f (δ1 ) ≈0,074 .Задача 7.4. Вычислить значение энергии Ферми и температурувырождения жидкого гелия 3He, считая его вырожденным фермигазом. Плотность жидкого 3He ρ = 0,081 г/см3 .Примечание. Атомы гелия существуют в двух стабильныхизотопных состояниях, 3He и 4He, с массами 3 и 4 соответственно.Структура электронных оболочек: 1s2. Поскольку атомы гелияимеют малый дипольный момент, то взаимодействие Ван-дерВаальса между атомами пренебрежимо мало, и газообразный гелийГл. 7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны203является практически идеальным газом с очень низкой температурой конденсации.
При атмосферном давлении температура кипенияжидкого 3He равна 3,34К (4,2 К у 4He).Ядерный спин у 4He равен нулю, так что атомы 4He образуютлибо бозе-газ, либо бозе-жидкость. Спин ядра у 3He равен 1/2, иатомы 3He являются фермионами и подчиняются статистике Ферми-Дирака.Благодаря малости массы атомов и слабости их взаимодействия, длина волны де-Бройля λ = h / mv при температурах порядка1 К сравнима с межатомным расстоянием атомов в жидкости. Поэтому жидкие 4He и 3He являются чисто квантовыми объектами –квантовыми жидкостями, которые не замерзают при охлаждениидо самых низких температур.Решение. Концентрация атомов в жидком гелии равнаn = ρ / mHe = 1,62 ⋅ 1026 кг/м3 . Используя зависимость энергии Ферми от концентрации ферми-частиц: EF = = 2 (3π2 n )2/3 ( 2m0 ) , получаем значение энергии Ферми:=2 ⎛ 2 ρ ⎞EF =⎜ 3π⎟mHe ⎠2mHe ⎝=2/3==2 N A ⎛ 2ρ ⎞⎜ 3π N A ⎟M⎠2M ⎝23(1,05 ⋅ 10−34 )2 6 ⋅ 1023 ⎛ 223 81 ⎞⎜ 3π 6 ⋅ 10⎟−32(4 ⋅ 10 )4 ⋅ 10−3 ⎠⎝=23≈ 4,2 ⋅ 10−23 Дж,и температуры вырождения T * = EF / k B ≈ 3 К .=2 ⎛ 2 ρ ⎞Ответ.
EF =⎜ 3π⎟2mHe ⎝mHe ⎠2/3≈ 4,2 ⋅ 10−23 Дж = 2,6 ⋅ 10−4 эВ ,T * = EF / k B ≈ 3К .Задача 7.5. Показать, что в металле при Т = 0 К средняя энер3гия в расчете на один валентный электрон равна E = EF .5Решение. Число электронов dN ( p ) с импульсом в интервале(р, p+dp) равно удвоенному (за счет спина) числу электронных состояний в сферическом слое толщины dp:ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ204dN ( p ) = 24πp 2dp( 2π= )3 / Vк,3где Vк — объем кристалла, ( 2 π= ) /Vк — величина объема одногоэлементарного квантового состояния.Таким образом, суммарная кинетическая энергия всех N электронов, заполняющих при Т = 0 K сферу радиуса pF , равна:EN = ∫где EF (0) =p2dN ( p ) =2mpF2, N =2pF∫0p24 πp 2 dp3= NEF (0) ,232m (2π=) / Vк 5( 4 3) πpF3.(2π=)3 / VкНа один валентный электрон приходится в среднем энергия,равная 3EF / 5 .В отличие от классической механики, когда средняя энергияодной частицы определяется температурой E1 = 3k BT / 2 , и приT = 0 K равна нулю ( E1 (0) = 0) , кинетическая энергия электронного ферми-газа даже при нулевой температуре отлична от нуля.
Всреднем на один валентный электрон приходится энергия, равная3E F / 5 .2mОтвет. E = 3EF / 5 .Задача 7.6. Вычислить энергию Ферми и максимальную скорость электронов в меди, считая, что на один атом приходится одинсвободный электрон. Плотность меди ρ = 8,9 г/см3 .Решение. Используем формулу (6.24) для энергии Ферми23pF2=2=3π2n, где m0 – масса электрона.
Концентрацию2m0 2m0электронов n можно выразить через концентрацию атомов металлаN / Vк : n = z N Vк , где z = 1 – валентность меди, N – полное числоатомов в объеме кристалла Vк . Концентрация атомов вещества свяN ρρ= =, где m – масса одногозана с его плотностью:Vк m M / N Aатома, М – молярная масса вещества, N A – число Авогадро.EF =()Гл. 7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны205Таким образом, находим выражение для энергии Ферми черезплотность вещества, его молярную массу и валентность:2323z ⋅ρ ⎞=2=2 ⎛ 2EF ==3π 2n⎜ 3π N A⎟ .M ⎠2m02m0 ⎝Учитывая численные значения фундаментальных физическихпостоянных, в единицах системы СИ:()EF ≈ 4,15 ⋅ 10−22 ( zρ / M )23.В частности, для медиEF ( Cu ) ≈ 4,15 ⋅ 10−22 ( zρ M )−22 ⎛Для23=238,9 ⋅ 103 ⎞= 4,15 ⋅ 10 ⎜≈ 1,12 ⋅ 10−18 Дж ≈ 7 эВ .⎜ 63,55 ⋅ 10−3 ⎟⎟⎝⎠меди температура вырождения электронного газа∗T = EF (Cu) k B ≈ 80000 K , т.
е. газ остается вырожденным вплотьдо температуры плавления.Максимальной скоростью обладают электроны, имеющиеэнергию, равную энергии Ферми. Для электрона в меди имеемvmax = 2 EF / m0 ≈ 1,6 ⋅ 106 м/с (даже при 0 К скорость этих электронов только на три порядка меньше скорости света!).).Ответ:EF ( Cu ) ==2 ⎛ 2z ⋅ρ ⎞⎜ 3π N A⎟2m0 ⎝M ⎠23≈ 1,12 ⋅ 10−18 Дж ≈ 7 эВ ,vmax = 2 EF / m0 ≈ 1,6 ⋅ 106 м / с .§7.3. Бозе-частицы. Функция распределения Бозе–ЭйнштейнаРассмотрим квантовый осциллятор с собственной частотой ω.Энергетический спектр осциллятора (см.
(3.55), задача 3.11, а такжеприложение 4.2)1⎞⎛(7.14)En = =ω ⎜ n + ⎟ .2⎠⎝Энергия квантового осциллятора (или значение квантовогочисла n) определяется только температурой термодинамическойсистемы, в которой он находится. При Т = 0 К осциллятор находит-206ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХся на нулевом квантовом уровне (n = 0), а при T ≠ 0 K осцилляторможет находиться в любом возбужденном состоянии (при любомn). Вероятность wn нахождения осциллятора на n-м уровне возбуждения описывается законом Гиббса:⎛ E ⎞⎛ (n + 1 2) ⋅ =ω ⎞wn = Aexp ⎜ − n ⎟ = A exp ⎜ −⎟,kBT⎝ kBT ⎠⎝⎠(7.15)где kB – константа Больцмана.Энергетический спектр вантового осциллятора эквидистантный.
Этот факт позволяет описать возбуждение осциллятора, какрождение квантов возбуждения (рис. 7.2). Причем все кванты возбуждения осциллятора идентичны и имеют энергию =ω . Если осциллятор находится на n-муровне возбуждения, то можно говорить о рождении nквантов возбуждения (см.рис. 7.2 при n = 3). Посколькуэнергии квантов одинаковы,то все n квантов находятся водном энергетическом состоянии с одной энергией=ω . Так как принципиальноРис. 7.2. Нахождение квантового освозможно n → ∞ , то числоциллятора на n-м уровне (на рис.
n = 3)квантов возбуждения в одномвозбуждениясэнергиейсостоянии не лимитировано,En = =ω(n + 1 2) соответствует рождев отличие от ферми-частиц.нию n квантов, каждый из которыхТакие частицы (как квантыимеет энергию =ω .возбужденияосциллятора)относятся к бозе-частицам.Задача 7.7. Найдите функцию распределения бозе-частиц, определяющую среднее число квантов возбуждения n квантовогоосциллятора, находящегося в термодинамической системе притемпературе Т. Циклическая частота осциллятора ω.Решение. Вероятность wn, с которой квантовый осциллятор счастотой ω находится на n-м энергетическом уровне, то есть вероятность возбуждения n квантов, согласно статистической термодинамике описывается распределением Гиббса (7.15).
Постоянная АГл. 7. Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны207∞находится из условия нормировки ∑ wn = 1 . Вычисляя суммуn =0∞∑ wn , как сумму геометрической прогрессии, получаем:n =0⎛ =ω⎝ 2k BTA = exp ⎜⎞ ⎡⎛ =ω⎟ ⋅ ⎢1 − exp ⎜ −⎠ ⎣⎝ k BT⎞⎤⎟⎥⎠⎦и⎛⎛ =ω ⎞ ⎞⎛ n= ω ⎞wn = ⎜ 1 − exp ⎜ −⎟ ⎟ exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠ ⎠⎝ k BT ⎠⎝(7.16)Для среднего (равновесного при температуре Т) числа возбужденных квантов с энергией =ω по формуле средних значений имеемn =∞∑ n ⋅ wn,ωn=0⎛⎛⎛ =ω ⎞ ⎞ ∞=ω ⎞= ⎜ 1 − exp ⎜ −⎟.⎟ ⎟ ∑ n ⋅ exp ⎜ − n⎝ k BT ⎠ ⎠ n =0⎝⎝ kBT ⎠При вычислении суммы используем математический прием:вводим переменную =ω /( kBT ) ; представляем функцию под знакомсуммы как производную по этой переменной и меняем местамисуммирование и взятие производной.
В результате получаем∞∑ n ⋅en =0−n ⋅ =ωk BTn ⋅ =ω∞n ⋅ =ω∞ −−−d−d=∑e k BT =e k BT .∑d [ =ω / (k BT )] n = 0n = 0 d [ =ω / ( k BT ) ]После вычисления суммы и взятия производной имеем∞∑ n⋅e−n=0n⋅=ωkBT⎡=⎤exp ⎢ − =ω ⎥⎣ kBT ⎦⎡⎡ =ω ⎤ ⎤⎢1−exp ⎢ −⎥⎥⎣ kBT ⎦ ⎦⎥⎣⎢2.Окончательно для n находим:n =1.=ω−1expkBT(7.17)208ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗависимость (7.17) для среднего числа квантов возбуждения оттемпературы и энергии кванта определяет функцию распределения (статистику) Бозе–Эйнштейна для частиц, число которых влюбом квантовом состоянии ничем не ограничено.Замечание.
В общем случае функция распределения Бозе–Эйнштейна имеет вид:1,(7.18)n =E −μ−1expk BTгде n – среднее число частиц при температуре Т в состоянии сэнергией Е, μ – термодинамический химический потенциал, определяемый величиной изменения полной внутренней энергии системы U при изменении числа частиц N в системе: μ = ∂U ∂N .К интересным свойствам бозе-системы можно отнести явлениебозе-конденсации (см. приложение 7.1).−1⎛⎞=ω− 1⎟ .Ответ: n = ⎜ expkBT⎝⎠Приложение 7.1. Бозе-конденсацияВажной особенностью распределения Бозе–Эйнштейна является то, что если одна бозе-частица в результате какого-либо взаимодействия рассеивается в некоторое состояние, то вероятность рассеяния второй бозе-частицы, идентичной первой, на другом рассеивателе в то же самое состояние в два раза больше по сравнениюс вероятностью рассеяния неидентичных частиц.Если имеются N тождественных бозе-частиц в некотором состоянии, то вероятность того, что еще одна частица придет в тоже самое состояние, увеличивается в (N + 1) раз по сравнению стой вероятностью, которая имела бы место, если бы все рассматриваемые частицы были бы неидентичными.Это явление подобно интерференции N когерентных волн содинаковой амплитудой и интенсивностью I0, когда напряженностьрезультирующего поля пропорциональна числу волн, а интенсивность N 2I0 возрастает по сравнению с интенсивностью одной волны в N 2 раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
