Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. дляспектральных линий одной n0 -серии:⎡11⎤kn0n1 − kn0n2 = 2πR∞ Z 2 ⎢ 2 − 2 ⎥ = kn2n1 ,⎣⎢ n2 n1 ⎥⎦(3.35)⎡111 ⎤ En nRyZ 2 ⎢ 2 − 2 ⎥ = 2 1 = ωn2n1 .==⎣⎢ n2 n1 ⎥⎦Из (3.35) следует, что разность векторов kn0n1 − kn0n2 серии n0ωn0n1 − ωn0n2 =соответствует волновому вектору kn2n1 фотона, излучаемого тем жеатомом, при переходе с уровня n1 на уровень n2 (из серии n2).Итак, спектры излучения и поглощения определяются расположением энергетических уровней атома.Задача 3.4.
(Спектр атома лития.) Линии с длинами волнλ1 = 640,4 нм, λ2 = 460,3 нм, λ3 = 413,3 нм в спектре атома литияпринадлежат одной спектральной серии. На основании этих данных рассчитайте, какие еще длины волн имеются в спектре атомалития? Используйте водородоподобную модель.Решение. Спектр щелочных металлов, к которым относитсялитий, связан с переходом валентного электрона с орбиты на орбиту.
Валентный электрон движется в поле атомного остова: полеположительно заряженного ядра и поле, создаваемом остальнымиэлектронами. Чем дальше валентный электрон от ядра (большеГл. 3. Энергетические спектры атомов и молекул83квантовое число n), тем больше поле атомного остова похоже наполе точечного заряда, как у атома водорода.Поскольку даны линии одной серии, то переходы происходятна один уровень. Пусть для этого уровня квантовое число равно n0.Пусть переход n1 → n0 соответствует λ 01 = λ1 – максимальной иззаданных длин волн; n2 → n0 соответствует длине волны λ 02 = λ 2 ;n3 → n0 соответствует минимальной длине волны λ 03 = λ 3 . Тогдаn0 < n1 < n2 < n3 .
Кроме описанных в задаче переходов с участиемданных уровней энергии возможны переходы на уровень n1 :n2 → n1 с длиной волны λ12 и n3 → n1 с длиной волны λ13 , а также переход n3 → n2 с длиной волны λ 23 . Переходы n2 → n1 иn3 → n1 относятся к одной серии n1 .Для определения длин волн λij воспользуемся соотношением(3.35), справедливым для водородоподобных атомов. Согласно(3.35), волновые векторы переходов вычисляются по формулам⎧ n2 → n1 k12 = k02 − k01 ,⎪⎨ n3 → n1 k13 = k03 − k01 ,⎪n → n k = k − k .2230302⎩ 3По волновым векторам kij находим искомые длины волн2π2π1λ12 ==== 1636,6нм ,k12 k02 − k01 1 / λ 2 − 1 / λ1λ13 =2π2π1=== 1165,5нм ,k13 k03 − k01 1 / λ 3 − 1 / λ1λ 23 =2π2π1=== 4047,7 нм .k23 k03 − k02 1 / λ 3 − 1 / λ 2Экспериментально полученные длины волн λ12 = 1869,7 нм ,λ13 = 1278,2 нм и λ 23 = 4047,5нм лежат близко к значениям, рассчитанным в задаче по водородоподобной модели.
Причем, чемдальше переходы от атомного остова (чем больше n), тем лучшеесогласие с водородной моделью.Ответ. λ12 = (1 / λ 2 − 1 / λ1 )λ13 = (1 / λ 3 − 1 / λ1 )−1−1= 1636,6нм ,= 1165,5нм , λ 23 = (1 / λ 3 − 1 / λ 2 )−1= 4047,7 нм .ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ84Задача 3.5. (Серия Лаймана.) Длина волны одной из линийсерии Лаймана у атома водорода равна λ = 94,97 нм. Определитеквантовые числа энергетических уровней, переход между которыми соответствует данной λ. Какую энергию (в эВ) имеют излучаемые фотоны?Решение: По длине волны фотонов определяем их частоту иэнергию=ω = =ck =2 π=c 2 π ⋅ 1,05 ⋅ 10−343 ⋅ 108== 0,2084 ⋅ 10−17 Дж=−9λ94,97 ⋅ 100,2084 ⋅ 10−17= 13,02 эВ.1,6 ⋅ 10−19Серия Лаймана соответствует переходу на уровень с квантовым числом n0 = 1 .
По известной длине волны фотона=λ1−n1 = R∞ ⎡1 − 1 n 2 ⎤ (формула (3.34) для водорода при n0 = 1 и⎣⎦Z = 1) находим квантовое число возбужденного состояния:−1/ 2−1/ 2⎡⎤⎡1 ⎤1= ⎢1 −=5.n = ⎢1 −⎥⎥7−9⎣ R∞ λ1n ⎦⎣ 1,097 ⋅ 10 ⋅ 94,97 ⋅ 10 ⎦Следовательно, пятый энергетический уровень водорода на13,03 эВ выше основного уровня с n = 1 и имеет энергиюE5 = E1 + =ω = −13,56 + 13,02 = −0,54 эВ .−1/ 2Ответ: Переход с уровня n = [1 − 1/( R∞ λ1n )]n0 = 1 ; =ω == 5 на уровень2 π =c= 13,02 эВ .λЗадача 3.6.
Интервал частот, занимаемый одной из серий вспектре излучения ионов Не+ (см. §3.2), равен Δω = 5,16 ⋅ 1015 рад/с .Определите длину волны головной линии серии.Головной линией n0 -серии называется линия, соответствующая минимальной частоте фотона, то есть переходу с уровня( n0 + 1 ) на n0 -уровень.Решение. Интервал частот между крайними линиями — интервал между линией с максимальной и минимальной частотами.Гл.
3. Энергетические спектры атомов и молекул85Максимальной частоте соответствует переход с максимально возможного уровня возбуждения: в пределе с n → ∞ на n0 .Ион гелия содержит один электрон и его спектр подобен спектру атома водорода. Используя формулу (3.32) для водородоподобных атомов, определяем спектральную ширину n0 -серии для ионагелия (Z = 2):Δω = ωmax − ωmin = ωn0∞ − ωn0 ( n0 +1) ==⎛⎡ 1 ⎤ ⎡ 1. (3.36)⎤ ⎞ 4 Ry111Ry Z 2 ⎜ ⎢ 2 ⎥ − ⎢ 2 −⎥⎟ =22⎜⎟== (n0 + 1)⎝ ⎣⎢ n0 ⎦⎥ ⎣⎢ n0 (n0 + 1) ⎦⎥ ⎠Из (3.36) находимRy13,6053 ⋅ 1,6021 ⋅ 10−19−1 = 2−1 = 3 .=Δω1,05449 ⋅ 10−34 ⋅ 5,16 ⋅ 1015Таким образом, наблюдается спектральная серия Пашена ( n0 = 3 ,см.
рис. 3.4).По формуле (3.34) определяем длину волны головной линиисерии Пашена ( n2 = 3 ) для иона гелия:n0 = 2⎡1⎤17⎡1 1 ⎤R ,λ −n01( n0 +1) = 4 R∞ ⎢ 2 −= 4 R∞ ⎢ − ⎥ =2⎥⎣ 9 16 ⎦ 9 ⋅ 16 ∞⎢⎣ n0 ( n0 + 1) ⎥⎦9 ⋅ 169 ⋅ 16λ n0 ( n0 +1) ==≈ 1,875 ⋅ 10−7 м = 187,5нм .7 R∞ 7 ⋅ 1,09737 ⋅ 107Ответ:n0 = 2λ n0 ( n0 +1)1=4 R∞⎡1⎤1⎢ 2−2⎥⎢⎣ n0 (n0 + 1) ⎥⎦−1= 187,5нм ,гдеRy−1 = 3 .=ΔωЗадача 3.7. (Серия Бальмера.) Какие линии в спектре Бальмера атомарного водорода лежат в диапазоне длин волн отλ1 = 400 нм до λ 2 = 500 нм .Решение.
Спектр Бальмера соответствует переходам электронас возбужденного n уровня на уровень n0 = 2 . Длины волн излучае-ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ86мых фотонов1⎤⎡1λ 2−1n = R∞ ⎢ 2 − 2 ⎥n ⎦⎣2(3.34), и таким образом,−1/ 2⎡11 ⎤.n=⎢ −⎥⎣ 4 R∞ λ 2 n ⎦Границам заданного в условии задачи диапазона длин волн соответствуют значения n:λ1 = 400 нм ,n1 = 6,7 ;λ 2 = 500 нм ,n2 = 3,8 .Внутри диапазона n2 = 3,8 < n < n1 = 6,7 лежат квантовые номера n = 4, 5, 6 , которым соответствуют три линии с длинами волн(3.34):⎛1 ⎤⎞⎡1λ 24 = ⎜ R∞ ⎢ 2 − 2 ⎥ ⎟4 ⎦⎠⎣2⎝λ 25⎛1 ⎤⎞⎡1= ⎜ R∞ ⎢ 2 − 2 ⎥ ⎟5 ⎦⎠⎣2⎝−1≈ 486,0 нм ,−1≈ 433,9 нм ,−1⎛1 ⎤⎞⎡1λ 26 = ⎜ R∞ ⎢ 2 − 2 ⎥ ⎟ ≈ 410,1 нм .6 ⎦⎠⎣2⎝Ответ.
λ 24 = 486,0 нм , λ 25 = 433,9 нм , λ 26 = 410,1 нм .Задача 3.8. (Фотоионизация.) Под действием электромагнитного излучения (см. рис. 3.5) с длиной волны λ = 20,0 нм невозбужденные ионы Не+ испускают электроны (фотоэлектроны) и ионизуются. Какую скорость имеют испускаемые фотоэлектроны?Решение. Второй потенциал ионизации атома Не равен энергии связи электрона с ядром иона Не+. По формуле (3.10) при n = 1и Z = 2:I 2i =me 4 Z 21(4πε0)22=2⋅1n2= R∞ Z 2 = 4 R∞ .(3.37)Энергия фотонов расходуется на ионизацию иона гелия+He → He ++ и сообщение вырываемому электрону кинетическойэнергии mv2 / 2 .
Таким образом, скорость фотоэлектронов определяется из уравнения Эйнштейна (1.18)Гл. 3. Энергетические спектры атомов и молекулmv2= Eф − I 2 i ,2где энергия фотона Eф = =ω = 2π=c / λ .87(3.38)Учитывая (3.37), из (3.38) находим4v = 2( Eф − I 2i ) / m =( π=c − 2 Ry λ ) =mλ=4( π ⋅ 10−34 3 ⋅ 108 − 2 ⋅ 13,6 ⋅ 1,6 ⋅ 10−1920 ⋅ 10−9 )0,9 ⋅ 10−3020 ⋅ 10−9≈ 3,0 ⋅ 106 м/с.Рис.
3.5. Ион поглощает фотон с энергией, большей чем второй потенциалионизации атома Не. Электрон покидает орбиту иона, и осуществляется переход Не+ → Не++.Ответ. v =()4π=c − 2 R∞λ ≈ 3,0 ⋅ 106 м/с.mλЗадача 3.9. (Серия Лаймана в спектре движущихся атомовводорода.) Излучающие атомы водорода движутся вдоль оси ОХ.Неподвижный приемник расположен на большом расстоянии отизлучающих атомов, под углом θ = 60° к оси ОХ. Приемник регистрирует излучение с длиной волны головной линии серии Лаймана, которая оказывается смещенной на Δλ = 0,15 нм по сравнению сдлиной волны, излучаемой неподвижными атомами водорода.
Найти скорость движения атомов водорода.Решение. Пусть при t = 0 излучается пик 1 волны (рис. 3.6 а),который со скоростью с перемещается вдоль положительного направления оси ОХ (по направлению скорости движения атома водорода). Через период Т излучается второй пик, а первый перемещается к этому моменту времени на расстояние сТ = λ . Расстояниемежду пиками соответствует длине волны λ′ , принимаемой приемником, находящимся на оси ОХ при х > 0: λ′ = λ − vT , где v –скорость движения атома водорода.Если приемник расположен под углом θ к оси ОХ (рис.
3.6 б),то через период первый пик так же проходит расстояние сТ88ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ(рис. 3.6 б), а расстояние между пиками, соответствующее длиневолны λ′′ , воспринимаемой приемником, равноλ ′′ = λ − vT ⋅ cos θ .(3.39)Головная линия серии Лаймана соответствует переходу со второго уровня n = 2 на первый n = 1. Согласно (3.34) длина волныголовной линии равна1⎤⎡λ12 = R∞−1 ⎢1 − 2 ⎥⎣ 2 ⎦−1=4.3R∞а(3.40)бРис. 3.6. Иллюстрация изменения длины волны при движении источника (а) пооси ОХ (по направлению к приемнику) и (б) под углом θ к оси ОХ.Заменяя в (3.39) λ − λ′′ = Δλ и T =λ124=, находим скоc3cR∞рость движения атомовv=Ответ: v =Δλ3cR∞=Δλ ≈ 7,4 ⋅ 105 м/c .T cos θ 4cos θ3cR∞Δλ ≈ 7,4 ⋅ 105 м/c .4 cos θГл.
3. Энергетические спектры атомов и молекул89§3.4. Энергетический спектр колебательного и вращательногодвижения молекулВ образовании молекул из атомов основную роль играют электрические взаимодействия между электронами атомов, образующих химическую связь.Химическая связь — это взаимодействие атомов, обусловливающее устойчивость молекулы, или в целом вещества в конденсированном состоянии. Современная теория определяет химическуюсвязь как коллективное взаимодействие ядер и электронов, обеспечивающее существование хотя бы одного связанного состояниясистемы.Химические связи, образующиеся при перекрытии волновыхфункций, можно разделить на три основных типа: металлическая,ковалентная и ионная связи.
В действительности возможны и реализуются промежуточные типы связи.При сближении двух атомов (с энергиями Еа, Еb и атомнымирадиусами ra, rb) на расстояние порядка суммы атомных радиусовRab ~ ra + rb начинается перекрытие волновых функций валентных(периферийных) электронов.Когда электроны находятся между ядрами соседних атомов,двигаясь в поле обоих атомов, они обобществляются. Движениеобобществленных электронов описывается новой обобщенной волновой функцией – молекулярной волновой функцией (молекулярной орбиталью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
