Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 23
Текст из файла (страница 23)
6.8 (при n = 0 E0′ =1,0024U 0 , и L / = 32 ).Рис. 5.8. Зависимость плотности вероятности ρ ( x ) = ψ ( x )2от координаты х час-тицы в случае минимального прохождения (D = 0,0096 при E1′ = 1,0024U 0 ((5.25)при n = 0).При x < 0 , волна имеет форму, близкую к стоячей. Она образована наложением падающей и отраженной волн с практическиВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ164одинаковыми амплитудами ( A ≈ 1 ) и бегущей волны с очень маленькой амплитудой ( A = 0,0096 ).Запишем формулы (5.21) и (5.22) для коэффициентов прохождения и отражения в области 2 через длину волны λ2( p2 = 2mU 0 ( χ − 1) , а λ 2 = 2π / 2mU 0 ( χ − 1) ):AD= 5A1AR= 2A12=8 χ ( χ − 1)8χ − 8χ + 1 − cos [ 4πL / λ 2 ]22=1−,8 χ ( χ − 1)8χ − 8χ + 1 − cos [ 4πL / λ 2 ]2(5.30).(5.31)Зависимости коэффициентов D (5.30) и R (5.31) от L / λ 2 (толщины барьера в единицах длины волны λ2) изображены на рис. 5.9.Рис.
5.9. Зависимость коэффициентов прохождения D и отражения R от толщиныбарьера L (λ2 – длина волны частицы в области барьера).В соответствии с формулами (5.30) и (5.31) рис. 5.9 демонстрирует периодический характер зависимостей коэффициентов D и Rот толщины барьера.Ответ.AD= 5A12=8 E1 ( E1 − U 0 )8E12− 8U 0 E1 + U 0 − U 02 cos ⎡ 2 L 2m ( E1 − U 0 ) / ⎤⎣⎦2,Гл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачахAR= 2A12= 1−1658 E1 ( E1 − U 0 )8E12− 8U 0 E1 + U 0 − U 02 cos ⎡ 2 L 2m ( E1 − U 0 ) / ⎤⎣⎦2.§5.3.
Туннельный эффект: подбарьерное прохождениеЗадача 5.4. (Туннельный эффект для прямоугольного барьера.) Найти коэффициенты прохождения и отражения волны деБройля, падающей на прямоугольный потенциальный барьер (параметры барьера см. на рис. 4.9 задачи 4.3 (случай II)) при E1 < U 0 .Решение. Аналогично решению задачи 5.3, воспользуемся результатами решения задачи 4.3(II). Значения коэффициентов про2хождения D = A5 / A1 и отражения R = A2 / A1зуя формулы (4.48) и (4.51).Коэффициент прохожденияAD= 5A122находим, исполь-∗⎡A ⎤⎡A ⎤= ⎢ 5 ⎥⎢ 5 ⎥ =⎣ A1 ⎦ ⎣ A1 ⎦(2 p12 2mU 0 − p12=)−2 p14 + 4 p12 mU 0 − (mU 0 ) 2 + (mU 0 ) 2 ch ⎡ 2mU 0 − p12 2 L / ⎤⎢⎣⎥⎦и коэффициент отраженияR=A2A12(5.32)∗⎡A ⎤⎡A ⎤= ⎢ 2 ⎥⎢ 2 ⎥ =⎣ A1 ⎦ ⎣ A1 ⎦2( mU 0 )2 s h ⎡ 2mU 0 − p12 L / ⎤⎣⎢⎦⎥. (5.33)=42222⎡⎤−2 p1 + 4 p1 mU 0 − ( mU 0 ) + ( mU 0 ) ch 2mU 0 − p1 2 L /⎢⎣⎥⎦Учитывая, что p12 = 2mE1 , запишем полученные выражениядля коэффициентов через энергию Е1 частицы:8 E1 (U 0 − E1 )D=,(5.34)228U 0 E1 − 8 E1 − U 0 + U 02 ch 2 L 2m (U 0 − E1 ) /()ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ166R =1−8 E1 (U 0 − E1 )8U 0 E1 − 8 E12(− U 0 + U 02 ch 2 L 2m (U 0 − E1 ) /2),(5.35)Сравнивая (5.34) и (5.35), убеждаемся в наличии баланса потоков: R + D = 1 .
Заметим, что формулы (6.34) и (6.35) отличаются отформул (5.19) и (5.20) лишь заменой обычного косинуса на гиперболический.Зависимость (5.34) коэффициента прохождения от отношенияχ = E1 / U 0D=8 χ (1 − χ )(8χ − 8χ − 1 + ch 2 L 2mU 0 (1 − χ ) /2)(5.36)представлена на рис. 5.10 (при компьютерных расчетах полагалось2mU 0 = 1 и L / = 3 ).Рис. 5.10. Зависимость коэффициента прохождения D от отношения χ = E1 / U 0 .Рисунок 5.10 демонстрирует подбарьерное распространениеквантовых частиц.
Чем больше кинетическая энергия падающейчастицы (то есть при E1 / U 0 → 1 ), тем больше коэффициент прохождения сквозь барьер, больше вероятность оказаться частице подругую сторону барьера. Это именно прохождение сквозь барьер(туннелирование), а не перепрыгивание через барьер. При этомэнергия частицы и в области 2, и в области 3 равна исходной энергии частицы в области 1.Туннельный эффект проявляется в ходе многочисленных химических и биохимических реакций, он лежит в основе эффектаГл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах167холодной эмиссии электронов (задача 5.6) и теории α-распада (задача 5.7).Отметим, что зависимости D ( E1 ) при E1 < U 0 и E1 > U 0 всегда гладко и непрерывно стыкуются (см.
рис. 5.11).Зависимость коэффициента прохождения D ( L ) от шириныбарьера L при E1 / U 0 = 0,9 представлена на рис. 5.12. Коэффициент прохождения равен 0,5 при ширине барьера L ≈ 1,8 / 2mU 0 .Рис. 5.11. Зависимость коэффициента прохождения прямоугольного потенциального барьера D ( χ) от энергии Е1 падающей частицы при L 2mU 0 / = 3( χ = E1 / U 0 — безразмерный параметр).Рис.
5.12. Зависимость коэффициента прохождения D ( L ) от ширины барьера L(от безразмерного параметра L 2mU 0 / ) при E1 / U 0 = 0,9 .ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ168Ответ.D=R =1−8 E1 (U 0 − E1 )8U 0 E1 − 8 E12()− U 0 + U 02 ch 2 L 2m (U 0 − E1 ) /28 E1 (U 0 − E1 )(8U 0 E1 − 8 E12 − U 0 2 + U 0 2 ch 2 L 2m (U 0 − E1 ) /),.§5.4. Глубокое туннелированиеСледствием решения задачи 5.4 является асимптотическийвид коэффициента прохождения (5.34) при глубоком туннелировании (широкий барьер и E1 << U 0 ).В выражении (5.34) для коэффициента прохождения прямоLугольного барьера при выполнении условия2m (U 0 − E1 ) >> 1(например, при заметном превышении высоты порога над энергиейчастицы U 0 >> E1 и при достаточно больших L ) значение1ch 2 L / 2m ( E1 − U 0 ) ≈ exp 2 L / 2m ( E1 − U 0 ) — экспонен2циально велико.С учетом неравенства U 0 >> E1 , из (5.34) и (5.36) получаемасимптотическую оценку D′ для коэффициента прохождения:()D′ = D U≈0 >> E1(=()()8 E1 U 0 − E128U 0 E1 − 8E1 − U 02 + U 02 ch 2 L8 E1U 0 exp 2 2m (U 0 − E1 ) L)=(2m (U 0 −E1 )0≈116 E1⎛ L⎞exp ⎜ −22m (U 0 − E1 ) ⎟ =U0⎝⎠⎛ L⎞= 16χ exp ⎜ −22mU 0 (1 − χ ) ⎟ ,⎝⎠Окончательно (5.37) представим в видеD′ = D0 exp ( −α ) ,где) U >> E(5.37)(5.38)Гл.
5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах16 E1= 16χ ,U0LLα=22m (U 0 − E1 ) = 22mU 0 (1 − χ ) ,D0 =169(5.39)(5.40)а χ = E1 / U 0 .Сопоставление зависимостей коэффициентов D и D′ от энергии (от безразмерного параметра E1 / U 0 ) представлено нарис. 5.13.
При расчетах полагалось L 2mU 0 / = 3 . Видно, что даже при E1 = U 0 отклонение D′ от D составляет менее 10%.Рис. 5.13. Сравнение зависимостей от энергии точного коэффициента D ( E1 )(пунктирная линия) и асимптотического приближения (5.37) (сплошная линия),соответствующего формуле D′ = D0 exp ( −α ) .Рис. 5.14. Сравнение зависимостей точного коэффициента прохождения D( L) иасимптотического приближения D ′( L) (5.37) от ширины барьера L при значенииE1 / U 0 = 0,05 .170ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХСопоставление зависимостей коэффициентов D и D′ от шириL2mU 0 ) представлены барьера L (от безразмерного параметрано на рис.
5.14. Отклонение D′ от D порядка 20%. наблюдаетсятолько при L → 0.Рисунки 5.13 и 5.14 демонстрируют возможность замены D наD′ для прямоугольного барьера при глубоком туннелировании(т.е. при E1 << U 0 и при достаточно широком барьере).Замечание. Анализируя результаты рассмотренных выше задач, можно сделать вывод, что туннельный эффект – принципиально квантовый эффект. Если ширина потенциального барьера меньше или порядка длины волны де Бройля, то частица с определеннойвероятностью может при «падении» на барьер оказаться с другойего стороны без изменения энергии. В этом сущность подбарьерного туннельного эффекта. Например, при выбранных для рис.
6.12параметрахдлинаволныдеБройлячастицыравнаλ ≈ 6,6 / 2mU 0 , и коэффициент прохождения имеет существен-ные значения во всей представленной области L < 5 / 2mU 0 .Задача 5.5. Частица туннелирует сквозь барьер произвольнойформы U(x) (рис. 5.15). Энергия частицы E1 << U 0 , где U 0 – максимальное значение потенциальной энергии. Получить асимптотическую формулу для коэффициента прохождения барьера.Решение. Рассмотрим барьер произвольной формы (рис. 5.15),отмечая точки x1 и x2 , в которых U ( x ) = E1 .Рис.
5.15 . Барьер произвольной формы.Гл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах171Потенциальный барьер произвольной формы представим в виде последовательности потенциальных барьеров прямоугольнойформы (минибарьеров) высотой U 0i .Максимальное затухание волновая функция испытывает припрохождении минибарьеров с энергией U 0i ≥ E1 , находящихсявблизи вершины потенциального барьера U ( x) . Коэффициентыпрохождения сквозь эти минибарьеры вносят определяющий вкладв результирующий коэффициент прохождения через барьер U ( x) .Поэтому можно считать, что итоговый коэффициент прохожденияравен произведению коэффициентов прохождения последовательности высоких минибарьеров, для которых U 0i ≥ E1 .
Для коэффициента прохождения сквозь высокий минибарьер используемасимптотическую формулу (5.38).Значительнее всего в коэффициентах прохождения минибарьеров, рассчитанных с помощью формулы (5.38), меняется экспоненциальный множитель, а коэффициент перед экспонентойD0 = 16 E1 / U 0 меняется незначительно, оставаясь всегда порядкаединицы.Используя для коэффициентов прохождения всех прямоугольных минибарьеров, имеющих высоту U 0i ≥ E1 , асимптотическуюформулу (5.38), для коэффициента прохождения сквозь барьер произвольной формы получаем формулу:⎡ 2 x2⎤D = D0 exp ⎢ − ∫ 2m (U ( x ) − E1 )dx ⎥ .(5.41)⎢⎥x1⎣⎦В формуле (5.41) интегрирование ведется в интервале [ x1 , x2 ](см. рис. 5.15).
Внутри интервала ( x1, x2 ) U ( x ) > E1 , а на границахU ( x1 ) = U ( x2 ) = E1 .⎡ 2 x⎤Ответ. D = D0 exp ⎢ − ∫ 2 2m (U ( x ) − E1 ) dx ⎥ , где x1 и x2x1⎣⎦находятся из условия U ( x1 ) = U ( x2 ) = E1 .Задача 5.6. (Холодная эмиссия электронов из металла.) Какуже упоминалось выше (§1.2), металл для электронов может рассматриваться как потенциальная яма глубины U 0 (рис. 5.16, приВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ172x < 0). У поверхности металла (х = 0) существует однородное электрическое поле с напряженностью Е = Eех, перпендикулярной поверхности (вдоль оси ОХ, рис.
5.16). Внутри металла электроныпроводимости имеют энергию E1 < U 0 . Найти зависимость силытока холодной эмиссии электронов сквозь барьер от величины напряженности электрического поля. Использовать асимптотическуюформулу (5.41).Решение: Поскольку электрическое поле не проникает внутрьметалла, то потенциальную энергию электрона проводимости можно представить в виде (рис. 6.16):U ( x ) = U 0 − eE x,x>0(5.42)U ( x ) = 0,x<0Рис. 5.16. Потенциальный барьер для электрона в металле при наложении внешнего электрического поля с напряженностью Е. m – масса, e – заряд электрона.Для коэффициента прохождения электрона через барьер (5.42)используем асимптотическую формулу (5.41):D ≈ D0 exp ( −α ) ,где α =2x2(5.43)2m ⎡⎣U ( x ) − E1 ⎤⎦ dx .∫0Зная потенциальную энергию (5.42), находим x2 =α=2(U 0 − E1 )/( eE )∫02m [U 0 − E1 − eEx ] dx =U 0 − E1иeE4 2m(U 0 − E1 )3/2 .
(5.44)3 eEГл. 5. Надбарьерное прохождение и туннельный эффект в одномерных задачах173Сила тока холодной эмиссии пропорциональна коэффициентуподбарьерного прохождения и, таким образом, может быть записана в виде⎡ 4 2m⎤J = J 0 exp ⎢ −(U 0 − E1 )3/2 ⎥ .⎣ 3 eE⎦108 [ В/м], и силу токаE⎛ 108 [ В/м] ⎞можно оценить по формуле J = J 0 exp ⎜ −⎟ (рис. 5.17).⎜⎟E⎝⎠Для металлов U 0 − E1 ≈ 3 ÷ 4 эВ и α =Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
