Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(4.22)Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле117В области 2 ( 0 < x < L ) уравнение Шредингера2∂2ψ ( x ) + E − U 0 ψ ( x) = 02m ∂x 2имеет такой же вид как в задаче 4.2 (случай I), но в решении следует учесть отраженную от скачка потенциала в точке x = L волну−ip2 xψ′′2 = A4 eс амплитудой А4 (еще одно надбарьерное отражение). Тогда волновая функция в области 2 запишется в видеψ 2 ( x) = ψ′2 + ψ′′2 = A3 eгде p2 = 2m ( E1 − U 0 ) =ip2 x+ A4 e−ip2 x,(4.23)p12 − 2mU 0 .Наконец, в области 3 ( x > L ) , как и в задаче 4.2 (случай I), имеется только прошедшая волнаψ3 = A5 eip1( x− L ).(4.24)Обратим внимание на то, что амплитуды волн А2, А3 и А4 –комплексные величины, каждая из которых учитывает суперпозицию волн, многократно отраженных и/или прошедших границых = 0 и х = L. Например, в А2 учитывается первично отраженнаяволна от границы х = 0 плюс та часть прошедшей границу х =0, которая отразилась от границы х = L, а затем прошла через границух = 0 и т.д.Таким образом, находится такое самосогласованное решение,при котором волновые функции, являющиеся суперпозицией всехволн в каждой из областей, удовлетворяют граничным условиямнепрерывности как самих волновых функций, так и их производных.Условия непрерывности волновой функции и ее производной вточке x = 0 (аналогичные (4.17)):A1 + A2 = A3 + A4 ,(4.25)pA1 − A2 = 2 ( A3 − A4 ) .p1Из непрерывности ψ и ∂ψ / ∂x в точке x = L находим118ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХA3eA3eip2ip2LL+ A4 e− A4 e−ip2−ip2LL= A5 .=(4.26)p1A5 .p2(4.27)Решая линейную систему уравнений (4.25)–(4.27) относительно амплитуд A2 , A3 , A4 , A5 , получаем:A2 =A3 =A4 =A5 =(A1 (1 − exp(2ip2 L / ) ) p12 − p2 2( p1 + p2 )2)− exp(2ip2 L / ) ( p1 − p2 )2A1 2 p1 ( p1 + p2 )( p1 + p2 )2− exp(2ip2 L / ) ( p1 − p2 )A1 2 p1 ( p2 − p1 ) exp(2ip2 L / )( p1 + p2 )2 − exp(2ip2 L / ) ( p1 − p2 )24 A1 p1 p2 exp(ip2 L / )( p1 + p2 )2 − exp(2ip2 L / ) ( p1 − p2 )22,(4.28),(4.29),(4.30);(4.31)Комплексные амплитуды (4.28)–(4.31) запишемA = A e−iϕ , используя заданные в задаче параметры:2mU 0 sin ⎡ p12 − 2mU 0 L / ⎤⎢⎣⎥⎦ iϕ2A2 = A1e ,Δ1p1 ⎡ p1 +⎢A3 = A1 ⎣виде(4.32)p12 − 2mU 0 ⎤⎥⎦ iϕ3e ,Δ1(4.33)p1 ⎡ p12 − 2mU 0 − p1 ⎤⎢⎥⎦ iϕ4A4 = A1 ⎣e ,Δ1(4.34)A5 = A1гдев2 p1 p12 − 2mU 0Δ1eiϕ5 ,(4.35)Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле119Δ1 = 2 2 p14 − 4mU 0 p12 + (mU 0 ) 2 − (mU 0 ) 2 cos ⎡ p12 − 2mU 0 2 L / ⎤ ,⎢⎣⎥⎦p1 p12 − 2mU 0 ⋅ sin ⎡ p12 − 2mU 0 ⋅ 2 L / ⎤⎣⎢⎦⎥ ,tg ϕ2 = −⎡ p12 − mU 0 ⎤ ⎛⎜ 1 − cos ⎡ p12 − 2mU 0 ⋅ 2 L / ⎤ ⎞⎟⎣⎦⎝⎣⎢⎦⎥ ⎠2tg ϕ3=− ⎡ p1 − p12 − 2mU 0 ⎤ ⋅ sin ⎡ p12 − 2mU 0 ⋅ 2 L / ⎤⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦22.⎡ p + p 2 − 2mU ⎤ − ⎡ p − p 2 − 2mU ⎤ cos ⎡ p 2 − 2mU ⋅ 2 L ⎤110 ⎥110⎥0⎢⎣ 1⎣⎢⎦ ⎢⎣⎦⎦⎥Так как (5.29) можно представить в видеp − p1A4 = A3 2exp(i 2 p2 L / ) ,p1 + p2а (4.31) — в виде2 p2A5 = A3exp(ip2 L / ) ,p1 + p2то ϕ4 = ϕ3 + 2 p2 L / , а ϕ5 = ϕ3 + p2 L / .Общий вид волновых функций:при x < 0⎛ i p1x 2mU sin ( p L / ) −i p1x +iϕ2 ⎞02⎟,eψ1 ( x) = A1 ⎜ e+⎜⎟Δ1⎝⎠при 0 < x < Lp xp xi 2 +iϕ3−i 2 +iϕ4 ⎞p1 ⎛⎜⎟,ψ 2 ( x) = A1+ ( p2 − p1 ) e( p1 + p2 ) e⎟Δ1 ⎜⎝⎠при x > Lp1x2 p p i +iϕ5ψ3 ( x) = A1 1 2 e.Δ1Для анализа полученного решения (4.32)–(4.35) проведен количественный расчет.
При этом полагалось A1 = 1 , p1 / = 1 ,E1 = 1,1U 0 , L = 6λ1 = 12π / p1 . На рис. 4.6 б представлены действительныечастиволновыхфункций:ψ1′ ( x ) = A1 ei p1 xиВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ120ψ′2 ( x ) = A3 ei p2 x– волн, бегущих в положительном направлениии ψ′′2 ( x ) = A4 e −ip2 x– отраженныхоси ОХ; ψ1′′( x ) = A2 e −i p1 xволн, бегущих в отрицательном направлении оси ОХ; ψ1 = ψ1′ + ψ1′′и ψ′2 + ψ′′2 – результирующих волн в 1-й и во 2-й областях соответi px − L)– волны в области 3.ственно, ψ = A e ( 1 )(35абРис.
4.6. а – частица движется к прямоугольному потенциальному барьеру, б –действительные части волновых функций (см.(4.22) и (4.23)) ψ1′ , ψ1′′ , ψ ′2 , ψ ′′2 , ψ1 ,ψ2 и ψ3 .Заметим, что длина волны частицы, зависящая от значения потенциальной энергии, одинакова в областях 1 и 3. Длина волны вобласти 2 больше, чем в 1, что связано с возрастанием в области 2потенциальной энергии, и как следствие — с уменьшением кинетической энергии и импульса, что приводит к увеличению длиныволны.Амплитуда волновой функции (амплитуда плотности вероятности нахождения) в области 3 зависит от ширины и высоты барьера. Чем уже барьер, тем больше амплитуда, то есть меньше сказывается надбарьерное отражение. На рис 4.7 сравниваются действительные части волновых функций при одной и той же высоте, норазной ширине барьера.
При компьютерных расчетах полагалосьГл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном полеA1 = 1 , p1 / = 1 , E1 = 1,1U 0 , L = 6λ1 = 12π / p1L = 2,12λ1 = 13,31 / p1 (рис 4.7б).121(рис 4.7а) иабРис. 4.7. Действительная часть волновой функции частицы, падающей на прямоугольный барьер в случае L = 6λ1 (а) и L = 2,12λ1 (б).ПриведемрезультатырасчетовдляслучаяL = 2,12 λ1 = 13,31 p1 . Из решений (4.28)–(4.31) следуют комA2 = 0,679 − 0,324 i ,плексные выражения для амплитуд:A3 = 1,372 + 0,376 i , A4 = 0,307 − 0,700 i , A5 = −0, 283 − 0,594 i , наосновании которых находятся действительные части волновыхфункций частицы в трех областях:pxpx⎡−i 1 ⎤i 1⎢⎥ = cos x + 0,679cos x − 0,324sin x ,+ A2 eRe ψ1 ( x) = Re A1 e⎢⎥⎣⎦(4.36)122ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХp xp x⎡−i 2 ⎤i 2⎥ = 1,679cos0,301x − 1,076sin 0,301x,+ A4 eRe ψ 2 ( x ) = Re ⎢ A3 e⎢⎥⎣⎦(4.37)Re ψ3 ( x ) = Re A5 eip1( x − L)= −0,283cos( x − 13,289) + 0,594sin( x −13,289).(4.38)Действительные части волновых функций (4.36)–(4.38) изображены на рис.
4.7 б.абРис. 4.8. Действительная часть волновой функции частицы, падающей на прямоугольный барьер в случае E1 = 1,1U 0 (а) и E1 = 1,2U 0 (б).Чем выше барьер, т. е. чем меньше величина E1 / U 0 , темменьше амплитуда в области 3, так как больше влияние надбарьерного отражения. На рис. 4.8 для сравнения приведены компьютерные расчеты действительных частей волновых функций при A1 = 1 ,p1 / = 1 , L = 6λ1 = 12π / p1 для двух случаев: E1 = 1,1U 0 (а) иE1 = 1, 2U 0 (б).Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле123Случай II. E1 < U 0 (см. рис.
4.9).Уравнение Шредингера в области 22∂2ψ ( x ) − E − U 0 ψ ( x) = 0 .(4.39)2m ∂x 2В общем случае решение ψ 2 ( x ) уравнения (4.39) можно записать как сумму двух волн в виде:ψ 2 ( x ) = A3 e γ x + A4 e −γ x ,где γ =12m (U 0 − E1 ) =12mU 0 − p12(4.40)(сравните с формулой(4.15) задачи 4.2).Волновые функции в областях 1 и 3 имеют такой же вид (4.22)и (4.24), как и в случае E1 > U 0 .Рис. 4.9. Прямоугольный потенциальныйбарьер имеет высоту U0. Кинетическаяэнергия Е1 частицы, летящей из областиx → −∞ , меньше высоты барьера:E1 < U 0 .Граничные условия на ψ1 и ψ2 и их производныев точке x = 0 :A1 + A2 = A3 + A4 ,A1 − A2 =γ( A3 − A4 ) ;ip1(4.41)в точке x = L :A3e γL + A4 e−γL = A5 ,(4.42)p1(4.43)A5 .γРешая линейную неоднородную систему уравнений (4.41)–(5.43) относительно амплитуд A2 , A3 , A4 , A5 , находим:A3e γL − A4 e−γL = iA2 =( exp(2γL) − 1) (( −i22 2γ + p122)γ + p1 ) − ( i γ + p1 ) exp(2γL)A1 ;(4.44)124ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХA3 =A4 =A5 =2 p1 ( −i γ + p1 )( −i22γ + p1 ) − ( i γ + p1 ) exp(2γL)2 p1 ( −i γ − p1 ) exp(2 γL)( −i22γ + p1 ) − ( i γ + p1 ) exp(2γL)−4ip1 γ exp( γL)( −i22γ + p1 ) − ( i γ + p1 ) exp(2 γL)Записывая комплексные амплитуды через ихполучаем2mU 0Sh ⎛⎜ 2mU 0 − p12 L /⎝A2 = A1Δ IIA1 ;(4.45)A1 ;(4.46)A1 .(4.47)модули и фазы,⎞⎟⎠ eiϕ2 ,(4.48)A3 = A12 p1mU 0 exp ⎛⎜ − 2mU 0 − p12 L / ⎞⎟⎝⎠ eiϕ3 , (4.49)Δ IIA4 = A12 p1mU 0 exp ⎛⎜ 2mU 0 − p12 L / ⎞⎟⎝⎠ eiϕ4 , (4.50)Δ IIA5 = A12 p1 2mU 0 − p12Δ IIeiϕ5 ,(4.51)гдеΔ II = −2 p14 + 4 p12 mU 0 − (mU 0 ) 2 + (mU 0 )2 Ch ⎡ 2mU 0 − p12 2 L / ⎤ ,⎣⎢⎦⎥⎛⎞− p1 ⎜1 + exp ⎡ 2mU 0 − p12 2 L / ⎤ ⎟ 2mU 0 − p12⎢⎥⎣⎦⎠⎝,tg ϕ2 =⎛⎞2⎡⎤mU 0 ⎜ 1 − exp 2mU 0 − p1 2 L / ⎟⎢⎣⎥⎦ ⎠⎝Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле125⎡⎤2mU 0 − p12 ⎢ mU 0 − ( mU 0 − 2 p12 ) exp ⎡ 2mU 0 − p12 2 L / ⎤ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,tg ϕ3 =⎡⎤22⎡⎤p1 ⎢ mU 0 + (3mU 0 − 2 p1 ) exp 2mU 0 − p1 2 L / ⎥⎢⎣⎥⎦ ⎦⎣⎡⎤2mU 0 − p12 ⎢ 2 p12 − mU 0 + mU 0 exp ⎛⎜ 2mU 0 − p12 2 L / ⎞⎟ ⎥⎝⎠⎣⎦.tg ϕ4 =⎡ 2⎤2⎛⎞p1 ⎢ 2 p1 − 3mU 0 − mU 0 exp ⎜ 2mU 0 − p1 2 L / ⎟ ⎥⎝⎠⎦⎣Так как можно представить: A5 = −iaA2 , где а – действительноечисло, то ϕ5 = ϕ2 + 3π 2 .Общий вид волновых функций:при x < 0 :ψ1 ( x) = A1eip1x+ A12mU 0Sh ( γL )Δ IIпри 0 < x < L :ψ 2 ( x) = A1при x > L :2 p1mU 0Δ IIψ3 ( x) = A1Здесь γ =1( e γ ( x − L ) + iϕ32 p1γΔ IIeip1e−ip1x+ iϕ 2;)+ e −γ ( x − L )+iϕ4 ;( x − L ) +iϕ5.2mU 0 − p12 .Заметим, что амплитуды (4.44)–(4.47) при L → ∞ совпадают самплитудами, полученными в задаче 4.2.Рассмотрим количественный пример, положив для компьютерных расчетов A1 = 1 , p1 / = 1 , E1 = 0,9U 0 и L = 0,8λ1 = 5 / p1 .
Тогда γ = 0,333 . Из решений (4.44)–(4.47) получаем комплексные выражения для амплитуд:A2 = 0,758 − 0,610 i , A3 = −0,037 + 0,058 i ,A4 = 1,795 − 0,668 i , A5 = 0,144 + 0,178 iи находим действительные части волновых функций:126ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХRe ψ1 ( x ) = Re ⎡ A1 ei p1 x⎣+ A2 e −i p1 x ⎤ = 1,758cos x − 0,610sin x ,⎦(4.52)Re ψ 2 ( x ) = Re ⎡ A3 e γ x + A4 e−γ x ⎤ = −0,037 e0,333 x + 1,795 e−0,333 x ,⎣⎦(4.53)Re ψ 3 ( x ) = Re A5 e (i p1)( x − L ) = 0,144 cos( x − 5) − 0,178sin( x − 5).(4.54)Рис.
4.10. Действительная часть волновой функции частицы, падающей на прямоугольный барьер в случае L = 0,8λ1 (а) и L = 6λ1 (б).На рис.4.10 представлены зависимости действительных частейволновых функций ψ1 ( x) для x < 0 , ψ 2 ( x) для 0 < x < L и ψ3 ( x)для x > L в двух случаях: при L = 0,8λ1 (см. формулы (4.52)–(4.54)) и для сравнения при L = 6λ1 .Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле127Волновая функция быстро затухает в области широкого барьера L = 6λ1 (рис. 4.10 б) и практически не проникает в область 3.Чем больше высота барьера («глубже» туннелирование частицы, меньше отношение E1 / U 0 ), тем меньше амплитуда волновойфункции в области 3 за барьером (сравните рис. 4.11 а и б).Ответ. При прохождении над барьером:ψ1= A1 eгдеip1 x+ A2 e−ip1 x, ψ 2 ( x ) = A3 eip2 = p12 −2mU 0 , A2 = A1p2 x+ A4 e−ip2 x, ψ3 = A5 e2mU 0 sin ( p2 L /Δ1ip1( x − L),) e iϕ 2 ,абРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
