Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Наблюдается дифракция электронов. Угол дифракции (см. рис. 2.9) tgθm = λ / (2πb) .Задача 2.11. Параллельный пучок электронов, движущихся содинаковой скоростью, падает нормально на диафрагму с узкойдлинной прямоугольной щелью шириной b = 1 мкм. Определитескорость v электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума равна H = 0,36 мм (рис.
2.11).ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ66Решение. Направление θm на первый дифракционный минимум определяется из выражения:b sin θm = λ ,где b ширина щели, λ – длинаволны электрона. Эта формулаполучена из волновой теории.Оценим тангенс угла дифракции:H /2 0,36 ⋅ 10−3tgθm === 0,00036 .L2 ⋅ 0,5Угол θ можно считать малым,поэтому tg θm ≈ sin θm = λ b , тогда (см. рис.
2.11):H/2 λ= .Рис. 2.11. Схема опыта по наблюдениюLbдифракции электронов на щели.hполуС учетом (3.1) λ =mvчаем:2hL2 ⋅ 6,62 ⋅ 10−34 ⋅ 0,5== 2 ⋅ 106 м/с .−30−3−6mHb 0,9 ⋅ 10 ⋅ 0,36 ⋅ 10 ⋅ 102hL= 2 ⋅ 106 м/с .Ответ. v =mHbv=Задача 2.12. Электроны изсостояния покоя ускоряются разностью потенциалов U = 25 В ипопадают нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояниемеждукоторымиd = 50 мкм (рис.
2.12). На экране,покрытом люминофором и расположенномнарасстоянииL = 1 м от плоскости диафрагмы,наблюдаетсяинтерференцияэлектронных волн, дифрагированных на двух щелях. Определи-Рис. 2.12. Схема опыта по наблюдениюдифракции электронов на двух щелях.Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля67те расстояние между соседними максимумами интерференционнойкартины.Решение. Схема опыта по наблюдению дифракции электронов,представленная на рис.2.12 аналогична схеме Юнга для наблюдения интерференции световых волн.
В опыте Юнга расстояние Δxмежду соседними максимумами (и минимумами) интерференционной картины определяется соотношением:λLΔx =,d2π=(см. задачу 2.3), тоТак как для электронов λ =2meUΔx =2π=L2π ⋅ 1,05 ⋅ 10−34 ⋅ 1=≈ 5 ⋅ 10−6 м .63019−−−d 2meU 50 ⋅ 102 ⋅ 0,9 ⋅ 10 1,6 ⋅ 10 ⋅ 25Ответ: Δx =2π=L≈ 5мкм .d 2meUВопросы для самопроверки1. Если концентрация частиц в потоке мала, так что можносчитать, что частицы попадают на экран со щелями по одной, токаждая частица проходит через какую-либо одну щель. В этом случае можно ожидать дифракцию электронных волн, но интерференциии волн, вышедших из разных щелей не должно быть.
Так лиэто?2. Пусть в схеме с двумя щелями пролетело N0 = 10 электронов.Можно ли предсказать заранее, какая часть из них после дифракции попадет в область −λ /100 ≤ x ≤ λ /100 ?Ответы.1. Действительно, частица проходит через какую-то одну щель,но определить через какую, поставив, например, регистрирующийприбор за одной из щелей, невозможно, не нарушив при этом картину дифракции.
Поэтому волна де-Бройля электрона проходитчерез обе щели сразу, и наблюдаемая картина является дифракционо-интерференционной. Интерференционная картина наблюдаетсядаже в том случае, когда электроны подлетают к щелям с частотой1 электрон в секунду. Для наблюдения такой картины необходимодостаточно много времени (несколько суток).68ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ2. Нет, нельзя, так как любое число от нуля до десяти можетпопасть в выделенный интервал Δ. Однако можно оценить среднеезначение числа частиц (при бесконечно большом числе опытов):λ /100< N Δ >= N 0∫Ψ ( x) 2 dx .−λ /100Задача 2.13. Параллельный пучок атомов водорода, движущихся со скоростью v, падает нормально на экран с узкой щелью,за которым на расстоянии L расположен экран регистрации. Оценить ширину щели b , при которой ширина ее изображения на экране будет минимальной.Решение.
Используя принципкорпускулярно-волновогодуализма, рассмотрим потокатомов водорода как плоскуюволну, падающую на экран сощелью (см. задачу 2.11). Изобразим две волны, дифрагировавшиепод максимальным углом θm(рис. 2.13).Ширина изображения на экранеопределяется углом диРис. 2.13. Электронные волны послефракцииθm, размером щели, адифракции при максимальном отклонении от направления первоначального также расстоянием до экрана.движения вдоль оси OZ.Учитывая геометрию опыта (см.рис. 2.13) и приближение tgθm ≈ sin θm = λ / b , можно записать следующее выражение:H bbλ= + L tgθm = + L .2 22bТаким образом, ширина изображения является функцией размера щели:H ( b ) = b + 2 Lλ / b .(2.35)Для нахождения размера щели b∗ , при котором значениефункции H (b) минимально, приравняем нулю первую производную H (b) :Гл.2.
Волновые свойства частиц. Волны де Бройля69dH (b)2 Lλ= 1 − ∗2 = 0 .*db b =bbНаходим b∗ = 2λL , а учитывая, что λ = 2π = / ( mv ) , получаем:b∗ = 2λL = 2πL=.mvПодставляя значение b∗ в (3.27), получаем выражение, определяющее минимальную ширину изображения:2λ LπL=.H ∗ = b∗ + ∗ = 4mvbОтвет. b∗ = 2πL=.mvЗадачи для самостоятельного решенияЗадача D2.1. Молекулы йода I2 находятся в газообразном состоянии при температуре 227°С.
Оценить длину волны де Бройлямолекул, имеющих наиболее вероятную скорость. Молярная масса атомовйода МI = 127 г/моль.N A π=Ответ. λ =≈ 0,08 Å.M I k BTЗадача D2.2. Температура идеального газа Т. Масса молекул m. Найтифункцию плотности вероятности расРис.2.14. Зависимость плотпределения молекул по длинам волн дености вероятности распредеБройля и наиболее вероятное значениеления молекул от длины волны де Бройля.длины волны де Бройля λ нв .Ответ. См. рис.2.14, где Δ1/2 – ширина кривой на половине от максимального значения плотностивероятности;π=2 λ 3нв.⋅ 4 exp ⎡ −2(λ нв / λ )2 ⎤ , где λ нв =f (λ ) = 8⎣⎦π λmk BTВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ70Задача D2.3.
Идеальный газ, состоящий из молекул массы mнаходится при температуре Т. Найти кинетическую энергию молекул с наиболее вероятной длиной волны де Бройля?Ответ. Eнв =(2 π=)22mλ 2нв= 2k BT , где λ нв =π=mk BT(см. задачуD2.2).Задача D2.4. Кинетическая энергия свободного электронаЕ0 = 10 эВ. Длина волны де Бройля у электрона возросла вα = 2 раза. На сколько изменилась энергия?Ответ. ΔE = −(1 − 1 / α2 ) E0 = −7,5 эВ .Задача D2.5.
Пучок электронов падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которымиd = 10 мкм. Расстояние между соседними дифракционными максимумами на экране, отстоящем от диафрагмы на расстоянииl = 75 см, равно Δx = 7,5 мкм. Найдите кинетическую энергиюэлектронов.22 ⎛ π= l ⎞Ответ. E = ⎜⎟ = 1,6 эB .m ⎝ Δx d ⎠Гл. 3. Энергетические спектры атомов и молекул71Глава 3ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ§3.1. Атом водорода. Модель Резерфорда−БораПостулаты Бора — основные допущения, сформулированныеНильсом Бором в 1913 г. для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода и водородоподобных ионов и квантового характера испускания и поглощения света.
Бор исходил изпланетарной модели атома Резерфорда:1) Атом может находиться только в особых стационарныхквантовых состояниях, каждому из которых отвечает определеннаяэнергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.Состояниям атома соответствует дискретный набор значенийэнергии En , где n = 1, 2, 3, ...2) Момент импульса M = [rp] электрона на стационарной орбите кратен постоянной Планка (условие квантования):Mn = n ⋅= .(3.1)Для круговой орбиты условие квантования rn p = n ⋅ = совместно с уравнением де Бройля p = =k приводит к следующим следствиям.Во-первых, на длине круговой орбиты электрона 2πrn должноукладываться целое число n длин волн2πrn = n ⋅ λ .Во-вторых, набег фазы при совершении одного оборотаk ⋅ (2πrn ) должен быть равен целому числу 2π:k ⋅ (2πrn ) = n ⋅ 2π .(3.2)Неизменность фазы при совершении оборотов означает, чтовращение «не влияет» на вид волновой функции, и она остаетсянеизменной во времени (стационарной).Уравнение (3.2), умноженное на = , является частным случаемправила квантования Бора–Зоммерфельда для периодическогодвижения частицы в потенциальном поле:72ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ(3.3)v∫ pdq = 2π=n (постулат Бора–Зоммерфельда),где p и q — обобщенные импульс и координата частицы, n — целые числа.
Обобщенные координаты могут быть просто декартовыми координатами, но не обязательно. Любые величины q1, q2,…qs, характеризующие положение в пространстве системы, обладающей s степенями свободы, называются обобщенными координатами, а qi — обобщенными скоростями.Постулат Бора–Зоммерфельда (3.3) определяет стационарныесостояния системы и сопоставляет им целые числа n.3) При переходе атома из состояния с энергией En1 в состояние с En 2 атом испускает или поглощает фотон с энергией=ω = En 2 − En1 .(3.4)Два постулата (3.3) и (3.4) совместно с классическим уравнением движения электрона в атоме приводят к правильному описанию строения водородоподобных атомов.Задача 3.1.
(Полуклассическая модель атома Бора.) В рамкахмодели Резерфорда−Бора, используя классическое описание движения, найти для атома водорода:1) радиусы боровских электронных орбит и спектр возможныхзначений энергии;2) кинематические характеристики движения электрона (скорость, ускорение, частоту вращения).Решение. Запишем систему уравнений, содержащую три соотношения.1. Уравнение движения электрона (как материальной точки смассой m = 0,9⋅10 –30 кг и зарядом e = 1,6⋅10 –19 Кл) по окружностирадиуса r со скоростью v (в нерелятивистском приближении,v << c) в поле неподвижного ядра с зарядом Ze под действием кулоновской силы:mv21 Ze 2=.(3.5)r4πε0 r 22.
Второе уравнение является следствием из постулата Бора–Зоммерфельда: на длине окружности (траектории) должно укладываться целое число n длин волн де Бройля (3.3)Гл. 3. Энергетические спектры атомов и молекул732πr = nλ.(3.6)3. Третье соотношение — уравнение де Бройля, связывающееимпульс и волновой вектор электрона (2.1):2πp = =kили mv = =.λ1) Решая систему из трех записанных выше уравнений, для боровского атома получаем:кинетическая энергия:(3.7)mv 21me 4 Z 2 1=⋅ ;2( 4πε0 )2 2= 2 n 2(3.8)потенциальная энергия: −полная энергия: En =4πε0 = 2n2 ;rn =радиус орбиты:2me Z1 Ze 21me 4 Z 2 1=−⋅;4πε0 r( 4πε0 )2 = 2 n2mv 21 Ze 21−=−24πε0 r4 πε0(me4 Z 2)22=2⋅1n2(3.9).
(3.10)Число n = 1, 2 ,3…, входящее в соотношения (3.6)–(3.10), называется главным квантовым числом.Низший уровень энергии, соответствующий n = 1, определяетэнергию основного (невозбужденного) состояния атома водорода:E1 = –1( 4πε0 )2⋅me 42= 2=−1e2⋅≈ 13,6 эВ ,4πε0 2aB(3.11)гдеaB =(4 πε0 )= 2(3.12)= 0,53Åme 2— боровский радиус первой (n = 1) орбиты электрона в атоме водорода (Z = 1).Модуль En энергия связи электрона с ядром на уровне n:Eсв ( n ) ≡ En .Минимальная энергия (работа), которая необходима, чтобыудалить один электрон с внешней оболочки нейтрального атома иионизовать атом, называется энергией ионизации атома. Ее назы-74ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХвают также первым потенциалом ионизации.
Энергию, необходимая для удаления второго электрона, называют вторым потенциалом ионизации.Для атома водорода, который находится в основном состояниипри (n = 1), потенциал ионизации максимален и равенI i = – E1 =1( 4πε0 )2⋅me 4=2= 21e2⋅≈ 13,6 эВ .4 πε0 2aBВеличину энергии, равную первому потенциалу ионизаии атома, применяют в атомной физике и оптике в качестве единицы измерения энергии, называемой ридбергом в честь шведского физикаЙ.Р.
Ридберга:Ry = I i =1( 4πε0 )2⋅me 42= 2= 13,6057 эВ .(3.13)Первый потенциал ионизации, или ридберг, связан с фундаментальной физической константой — постоянной Ридберга R∞ ,введенной Ридбергом при изучении спектров излучения атомов:Ry1me 4R∞ ==⋅≈ 1,097 ⋅ 107 м −1 .2 π=c ( 4πε )2 4πc=30Эта постоянная записана в предположении бесконечно большой массы ядра (индекс ∞ у R) по сравнению с массой электрона.Энергию En электрона и радиус электронной орбиты rn на n-омэнергетическом уровне в атоме водорода можно записать, используя постоянные (3.12) и (3.13):REn = – ∞2 ,(3.14)n(3.15)rn = aB⋅n2,Таким образом, энергия стационарных состояний Еn определяется их порядковым номером n (см. рис. 3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
